【學考復習】2024年高中數(shù)學學業(yè)水平考試（江蘇專用）06第六章平面向量和復數(shù)-講義-試卷下載-教習網(wǎng)

1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
3．向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa．
4．常用結論
（1）一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq \(A1A2,\s\up16(→))＋eq \(A2A3,\s\up16(→))＋eq \(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up16(→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
（2）若F 為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點，則eq \(OF ,\s\up16(→))＝eq \f (1,2)(eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→)))．
（3）若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，則eq \(PA,\s\up16(→))＋eq \(PB,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→))＝0?P為△ABC的重心，eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \f (1,3)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))．
（4）若eq \(OA,\s\up16(→))＝λeq \(OB,\s\up16(→))＋μeq \(OC,\s\up16(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.
（5）對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
5．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝x1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．
6．平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
7．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up15(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
8．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.
9．中點坐標公式
已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
10．重心坐標公式
已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
11．平面向量數(shù)量積的有關概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|csθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|csθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq \(OM,\s\up15(→))＝a，eq \(ON,\s\up15(→))＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq \(OM1,\s\up15(→))就是向量a在向量b上的投影向量．
設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq \(OM1,\s\up15(→))與e，a，θ之間的關系為eq \(OM1,\s\up15(→))＝|a|csθe.
12．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．
(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|csθ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(3)夾角：csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)).
13．平面向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
14．平面向量數(shù)量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
15．有關向量夾角的兩個結論
已知向量a，b.
(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.
(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或取值范圍)．
(2)轉化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.
對點訓練
1．若對任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a為常數(shù))，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
考點五給定參數(shù)范圍的恒成立
【例5】設關于x的不等式mx2－2x－m＋10恒成立，則x的取值范圍是________．
考點六平面向量基本定理的應用
【例6】 (1)如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且eq \(AN,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up15(→))，BN與CM相交于點E，設eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(AC,\s\up15(→))＝b，則eq \(AE,\s\up15(→))等于( )
A．eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b B．eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b
C．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b D．eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b
(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若eq \(CG,\s\up15(→))＝λeq \(CD,\s\up15(→))＋μeq \(CB,\s\up15(→))(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝__________.
歸納點撥
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系．
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．
對點訓練
1. 如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點，eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AN,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))，連接AC，MN交于P點．若eq \(AP,\s\up15(→))＝λeq \(AC,\s\up15(→))，則λ的值為( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(3,7)
C．eq \f(4,11) D．eq \f(4,13)
2. 如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若eq \(AB,\s\up15(→))＝meq \(AM,\s\up15(→))，eq \(AC,\s\up15(→))＝neq \(AN,\s\up15(→))，則m＋n的值為________．
考點七平面向量的坐標運算
【例7】已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(5,4)，則以向量a與b為基底表示向量c的結果是( )
A．eq \f(13,5)a－eq \f(6,5)b B．eq \f(13,3)a－eq \f(14,3)b
C．－eq \f(7,2)a－eq \f(9,2)b D．eq \f(14,3)a＋eq \f(13,3)b
歸納點撥
平面向量坐標運算的2個技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．
(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.
對點訓練
1．在平行四邊形ABCD中，eq \(AD,\s\up15(→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up15(→))＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點O，則eq \(CO,\s\up15(→))的坐標為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))
2．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝__________.
考點八利用向量共線求參數(shù)
【例8】(1)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝__________.
(2)已知向量eq \(OA,\s\up15(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點共線，則k＝__________.
歸納點撥
利用向量共線的坐標表示求參數(shù)的一般步驟
(1)根據(jù)已知條件求出相關向量的坐標．
(2)利用向量共線的坐標表示列出有關向量的方程或方程組．
(3)根據(jù)方程或方程組求解得到參數(shù)的值．
對點訓練
1．已知向量m＝(2，λ)，n＝(－1,3)．若(2m＋n)∥(m－n)，則實數(shù)λ的值為( )
A．6 B．3
C．－3 D．－6
考點九利用向量共線求向量或點的坐標
【例9】(1)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，則b＝( )
A．(4,8) B．(4，－8)或(－4,8)
C．(－4，－8)或(4,8) D．(－4,8)
(2)已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為__________．
歸納點撥
(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設
所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求點的坐標時，可設要求點的坐標為(x，y)，根據(jù)向量共線的條件列方程(組)，求出x，y的值．
對點訓練
1．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,1)和點B(－3,4)．若點C在∠AOB的平分線上，且|eq \(OC,\s\up15(→))|＝3eq \r(10)，則向量eq \(OC,\s\up15(→))的坐標為__________．
考點十平面向量數(shù)量積的基本運算
【例10】 (1)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，則a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC＝1，則eq \(PA,\s\up15(→))·eq \(PB,\s\up15(→))的取值范圍是( )
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
歸納點撥
平面向量數(shù)量積的兩種運算方法
(1)基底法：當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關計算問題．
(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解．
對點訓練
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，點D為BC邊上一點，且eq \(BD,\s\up15(→))＝2eq \(DC,\s\up15(→))，則eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AD,\s\up15(→))＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．1 D．2
2．已知△ABC是邊長為2的正三角形，P為線段AB上一點(包含端點)，則eq \(PB,\s\up15(→))·eq \(PC,\s\up15(→))的取值范圍為( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，4))
C．[0,2] D．[0,4]
考點十一平面向量的夾角
【例11】設等邊三角形ABC的邊長為1，平面內(nèi)一點M滿足eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up15(→))，則向量eq \(AM,\s\up15(→))與eq \(AB,\s\up15(→))夾角的余弦值為( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),6)
C．eq \f(\r(19),12) D．eq \f(4\r(19),19)
歸納點撥
求平面向量的夾角的方法
(1)定義法：csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，θ的取值范圍為[0，π]．
(2)坐標法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則csθ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
(3)解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中．
對點訓練
1．已知向量a，b的夾角為eq \f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝2，則向量a與向量a＋2b的夾角等于( )
A．eq \f(π,12) B．eq \f(π,6)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,4)
2．若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|，(2a＋3b)⊥b，則a與b的夾角為( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
考點十二平面向量的模
【例12】 (1)若向量a，b滿足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，則|b|＝__________.
