?第九章 概率
9.1隨機(jī)事件與概率
9.2事件的相互獨(dú)立性、頻率與概率
9.3概率實(shí)戰(zhàn)


9.1隨機(jī)事件與概率
知識(shí)回顧
1、概率與頻率
一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率來估計(jì)概率.?
2、古典概型
試驗(yàn)具有如下共同特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
3、古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.
其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．
4、概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）
性質(zhì)1：對任意的事件，都有；
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；
性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對于任意事件，因?yàn)椋?
5、互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）
性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；
注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.
6、對立事件的概率（性質(zhì)4）
性質(zhì)4：如果事件與事件互為對立事件，那么，；
高頻考點(diǎn)
1．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）同時(shí)拋擲兩枚硬幣，則兩枚硬幣都是“正面向上”的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】同時(shí)拋擲兩枚硬幣的所有實(shí)驗(yàn)情況為：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
兩枚硬幣都是“正面向上”的實(shí)驗(yàn)情況為（正，正），
根據(jù)古典概型，概率為，
故選：A.
2．（2022·北京·高三學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組各有5名同學(xué)，兩組同學(xué)某次考試的語文、數(shù)學(xué)成績?nèi)缦聢D所示，其中“+”表示甲組同學(xué)，“*”表示乙組同學(xué)．

從這兩個(gè)學(xué)習(xí)小組數(shù)學(xué)成績高于80分的同學(xué)中任取一人，此人恰為甲組同學(xué)的概率是（????）
A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75
【答案】C
【詳解】根據(jù)圖象可知，兩個(gè)小組高于分的同學(xué)各有人，
所以從中任取一人，此人恰為甲組同學(xué)的概率是.
故選：C
3．（2022·四川·高三學(xué)業(yè)考試）若從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，則的概率是(???????)
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，
將取出的，記為，
所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為： ，共個(gè)，
其中滿足的有，共3個(gè)，
所以，的概率為．
故選：B．
4．（2022·湖南婁底·高二學(xué)業(yè)考試）甲?乙去同一家藥店各購一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售A，B?C三種醫(yī)用外科口罩，則甲?乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】甲、乙在A，B，C三種醫(yī)用外科口罩中各購一種的基本事件有,,,
，,,,,共9種，
其中甲，乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩基本事件有,3種，
則其概率為.
故選:.
5．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）2021年某省新高考將實(shí)行“”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式.某同學(xué)已選了物理，記事件：“他選擇政治和地理”，事件：“他選擇化學(xué)和地理”，則事件與事件（????）
A．是互斥事件，不是對立事件 B．是對立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是對立事件 D．既不是互斥事件也不是對立事件
【答案】A
【詳解】事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件
他還可以選擇化學(xué)和政治，不是對立事件
故答案選A
6．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）通蘇嘉甬高速鐵路起自南通西站， 經(jīng)蘇州市、嘉興市后跨越杭州灣進(jìn)入寧波市， 全線正線運(yùn)營長度， 其中新建線路長度， 是《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中 “八縱八橫”高速鐵路主通道之一的沿海通道的重要組成部分， 是長江三角洲城市群的重要城際通道， 沿途共設(shè)南通西、張家港、常熟西、 蘇州北、汾湖、嘉興北、嘉興南、海鹽西、慈溪、莊橋等 10 座車站.假設(shè)甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西） 同時(shí)上車， 在沿途剩余9站中隨機(jī)下車， 兩人互不影響， 則甲、乙兩人在同一站下車的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西） 同時(shí)上車，沿途經(jīng)過剩余9個(gè)車站，甲、乙兩人隨機(jī)下車，互不影響，故甲、乙兩人下車包含的基本事件個(gè)數(shù)為：
設(shè)“甲、乙兩人在同一車站下車為事件M”，則事件M包含的基本事件個(gè)數(shù)為：
.
故選：D.
7．（2022·福建·高二學(xué)業(yè)考試）隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)向上的結(jié)果有6種，其中向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的有3種
所以出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是
故選：C
二、填空題
8．（2022·天津南開·高二學(xué)業(yè)考試）某班有60名學(xué)生，其中女生24人，現(xiàn)任選一人，則選中男生的概率為___________．
【答案】##
【詳解】解：依題意選中男生的概率；
故答案為：
9．（2022·浙江·太湖高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）劉徽是魏晉時(shí)代著名數(shù)學(xué)家，是我國古代數(shù)學(xué)的集大成者，他給出了階幻方的構(gòu)作方法是數(shù)學(xué)史上算法的范例，他的階幻方被稱為“神農(nóng)幻方”.所謂幻方，是把排成的方陣，使其每行、每列和對角線的數(shù)字之和均相等.下圖是劉徽構(gòu)作的3階幻方，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，滿足數(shù)字之和等于15，則含有數(shù)字5或6的概率為______.
8
1
6
3
5
7
4
9
2
【答案】##0.75
【詳解】由題意得，
該3階幻方每行、每列和對角線上的數(shù)字之和均等于15，
從中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，數(shù)字之和等于15，基本事件總數(shù)為8，
易知事件“含有數(shù)字5或6”包含的基本事件數(shù)為6，
故所求事件的概率為.
故答案為：.
三、解答題
10．（2022·重慶·高一學(xué)業(yè)考試）某班有45名學(xué)生，其中選考化學(xué)的學(xué)生有23人，選考地理的學(xué)生有15人，選考化學(xué)或地理的學(xué)生有29人，從該班任選一名學(xué)生，則該生既選考化學(xué)又選考地理的概率為__________.
【答案】
【詳解】根據(jù)容斥原理，既選考化學(xué)又選考地理的人數(shù)為，
由古典概型的公式，可得，
故答案為：.
11．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）某省會(huì)城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實(shí)改善城市空氣質(zhì)量，緩解城市交通壓力，公共交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費(fèi)乘公交”“綠色出行日免費(fèi)乘公交”等便民服務(wù)措施．為了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年齡分布，交管部門對某線路公交車統(tǒng)計(jì)整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：

