專題08 證明不等式 【考點(diǎn)預(yù)測】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形【典型例題】例1．（2023春·安徽合肥·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若，且，求證：.【解析】（1）由得，設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故時(shí)R上的單調(diào)增函數(shù)，又，故在上有唯一的零點(diǎn)，即在R上有唯一的零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).（2）因?yàn)?/span>，故要證明：，，即，只需證：，即需證：，即證：，由（1）可知為R上的單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，即，即，故 ，即，令，即，故成立.例2．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，． 若，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，所以等價(jià)于，即．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值且為最小值，最小值為． 所以當(dāng)時(shí)，．從而當(dāng)時(shí)，，即．例3．（2023春·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線與在點(diǎn)處有相同的切線.(1)求?的值；(2)證明：.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，，由曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，得，，即，，所以，；（2）由，可得，因?yàn)?/span>，所以原問題即證.令，則，由，可得，由，可得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故在處取得極小值，也是的最小值，所以，故.例4．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意，.【解析】（1）由題意可得：，，∵在,處的切線與軸平行，即，.（2）由（1）得：，，令，，當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，；∵，則時(shí)，；時(shí)，；故的單調(diào)遞增為，單調(diào)遞減為.（3）由，即，，對(duì)，，等價(jià)于對(duì)，，由（2）對(duì)于，，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，設(shè)，則對(duì)恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即；綜上：，故，，得證.例5．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，證明：對(duì).參考公式：【解析】（1）由題意可得：的定義域?yàn)?/span>，且，注意到，則有：①當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，若，即時(shí)，令，解得或；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，即時(shí)，則在定義域內(nèi)恒成立；故在上單調(diào)遞增；若，即時(shí)，令，解得或；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，即對(duì)恒成立，故，則，即，∵，則，即，∴，故，∴得證.例6．（2023春·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，記，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）原不等式為，即，即證在上恒成立，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，且在上有，所以可得到，即，所以在時(shí)，有成立.【過關(guān)測試】1．（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為y=1時(shí)，求a的值，并證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，．定義域?yàn)?/span>，令，則，故在上單調(diào)遞增.因，，則在上有唯一零點(diǎn)，即.則在上，，即，在單調(diào)遞減.在上，，即，在上單調(diào)遞增.故，又，則.即函數(shù)的最小值為0；（2）由題，，，則a=1；即，則故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞遞減，則.則當(dāng)時(shí)，，即.取，其中 ，則.則.又注意到.故.2．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)已知，證明：；【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以；（2）由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，，所以，即.3．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，（i）求的極值.（ii）設(shè)，證明：.(2)證明：當(dāng)時(shí)，有唯一的極小值點(diǎn)，且.【解析】（1）（i）若，則，由，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.故的極小值為無極大值.（ii）由（i）可知，的極值點(diǎn)為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，又，不妨設(shè)，則若，則，設(shè)，則.設(shè)，則為增函數(shù)，則.，則在上為增函數(shù)，，即.，又在上單調(diào)遞減，，即.（2），記，，記，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)在單調(diào)遞減，當(dāng)在單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，，使，當(dāng)在單調(diào)遞減，當(dāng)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有唯一的極小值點(diǎn)，且令，在單調(diào)遞減，即.4．（2023春·天津和平·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）的定義域是，，設(shè)，，所以在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，所以，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，無減區(qū)間.（2）當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證.設(shè)，，令，則，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，即，所以單調(diào)遞增，而，所以，即.綜上所述，當(dāng)時(shí)，．5．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，.【解析】證明：，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，∴在上是增函數(shù).于是當(dāng)時(shí)，．6．