(2)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若點M在線段AC上，則|eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(MD,\s\up15(→))|的取值范圍為________．
歸納點撥
求平面向量模的2種方法
(1)公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的運算轉化為數(shù)量積運算．
(2)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
對點訓練
1．已知點G是△ABC內(nèi)一點，滿足eq \(GA,\s\up15(→))＋eq \(GB,\s\up15(→))＋eq \(GC,\s\up15(→))＝0，若∠BAC＝eq \f(π,3)，eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))＝1，則|eq \(AG,\s\up15(→))|的最小值是( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(6),3) D．eq \f(\r(6),2)
考點十三平面向量的垂直
【例13】 (1)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是( )
A．a(chǎn)＋2b B．2a＋b
C．a(chǎn)－2b D．2a－b
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝__________.
歸納點撥
(1)利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題
若證明兩個向量垂直，先根據(jù)已知條件(如共線、夾角等)計算出這兩個向量的坐標，然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．
(2)已知兩個向量的垂直關系求解相關參數(shù)
根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數(shù)．
考點十四復數(shù)的概念
【例14】復數(shù)z滿足：z(2＋i)＝5(i是虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的虛部為( )
A．－2 B．2
C．－i D．－1
歸納點撥
(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若z為實數(shù)，則虛部b＝0，與實部a無關；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實部a無關；若z為純虛數(shù)，當且僅當a＝0且b≠0.
(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
(3)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數(shù)為eq \(z,\s\up15(－))＝a－bi，則z·eq \(z,\s\up15(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up15(－))|2，即|z|＝|eq \(z,\s\up15(－))|＝eq \r(z·\(z,\s\up15(－)))，若z∈R，則eq \(z,\s\up15(－))＝z.
對點訓練
1．已知復數(shù)z＝eq \f(2,1－i)，復數(shù)eq \(z,\s\up15(－))是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則z·eq \(z,\s\up15(－))＝( )
A．1 B．eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
2．已知復數(shù)z1＝a－3i，z2＝2＋i(i為虛數(shù)單位)．若z1z2是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝( )
A．－eq \f(3,2) B．eq \f(3,2)
C．－6 D．6
3．若z＝1＋i，則|z2－2z|＝__________.
考點十五復數(shù)的運算
【例15】 (1)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝( )
A．－1－eq \f(3,2)i B．－1＋eq \f(3,2)i
C．－eq \f(3,2)＋i D．－eq \f(3,2)－i
(2)已知復數(shù)z＝1＋eq \f(2i,1－i)，則1＋z＋z2＋…＋z2022＝( )
A．1＋i B．1－i
C．i D．0
歸納點撥
復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略
(1)在進行復數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可．
(2)復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．
(3)復數(shù)除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式，這里的分母實數(shù)化可類比分母含根式的分母有理化．
對點訓練
1． (2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
2．若復數(shù)z滿足z(1＋2i)＝2i－(1＋i)3，則eq \(z,\s\up15(－))＝( )
A．eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)i B．eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i
C．－eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)i D．－eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i
考點十六復數(shù)的幾何意義
【例16】 (1)已知復數(shù)z＝eq \f(2－i,1＋i)，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多選)已知復數(shù)z1＝eq \f(2,－1＋i)(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是( )
A．z1對應的點在第三象限
B．z1的虛部為－1
C．zeq \\al(4,1)＝4
D．滿足|z|＝|z1|的復數(shù)z對應的點在以原點為圓心，2為半徑的圓上
歸納點撥
(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up15(一一對應))Z(a，b)eq \(,\s\up15(一一對應))eq \(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)．
(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此解題時可運用數(shù)形結合的方法，把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.