(1)求m的值和這1200名乘客年齡的中位數(shù)；
(2)現(xiàn)在從年齡分布在人中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中抽取2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求這2人中至少有一人年齡在的概率．
【答案】(1)，中位數(shù)為；
(2)
（1）
解：依題意可得，解得，
因?yàn)?，所以中位?shù)為于，
設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故這1200名乘客年齡的中位數(shù)為；
（2）
解：從年齡分布在人中用分層抽樣的方法抽取5人，則中抽取人，記作、，
中抽取人，記作、、，
則從這5人中抽取2人進(jìn)行問卷調(diào)查有，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；
滿足這2人中至少有一人年齡在的有，，，，，，共個(gè)基本事件，
所以滿足這2人中至少有一人年齡在的概率；
12．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）2022年將在成都舉行“第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)”，為迎接大運(yùn)會(huì)，郫都區(qū)舉行了“愛成都迎大運(yùn)”系列活動(dòng).同時(shí)為了了解郫都區(qū)人民對體育運(yùn)動(dòng)的熱情和對運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，郫都區(qū)總工會(huì)在各社區(qū)開展了有獎(jiǎng)知識(shí)競賽，參賽人員所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為、、、、，由此得到總體的頻率統(tǒng)計(jì)表，再利用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取20名居民進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)研.
分?jǐn)?shù)區(qū)間





頻率
0.1

0.4
0.2
a

(1)若從得分在80分以上的樣本中隨機(jī)選取2人，則選出的兩人中至少有一人在90分以上的概率；
(2)郫都區(qū)總工會(huì)計(jì)劃對此次參加活動(dòng)的居民全部進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，按照分?jǐn)?shù)從高到低設(shè)置一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)，參與獎(jiǎng)，其得獎(jiǎng)率分別為15%，20%，25%，40%，試根據(jù)上表估計(jì)得到二等獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)區(qū)間.
【答案】(1)
(2)，
（1）由題意得，所以.得分位于的共有人，分別為A，B，C，D，得分位于的共有人，分別為E，F(xiàn)從這6人中選出2人共有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}這15種情況，其中含有至少一人為90分以上的情況是{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}共9種情況，所以選出的兩人中至少有一人在90分以上的概率.
（2）設(shè)得一等獎(jiǎng)的最低分?jǐn)?shù)為x，二等獎(jiǎng)的最低分?jǐn)?shù)為y；則，解出，解出所以二等獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)區(qū)間為.（或：一等獎(jiǎng)的最低分?jǐn)?shù)為二等獎(jiǎng)的最低分?jǐn)?shù)為，從而二等獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)區(qū)間為）
13．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如下表所示：
紅燈個(gè)數(shù)
0
1
2
3
4
5
6個(gè)及6個(gè)以上
概率
0.02
0.1