（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)當(dāng)，證明；(2)討論的單調(diào)性；(3)利用（1）中的結(jié)論，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)在之間變化時(shí)，及的變化情況如下表：10單調(diào)遞增0單調(diào)遞減因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，故；（2），所以，令，解得，①當(dāng)時(shí)，方程的解為，且，在之間變化時(shí)，及的變化情況如下表：0單調(diào)遞增 單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，方程無解，此時(shí)恒成立，故在單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，方程的解為，但，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；（3）由（1）知，，其中“=”當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，且，故，即，于是當(dāng)時(shí)，依次有，，，， ，相加得，即7．（2023春·河南信陽·高二淮濱高中校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：若，則.【解析】（1），切點(diǎn)為，則切線方程為，當(dāng)時(shí)，在中，分別令得該切線分別與兩坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，故三角形面積為，因此，解得，當(dāng)時(shí)，，顯然該直線與兩坐標(biāo)軸圍不成三角形，綜上所述：；（2）①當(dāng)，所以；②當(dāng)，要證，即證，令，，令，，所以在上單調(diào)遞增.取，使得，即，則，又，所以由零點(diǎn)存在定理知存在唯一零點(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn).又，即，故，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.綜上所述，當(dāng)，則.8．（2023春·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)；(2)若，求證：．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．對(duì)于方程，．解方程，可得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)．（2）要證明，即證，即證，即證．令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．所以．構(gòu)造函數(shù)，其中，，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．所以，則，所以．故原不等式得證．9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得：，令，解得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?/span>，所以.（2）由(1)知：時(shí)，在上恒成立，即，所以當(dāng)時(shí)，，即，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以要證，只需證，即證，令，則有，又，所以，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，.10．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線的斜率為1的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1），令，即，解得或，又，，所以曲線的斜率為1的切線方程為：與，即與．（2）證明：令，，則，，令，得或，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：06 00 單調(diào)遞增0單調(diào)遞減單調(diào)遞增18所以的最小值為，最大值為18，所以，所以．11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1）記．則恒成立，即．當(dāng)，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．．解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）記．在上單調(diào)遞增．令，則，所以即在上單調(diào)遞增．由，知．．即，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增．，由（*）式，可得．代入式，得．由（1）知，當(dāng)時(shí)有，故．．由．故，即，原不等式得證．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：．【解析】（1）函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2），，先證時(shí)，，即，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即；再證時(shí)，，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以；綜上，.19．（2023秋·山西大同·高二大同一中?？计谀┰O(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且，結(jié)合（1）的結(jié)論，你能得到怎樣的不等式？(3)利用（2）中的不等式證明：.【解析】（1）由題意，函數(shù)，其中函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，可得，令，可得或，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由函數(shù)且，可得，因?yàn)?/span>，可得，解得或（與矛盾，舍去），故由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得最小值，最小值，即，故對(duì)于任意恒成立，有不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立.（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，有成立，令，則整理得，，所以.20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程．(2)當(dāng)時(shí)，求證．【解析】（1）由解得，所以，，所以，，切線方程為，即所求切線方程為；（2）證明得定義域?yàn)?/span>，，設(shè)，則，故是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以存在，使得①，且時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故②，由①式得③，將①③兩式代入②式，結(jié)合得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合②式可知，此時(shí)，故恒成立．21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題，，令，，則.得在上單調(diào)遞增.因，則，又，則.又.得.又，則.則，使得，又在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，在上單調(diào)遞增.又注意到，，則，又，.則，即在上有2個(gè)零點(diǎn).（2），令，.則.則，令，，則.①當(dāng)，，則；②當(dāng)，.則，得在上單調(diào)遞增，則.故在上單調(diào)遞減，則此時(shí)；③當(dāng)，，又此時(shí)，則，得在上單調(diào)遞增，則.故在上單調(diào)遞增，則此時(shí)；④當(dāng)，，又此時(shí)，則.得在上單調(diào)遞增，又，故在上單調(diào)遞增.則.綜上，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】（1）由題設(shè)在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，令，則在上恒成立，所以在上遞增，顯然，，故使，則上，上，所以上，遞增；上，遞減；又，即，則，綜上，.（2）由（1）知：，所以且，要使恒成立，只需證恒成立，只需證恒成立，當(dāng)時(shí)，若，則，即遞增，又也遞增，所以在上遞增，故恒成立，當(dāng)時(shí)，令且，則，即遞增，故，所以在上恒成立，故，令，則，所以在上遞減，故，即，綜上，在上恒成立，所以，時(shí)得證. 

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