?第六章 平面向量和復(fù)數(shù)
6.1平面向量的概念和運(yùn)算
6.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
6.3平面向量的應(yīng)用（正弦定理、余弦定理）
6.4復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算
6.5平面向量和復(fù)數(shù)實(shí)戰(zhàn)



6.1平面向量的概念和運(yùn)算
知識(shí)回顧
1、向量的有關(guān)概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)
向量表示方法：向量或；?；?
（2）零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的，記作.
（3）單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，常用表示.
特別的：非零向量的單位向量是.
（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；
特別的：與任一向量平行或共線.
（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，記作.
（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量，記作.
2、向量的線性運(yùn)算
（1）向量的加法
①定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱(chēng)為向量加法的三角形法則.

③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）
已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.

（2）向量的減法
①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）
已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示
如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.
（3）向量的數(shù)乘
向量數(shù)乘的定義:
一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.
3、共線向量定理
①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.
②向量共線定理的注意問(wèn)題：定理的運(yùn)用過(guò)程中要特別注意；特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．
4、向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量和，如圖所示，作，，則
()叫做向量與的夾角，記作．
(2)范圍：夾角的范圍是．
當(dāng)時(shí)，兩向量，共線且同向；
當(dāng)時(shí)，兩向量，相互垂直，記作；
當(dāng)時(shí)，兩向量，共線但反向．
5、數(shù)量積的定義：
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.
高頻考點(diǎn)
1．（2022·天津南開(kāi)·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，，，分別是的邊，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（????）

A． B．
C． D．
2．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，（????）

A． B． C． D．
3．（2022·福建·高二學(xué)業(yè)考試）
A． B． C． D．
4．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在正六邊形ABCDEF中，與向量相等的向量是（???）

A． B． C． D．
5．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，那么向量=（????）

A． B． C． D．
6．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）已知，，若與夾角的大小為60°，則（????）
A． B．3 C． D．
7．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二學(xué)業(yè)考試）在中，，為（????）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
8．（2022·浙江·太湖高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（????）
A． B．
C． D．且
9．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知，，，則與的夾角余弦值大小為（????）
A． B．
C． D．
10．（2022·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）已知，是非零向量且滿(mǎn)足，，則的形狀為（????）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
11．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)是非零向量，則“”是“與共線”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
12．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知等腰的直角邊長(zhǎng)為1，為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
13．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知單位向量不共線，且向量滿(mǎn)足若對(duì)任意實(shí)數(shù)λ都成立，則向量夾角的最大值是（????）
A． B． C． D．
14．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，若M，N，P三點(diǎn)共線，則λ=________.
15．（2022·天津南開(kāi)·高二學(xué)業(yè)考試）已知，則__________．
16．（2022·浙江·慈溪市三山高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知向量滿(mǎn)足，且向量在向量上的投影向量為，則__________.
17．（2022·浙江·太湖高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知是平面向量，與是單位向量，且，若，則的最小值為_(kāi)____________．
6.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
知識(shí)回顧
1、平面向量的基本定理
（1）定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.
（2）基底：
不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；
（2）基底一旦確定，分解方式唯一；
（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).
2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）向量加減：若，則；
（2）數(shù)乘向量：若，則；
（3）任一向量：設(shè)，則.
3、平面向量共線的坐標(biāo)表示
若，則的充要條件為
4、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
已知向量，為向量和的夾角：
（1）數(shù)量積
（2）模：
（3）夾角：
（4）非零向量的充要條件：
高頻考點(diǎn)
1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則等于（????）
A． B． C． D．
2．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，則（????）
A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（4，1）
3．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，則（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知向量．若，則實(shí)數(shù)m的值為（????）
A． B． C．1 D．2
5．（2022·四川·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（???????）
A．4 B．1 C．－1 D．－4
6．（2022·福建·上杭一中高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則（????）
A．5 B． C．3 D．
7．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知，，則在上的投影向量為（???）
A． B． C． D．
8．（2022·湖北·高二學(xué)業(yè)考試）已知平面向量，，若，則的值為（????）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江·杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在矩形中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（????）

A． B． C． D．
10．（多選）（2022·浙江·慈溪市三山高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知平面向量， 則（????）
A． B． C． D．

6.3平面向量的應(yīng)用（正弦定理、余弦定理）
知識(shí)回顧
1、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有
（2）正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
2、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：
；


（2）余弦定理的推論
；
；

3、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
高頻考點(diǎn)
1．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，則（????）
A． B． C．2 D．
2．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）在中，若，，，則（????）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，則（????）
A．2 B． C． D．
4．（2022·天津南開(kāi)·高二學(xué)業(yè)考試）在中，則??
A． B． C．或 D．或
5．（2022·浙江·慈溪市三山高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在中， 內(nèi)角所對(duì)的邊分別為， 若， 則（????）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高（????）

A． B． C． D．
7．（2022·湖南婁底·高二學(xué)業(yè)考試）在中，已知，，，則的面積為（????）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）在中，斜邊長(zhǎng)為2，O是平面外一點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足，則等于（????）
A．2 B．1 C． D．4
9．（2022·重慶·高一學(xué)業(yè)考試）小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他采用了如圖所示的方式來(lái)進(jìn)行測(cè)量，小明同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上選取相距25米的C，D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為45°，30°，并測(cè)得，則教學(xué)樓AB的高度是（????）