0.35
0.2
0.1
0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率；
(3)求至多遇到5個(gè)紅燈的概率.
【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.
【詳解】(1)由題意可得，解得.
(2)設(shè)事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4，事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5，事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為6個(gè)及以上，則事件“至少遇到4個(gè)紅燈”為，因?yàn)槭录コ?，所?br /> ，即至少遇到4個(gè)紅燈的概率為0.33.
(3)設(shè)事件為遇到6個(gè)及6個(gè)以上紅燈，則至多遇到5個(gè)紅燈為事件.
則.
9.2事件的相互獨(dú)立性、頻率與概率
知識(shí)回顧
1、相互獨(dú)立事件
對任意兩個(gè)事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立(mutually independent)，簡稱為獨(dú)立．
性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨(dú)立
性質(zhì)2：如果事件與相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立
則：，，
高頻考點(diǎn)
1．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二學(xué)業(yè)考試）甲地下雨的概率為，乙地下雨的概率為，兩地是否下雨相互獨(dú)立，則兩地同時(shí)下雨的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：記“甲地下雨”為事件，則，
記“乙地下雨”為事件，則，
兩地同時(shí)下雨的概率為.
故選：A.
2．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）壇子中放有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中不放回地取球2次，每次取1個(gè)球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，則和是（????）
A．互斥的事件 B．相互獨(dú)立的事件
C．對立的事件 D．不相互獨(dú)立的事件
【答案】D
【詳解】設(shè)白球編號為，黑球的編號為，
從壇子中不放回地取球2次，基本事件有，
，,
，所以和是不相互獨(dú)立的事件.
基本事件包括“第次取到白球，第次取到白球”，即和可以同時(shí)發(fā)生，
所以和不是互斥，也不是對立事件.
故選：D
3．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（????）
A．與互為對立事件 B．與互斥
C．與相等 D．與互為獨(dú)立事件
【答案】D
【詳解】因?yàn)閽仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含：
第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上；第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上；
第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上；第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，共4種情況.
其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，
所以與不互斥，也不對立，也不相等，且發(fā)生互不影響，故D正確.
所以ABC錯(cuò)誤，D正確，
故選：D
4．（2022·浙江·太湖高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知事件A?B相互獨(dú)立，，則（????）
A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.72
【答案】A
【詳解】由題意
故
故選：A
5．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）某大學(xué)的“籃球”“無人機(jī)”“戲劇”三個(gè)社團(tuán)考核挑選新社員，已知大一某新生對這三個(gè)社團(tuán)都很感興趣，決定三個(gè)考核都參加，假設(shè)他通過“籃球”“無人機(jī)”“戲劇”三個(gè)社團(tuán)考核的概率依次為、、，且他通過每個(gè)考核相互獨(dú)立，若三個(gè)社團(tuán)考核他都能通過的概率為，至少通過一個(gè)社團(tuán)考核的概率為，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)社團(tuán)考核他都能通過的概率為，至少通過一個(gè)社團(tuán)考核的概率為，
所以，即，解得.
故選: D.
6．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．
7．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）2021年神舟十二號、十三號載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個(gè)人，進(jìn)入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗(yàn)成功結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個(gè)人，每個(gè)人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗(yàn)成功的概率分別為，，，每個(gè)人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立，該項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)按照甲、乙、丙順序派出，則試驗(yàn)任務(wù)成功的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】試驗(yàn)任務(wù)成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，
事件，，互斥，，，，
所以試驗(yàn)任務(wù)成功的概率.
故選：D
8．（多選）（2022·浙江·杭州市余杭高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（????）
A．個(gè)球都是紅球的概率為 B．個(gè)球不都是紅球的概率為
C．至少有個(gè)紅球的概率為 D．個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為
【答案】ACD
【詳解】解：由題可知，從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，
則從甲袋中摸出一個(gè)不是紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)不是紅球的概率是，
對于A選項(xiàng)，個(gè)球都是紅球的概率為，A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，個(gè)球不都是紅球的概率為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，至少有個(gè)紅球的概率為，C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
9．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）城區(qū)某道路上甲、乙、丙三處設(shè)有信號燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為，，則汽車在這三處因遇紅燈或黃燈而停車一次的概率為________．
【答案】
【詳解】∵設(shè)汽車分別在甲乙丙三處的通行為事件，停車為，
∴，，，
∵停車一次即為事件，
∴所求概率為：．
故答案為: .
10．（2022·全國·高二學(xué)業(yè)考試）計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響.
（1）假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰獲得合格證書的可能性最大？
（2）這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.
【答案】（1）丙；（2）
【詳解】（1）設(shè)“甲獲得合格證書”為事件A，“乙獲得合格證書”為事件B，“丙獲得合格證書”為事件C，則，，.
因?yàn)?，所以丙獲得合格證書的可能性最大.
（2）設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”為事件D，則.