對點訓練
1．若復數(shù)z＝(2＋ai)(a－i)在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，其中a∈R，i為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，0)
C．(0，eq \r(2)) D．[0，eq \r(2))
2. 如圖，若向量eq \(OZ,\s\up15(→))對應的復數(shù)為z，則z＋eq \f(4,z)表示的復數(shù)為( )
A．1＋3i
B．－3－i
C．3－i
D．3＋i
一、選擇題
1．平行四邊形ABCD中，點E是DC的中點，點F 是BC的一個三等分點(靠近B)，則eq \(EF ,\s\up16(→))＝( )
A．eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up16(→))－eq \f (1,3)eq \(AD,\s\up16(→)) B．eq \f (1,4)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f (1,2)eq \(AD,\s\up16(→))
C．eq \f (1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f (1,2)eq \(AD,\s\up16(→)) D．eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up16(→))－eq \f (2,3)eq \(AD,\s\up16(→))
2．在△ABC中，D為線段AB上一點，且BD＝3AD，若eq \(CD,\s\up16(→))＝λeq \(CA,\s\up16(→))＋μeq \(CB,\s\up16(→))，則eq \f (λ,μ)＝( )
A．eq \f (1,3)B．3
C．eq \f (1,4)D．4
3．在四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up16(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up16(→))＝－4a－3b，eq \(CD,\s\up16(→))＝－5a－5b，則四邊形ABCD的形狀是( )
A．矩形B．平行四邊形
C．梯形D．以上都不對
4．在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，F(xiàn) 是線段DE上的點，且eq \(F C,\s\up16(→))＝eq \f (7,8)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f (1,4)eq \(AD,\s\up16(→))，則( )
A．eq \(F D,\s\up16(→))＝2eq \(EF ,\s\up16(→)) B．eq \(EF ,\s\up16(→))＝2eq \(F D,\s\up16(→))
C．eq \(F D,\s\up16(→))＝3eq \(EF ,\s\up16(→)) D．eq \(EF ,\s\up16(→))＝3eq \(F D,\s\up16(→))
5．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充分必要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
6．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(8,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(4,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))
7．已知m＝(5,12)，則與m方向相同的單位向量的坐標是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)，\f(12,13))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
8．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是BC的中點，eq \(CE,\s\up15(→))＝－2eq \(DE,\s\up15(→))，若eq \(EF,\s\up15(→))＝xeq \(AB,\s\up15(→))＋yeq \(AD,\s\up15(→))，則x＋y＝( )
A．1 B．6
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,3)
9．若向量a，b為單位向量，|a－2b|＝eq \r(7)，則向量a與向量b的夾角為( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
10．在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，則向量eq \(BA,\s\up15(→))在向量eq \(BC,\s\up15(→))上的投影向量為( )
A．eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up15(→)) B．eq \f(\r(3),4)eq \(BC,\s\up15(→))
C．－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up15(→)) D．－eq \f(\r(3),4)eq \(BC,\s\up15(→))
11．已知O是△ABC內(nèi)部一點，且滿足eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→))＝0，又eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))＝2eq \r(3)，∠BAC＝60°，則△OBC的面積為( )
A．eq \f(\r(3),2) B．3
C．1 D．2
12．在△ABC中，BC＝2，BA＝eq \r(2)，B＝eq \f(π,4)，eq \(CA,\s\up15(→))＝3eq \(DA,\s\up15(→))，且E是BD的中點，則eq \(AE,\s\up15(→))·eq \(EC,\s\up15(→))＝( )
A．－eq \f(2,9) B．eq \f(2,9)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
13．已知復數(shù)z＝eq \f(i,1＋i)，則|z|＝( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \r(2)
C．eq \f(1,2) D．1
14．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足eq \f(z,3－i)＝i，則eq \(z,\s\up15(－))＝( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
15．復數(shù)z＝eq \f(1－2i,1＋i3)的共軛復數(shù)的虛部為( )
A．－eq \f(1,2)i B．eq \f(1,2)i
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
16．設eq \(z,\s\up15(－))是復數(shù)z的共軛復數(shù)．在復平面內(nèi)，復數(shù)z＋2與eq \(z,\s\up15(－))＋2i對應的點關于y軸對稱，則eq \f(1,z)＝( )
A．－1＋i B．－eq \f(1,2)－eq \f(i,2)
C．eq \f(1,2)－eq \f(i,2) D．－eq \f(1,2)＋eq \f(i,2)
二、解答題
17．設e1，e2是兩個不共線向量，已知eq \(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2，eq \(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2.
(1)求證：A，B，D三點共線；
(2)若eq \(BF ,\s\up16(→))＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn) 三點共線，求k的值．
18．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線；
(2)若eq \(AB,\s\up15(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up15(→))＝a＋mb且A、B、C三點共線，求m的值．
19．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(csB，csA)，m·n＝sin2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且eq \(CA,\s\up15(→))·(eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AC,\s\up15(→)))＝18，求c邊的長．
20．(1)已知復數(shù)z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csθ－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinθ－\f(3,5)))i是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))的值．
(2)若復數(shù)1＋eq \r(3)i與復數(shù)－eq \r(3)＋i在復平面內(nèi)對應的點分別為A、B，O為坐標原點，求∠AOB的大?。?br>向量
運算
法則(或幾何意義)
運算律
加法
交換律：
a＋b＝b＋a
結合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
減法
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；
當λ

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