A．20米 B．25米 C．米 D．米
10．（2022·天津河?xùn)|·高二學(xué)業(yè)考試）彬塔，又稱(chēng)開(kāi)元寺塔、彬縣塔，民間稱(chēng)“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測(cè)量彬塔的高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（????）

A．30m B． C． D．
11．（多選）（2022·重慶·高一學(xué)業(yè)考試）在中，角,,所對(duì)的邊分別為,,，下列四個(gè)命題中，正確的命題為（????）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則這個(gè)三角形有兩解
12．（2022·福建·高二學(xué)業(yè)考試）在中，若，則_____
13．（2022·天津南開(kāi)·高二學(xué)業(yè)考試）在中，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
14．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，則b=___________.
15．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知的外接圓半徑為，邊所對(duì)圓心角為，則面積的最大值為_(kāi)__．
16．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在中，已知，，，則的面積等于___________.
17．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為 ，則邊= ____________，的面積為_(kāi)_________．
18．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點(diǎn)，CD=5，CB=7，DB=3

（1）求△CBD的面積；
（2）求邊AC的長(zhǎng).




19．（2022·重慶·高一學(xué)業(yè)考試）在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿(mǎn)足方程
．
(1)求角A的大?。?br /> (2)若，求的面積．




20．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）如圖，是直角三角形斜邊上一點(diǎn)，.

(1)若，求角的大?。?br /> (2)若，且，求的長(zhǎng).


21．（2022·湖南婁底·高二學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，，求，．





22．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求角的大?。?br /> (2)設(shè)，從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求的周長(zhǎng).
①；②的面積為.




23．（2022·重慶·高一學(xué)業(yè)考試）某市為應(yīng)急處理突如其來(lái)的新冠疾病，防止疫情擴(kuò)散，采取對(duì)疑似病人集中隔離觀察.如圖，征用了該市一半徑為2百米的半圓形廣場(chǎng)及其東邊綠化帶設(shè)立隔離觀察服務(wù)區(qū)，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)觀察監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在圓心O正東方向相距4百米的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及圓弧外的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿(mǎn)足.定義：四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”：OC的長(zhǎng)為“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離”.設(shè).

(1)求“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”的面積的最大值：
(2)試確定的值，使得“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離”最大.


6.4復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算
知識(shí)回顧
1、復(fù)數(shù)的概念
我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿(mǎn)足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.
復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.
2、復(fù)數(shù)相等
在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.
3、復(fù)數(shù)的分類(lèi)
對(duì)于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類(lèi)如下:

4、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)
復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)()復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)
（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)
復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)() 平面向量
5、復(fù)數(shù)的模
向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或
公式：，其中
復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；
特別的，時(shí)，復(fù)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對(duì)值).
6、共軛復(fù)數(shù)
（1）定義
一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).
（2）表示方法
表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.
7、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
（1）復(fù)數(shù)的加法法則
設(shè)，，（）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：

（2）復(fù)數(shù)的減法法則
類(lèi)比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿(mǎn)足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作
（3）復(fù)數(shù)的乘法法則
我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下： 設(shè),是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為
，
即
（4）復(fù)數(shù)的除法法則
（）
高頻考點(diǎn)
1．（2022·天津南開(kāi)·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)C為復(fù)數(shù)集，若，且（i為虛數(shù)單位），則（????）．
A．1 B． C．4 D．
2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）（????）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（????）
A． B． C． D．
4．（2022·福建·上杭一中高二學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)（????）
A． B． C． D．
5．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的模為（????）
A． B．2 C． D．
6．（2022·浙江·太湖高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．的虛部為i B．的共軛復(fù)數(shù)為
C．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限 D．
7．（多選）（2022·重慶·高一學(xué)業(yè)考試）若，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．的虛部為 B．
C． D．
8．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）若是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)______.
9．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知，復(fù)數(shù)且 (為虛數(shù)單位) ，則復(fù)數(shù)的模為_(kāi)___．
10．（2022·天津南開(kāi)·高二學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位.
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.




6.5平面向量和復(fù)數(shù)實(shí)戰(zhàn)
一、單選題
1．設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（????）
A． B． C． D．
2．已知向量，，則（????）
A． B． C． D．1
3．三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c．若則的面積為（????）
A． B． C． D．
4．已知向量和的夾角為，，則（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知向量，，，，則（???）
A．0 B． C． D．
6．已知向量，，若，則（????）
A．-2 B． C． D．2
7．某人從出發(fā)點(diǎn)向正東走后到，然后向左轉(zhuǎn)150°再向前走到，測(cè)得的面積為，此人這時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離為（????）
A． B． C． D．
8．已知，向量與的夾角為，則（???????）
A．5 B． C． D．
9．若平面上有A，B，C，D四點(diǎn)，且滿(mǎn)足任意三點(diǎn)不共線，現(xiàn)已知，則=（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD＝2DC＝4，，則AD的最大值為（????）
A． B．4 C． D．2
二、多選題
11．已知向量，，則（???）
A． B． C． D．
三、填空題
12．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)_______.
13．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，，，則的面積等于__________．
四、解答題
14．已知向量, .
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，求y的值.



15．在中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若.
(1)求a ；
(2)求的面積.








16．已知為的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為，若.
（1）求；
（2）若，，求的面積.

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