9.3概率實(shí)戰(zhàn)
一、單選題
1．（2021·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）從甲、乙、丙三名候選人中任選兩人參加黨史知識(shí)競賽，則乙被選中的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：從甲、乙、丙三名候選人中任選兩人參加黨史知識(shí)競賽，
共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3種選法，
其中乙被選中有2種選法，
故乙被選中的概率為.
故選：C.
2．（2021·北京·高二學(xué)業(yè)考試）《北京2022年冬奧會(huì)——冰上運(yùn)動(dòng)》紀(jì)念郵票一套共有5枚，郵票圖案名稱分別為：短道速滑、花樣滑冰、速度滑冰、冰壺、冰球.小冬買了一套該種紀(jì)念郵票，準(zhǔn)備隨機(jī)送給小冰等5位同學(xué)，每人1枚，則小冰收到郵票的圖案名稱是短道速滑的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：依題意，任何一位同學(xué)收到短道速滑圖案的郵票概率都為，
故選：C
3．（2021·福建·高三學(xué)業(yè)考試）根據(jù)防疫要求，需從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中任選名參加社區(qū)防控服務(wù)，則選中的名都是男醫(yī)生的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：將名男醫(yī)生記為，，名女醫(yī)生記為
從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中任選名參加社區(qū)防控服務(wù)，所有可能情況有：
，，共種
選中的名都是男醫(yī)生的情況為：，共種
所以選中的名都是男醫(yī)生的概率為：.
故選：B.
4．（2021·山東·高三學(xué)業(yè)考試）從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的事件是（????）
A．至少有一個(gè)白球與都是紅球 B．恰好有一個(gè)白球與都是紅球
C．至少有一個(gè)白球與都是白球 D．至少有一個(gè)白球與至少一個(gè)紅球
【答案】B
【詳解】解：對于A，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但是對立，故A錯(cuò)誤；
對于B，事件：“恰好有一個(gè)白球”與事件：“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是白球，
所以兩個(gè)事件互斥而不對立，故B正確；
對于C，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“都是白球”可以同時(shí)發(fā)生，所以這兩個(gè)事件不是互斥的，故C錯(cuò)誤；
對于D，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“至少一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，即“一個(gè)白球，一個(gè)紅球” ，所以這兩個(gè)事件不是互斥的，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
5．（2021·北京·高二學(xué)業(yè)考試）擲一枚均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù).記事件 “點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件 “點(diǎn)數(shù)大于4”，則事件（????）
A．“點(diǎn)數(shù)為3” B．“點(diǎn)數(shù)為4”
C．“點(diǎn)數(shù)為5” D．“點(diǎn)數(shù)為6”
【答案】C
【詳解】由題意，可知，，
即事件“點(diǎn)數(shù)為5”
故選：C
6．（2021·天津紅橋·高一學(xué)業(yè)考試）一個(gè)袋子裝有四個(gè)形狀、大小完全相同的球，球的編號分別為1、2、3、4，從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，則取出的球的編號之和等于5的概率為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：從編號為1、2、3、4的4個(gè)球中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，其可能結(jié)果有，，，，，共6個(gè)，其中滿足編號之和等于5的有，共2個(gè)，
所以取出的球的編號之和等于5的概率
故選：B
7．（2021·湖北·高二學(xué)業(yè)考試）中國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，現(xiàn)從3，5，7，11，13這5個(gè)素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：從3，5，7，11，13這5個(gè)素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有鐘可能，
其和等于16的結(jié)果（3，13），（5，11）2種等可能的結(jié)果，
所以概率.
故選：B.
8．（2021·遼寧大連·高三學(xué)業(yè)考試）擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”.若表示的對立事件，則一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果．
依題意，，，
因?yàn)楸硎尽俺霈F(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件，表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，
所以與互斥，
故.
故選：C
9．（2021·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）擲一枚均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面向上的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】每一次出現(xiàn)正面朝上的概率相等都是，故選D.
二、填空題
10．（2021·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)是偶數(shù)的概率為_____.
【答案】
【詳解】由已知1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中，
偶數(shù)為2，4，所以偶數(shù)的概率為，
故答案為：.
11．（2021·山東·高三學(xué)業(yè)考試）一張方桌有四個(gè)座位，先坐在如圖所示的座位上，，，三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)位置上，則與相鄰的概率為___________.

【答案】
【詳解】，，三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)位置上，共有種等可能情況，
要使與不相鄰，則必坐在的對面，此時(shí)與的坐法共有2種情況，
所以根據(jù)古典概型求概率公式可知與相鄰的概率為.
故答案為：
三、解答題
12．（2021·湖南省邵東市第三中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這 50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為

（1）求頻率分布圖中的值，并估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；
（2）從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評分都在 的概率.
【答案】（1）; （2）
試題解析：（1）由頻率分布直方圖知，
所以.
該企業(yè)的職工對該部分評分不低于80的概率為.
（2）受訪職工中評分在的有：人，記為a，b，c；受訪職工中評分在的有：人，記為A，B，從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有的可能結(jié)果有10種，分別為：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{A，B}，此2人評分都在包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{b，c}，共3個(gè)，
∴從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，此2人評分都在的概率.
13．（2021·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）為了慶祝中國共產(chǎn)黨百年華誕，某學(xué)校黨支部舉行了黨史學(xué)習(xí)教育知識(shí)競賽，其中甲、乙兩個(gè)小組各選拔7名黨員參賽，參賽黨員的成績用莖葉圖表示如下：

(1)已知甲小組的平均數(shù)是87，乙小組的中位數(shù)是88，求x，y的值；
(2)若從甲、乙兩個(gè)小組成績在90分以上的黨員中抽取2人參加市級比賽，求這2人來自不同的小組的概率.
【答案】(1)；；
(2).
(1)
∵甲小組的平均數(shù)是87，
∴，
∴，又乙小組的中位數(shù)是88，
∴；
(2)
由題可知甲小組成績在90分以上的黨員有3人，設(shè)為，
乙小組成績在90分以上的黨員有3人，設(shè)為，
則從這6人中抽取2人，
包括
共15種，
其中這2人來自不同的小組的有共9種，
故2人來自不同的小組的概率為.
14．（2021·遼寧大連·高三學(xué)業(yè)考試）在抗擊新冠肺炎疫情期間，某校開展了“名師云課”活動(dòng)，活動(dòng)自開展以來獲得廣大家長和學(xué)生的高度關(guān)注.在“名師云課”中，數(shù)學(xué)學(xué)科共計(jì)推出72節(jié)云課，為了更好地將課程內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，現(xiàn)隨機(jī)抽取某一時(shí)段數(shù)學(xué)學(xué)科的云課點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：
點(diǎn)擊量
[0,700]
（700,1400]
（1400,2100]
節(jié)數(shù)
12
36
24

(1)現(xiàn)從數(shù)學(xué)學(xué)科72節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié)，求選出云課的點(diǎn)擊量在（700,1400]內(nèi)的節(jié)數(shù)；
(2)為了更好地搭建云課平臺(tái)，現(xiàn)將數(shù)學(xué)學(xué)科云課進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在 [0,700]內(nèi)，則需要花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在（700,1400]內(nèi)，則需要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在（1400,2100]內(nèi)，則不需要剪輯.現(xiàn)從（1）問選出的6節(jié)課中任意選出2節(jié)課進(jìn)行剪輯，求剪輯時(shí)間為60分鐘的概率.
【答案】(1)3；
(2).
(1)
設(shè)選出云課的點(diǎn)擊量在內(nèi)的節(jié)數(shù)為n，按分層抽樣，解得n=3.
(2)
按分層抽樣，由點(diǎn)擊量分別在、、節(jié)數(shù)比為12:36:24=1:3:2
所以6節(jié)課中，選出云課點(diǎn)擊量在、、節(jié)數(shù)分別為1、3、2，點(diǎn)擊量在的一節(jié)課設(shè)為，點(diǎn)擊量在設(shè)為， 點(diǎn)擊量在的設(shè)為，
又由題知選出2節(jié)課剪輯時(shí)間為60分鐘的選法是選出一節(jié)點(diǎn)擊量在內(nèi)，另一節(jié)在內(nèi)，共3種選法，為，，，其中從6節(jié)課中任意選出2節(jié)課進(jìn)行剪輯共15種選法，分別為，，，，，，，，，，，，，，
所以，剪輯時(shí)間為60分鐘的概率為.
15．（2021·天津河?xùn)|·高二學(xué)業(yè)考試）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的6個(gè)小球，其中2個(gè)紅球記為，，4個(gè)黑球記為，，，，從中一次摸出2個(gè)球.
（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間及樣本點(diǎn)總數(shù)；
（2）求摸出的2個(gè)球顏色不同的概率.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【詳解】（1）這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間：，共15個(gè)樣本點(diǎn).
（2）由15個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的，且事件“2個(gè)球顏色不同”包含的樣本點(diǎn)有，，，，，，，，共8個(gè)，∴所求事件的概率.

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