?第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1函數(shù)的概念及其表示
3.2函數(shù)的基本性質(zhì)
3.3冪函數(shù)
3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）
3.5函數(shù)的概念與性質(zhì)實戰(zhàn)



3.1函數(shù)的概念及其表示
知識回顧
1、函數(shù)的概念
設(shè)、是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域
與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
2、同一（相等）函數(shù)
函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．
同一（相等）函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
3、函數(shù)的表示
函數(shù)的三種表示法
解析法（最常用）
圖象法（解題助手）
列表法
就是把變量，之間的關(guān)系用一個關(guān)系式來表示，通過關(guān)系式可以由的值求出的值.
就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量，的值.
就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.
高頻考點
1．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對于一個，只能有唯一的與之對應(yīng)，只有D滿足要求
故選：D
2．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，所以要使式子有意義，則
，解得，即.
所以函數(shù)的定義域是.故A，C，D錯誤.
故選：B.
3．（2022·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中表示同一函數(shù)的是（????）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】B
【詳解】選項A：函數(shù)的定義域為R，函數(shù)的定義域為，故不是同一函數(shù)，
選項B：函數(shù)與的關(guān)系式相同，定義域相同，故是同一函數(shù)，
選項C：因為，則，函數(shù)，則，故不是同一函數(shù)，
選項D：因為，而，故不是同一函數(shù)，
故選：B．
4．（2022·湖北·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為函數(shù)的定義域為，
即，所以，令，解得，
所以函數(shù)的定義域為；
故選：A
5．（2022·四川·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象大致為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】函數(shù)的圖象，是將函數(shù)先向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到；
又由于函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱，所以圖象關(guān)于中心對稱，所以C正確.
故選：C.
6．（多選）（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）矩形的面積為，如果矩形的長為，寬為，對角線為，周長為，下列正確的（???）
A．（） B．（）
C． （） D．（）
【答案】ABD
【詳解】對于A，因為矩形的面積為，矩形的長為，寬為，
所以，得，所以矩形的周長為（），所以A正確，
對于B，由選項A，可知（），所以B正確，
對于C，因為矩形的面積為，對角線為，長為，寬為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，，
因為，所以，所以矩形的周長為（），所以C錯誤，
對于D，由選項C可知，，所以，
因為，所以（），所以D正確，
故選：ABD
7．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則___________.
【答案】
【詳解】，.
故答案為：.
8．（2022·北京·高三學(xué)業(yè)考試）對于溫度的計量，世界上大部分國家使用攝氏溫標(biāo)（），少數(shù)國家使用華氏溫標(biāo)（），兩種溫標(biāo)間有如下對應(yīng)關(guān)系：
攝氏溫標(biāo)（）
…
0
10
20
30
40
50
…
華氏溫標(biāo)（）
…
32
50
68
86
104
122
…

根據(jù)表格中數(shù)值間呈現(xiàn)的規(guī)律，給出下列三個推斷：
①對應(yīng)；
②對應(yīng)；
③存在某個溫度，其攝氏溫標(biāo)的數(shù)值等于其華氏溫標(biāo)的數(shù)值．
其中所有正確推斷的序號是_____________．
【答案】①②③
【詳解】設(shè)攝氏溫標(biāo)為x ，對應(yīng)的華氏溫標(biāo)為y ,
根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知
∴，即，
∴時，，時，，故①②正確；
由，可得，即攝氏溫標(biāo)對應(yīng)的華氏溫標(biāo)為，故③正確.
故答案為：①②③.
9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，求的表達式．
【答案】．
【詳解】由題意，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
因為，可得，
整理得，即，解得，
所以函數(shù)的表達式為.
10．（2022·北京·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)則________；方程的解為________．
【答案】???? －2???? 1
【詳解】2×(－1)＝－2；
x＜0時，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0時，x≥0，則，解得x＝1.
故答案為：－2；1.
3.2函數(shù)的基本性質(zhì)
知識回顧
1、函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)性的定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，；
①當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
②當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
（2）單調(diào)性簡圖：

（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）
若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
2、函數(shù)的最值
（1）設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最大值
（2）設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最小值
3、函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)
圖象關(guān)于軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
圖象關(guān)于原點對稱
4、函數(shù)對稱性
（1）軸對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①；
②；
③
（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①
②
③
（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①
②
③
高頻考點
1．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則（????）
A．1 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【詳解】由偶函數(shù)的性質(zhì)得.
故選：C.
2．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由知，函數(shù)為開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：B.
3．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的有（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】當(dāng)時，函數(shù)，其在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故A不正確；
函數(shù)的定義域為，且，所以是奇函數(shù)，故B不正確；
函數(shù)的定義域為，且，所以是偶函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故C正確；
函數(shù)的定義域為，且，所以是奇函數(shù)，故D不正確；
故選：C.
4．（2022·浙江·臺州市書生中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則（????）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【詳解】圖象關(guān)于點對稱，，
又，
，
，解得：，.
故選：C.
5．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（????）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【詳解】對稱軸為，開口向上，要想在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，所以.
故選：A
6．（2022·福建·高二學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，，
所以或時，；或時，；
，即，
可知或.
故選：A.
7．（2022·福建·上杭一中高二學(xué)業(yè)考試）以下函數(shù)圖象中不為奇函數(shù)的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
所以A選項的圖象是奇函數(shù)的圖象，BCD選項的不是奇函數(shù)的圖象.
故選：BCD
8．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知，函數(shù)，存在，使得對任意的，都有，則的取值范圍是___________．
【答案】
【詳解】根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且.又在上恒為正，且存在，使得對任意的，都有，故，因為，故只需即可.
（1）當(dāng)時，不成立；
（2）當(dāng)時，，故，即，，解得.
綜上有.
故答案為：.
9．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足以下兩個條件：
①對任意，把有；②對任意，都有．
則不等式的解集為___．
【答案】
【詳解】由，可得：，
令，則，即函數(shù)為偶函數(shù)，
因為對任意，都有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，得，
即，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以
則，，，解得或，
故答案為：.
10．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)a=8時，求f(x)在區(qū)間[3，5]上的值域；
(2)若，使f(xi)=g(t)，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(2)
（1）當(dāng)時， ，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，，，所以函數(shù)在上的值域是，
（2），因為，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以符合題意的必須滿足或，即或，（?。┊?dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，在上遞增，由題意得，關(guān)于的方程在至少有兩個不同的解，等價于，即 ，解得： 所以 （ⅱ）當(dāng)時，，而當(dāng)時，，所以方程無解，綜上，實數(shù)的取值范圍是，另解：，，因為，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，（?。┊?dāng)時，在上遞增，因為，所以在上遞增，，當(dāng)在上遞增，所以不存在，使得，（ⅱ）當(dāng)時，在上遞增，，①若，在上遞增，所以不存在，使得，②若，在上遞減，在上遞增，由題意，關(guān)于的方程在至少有兩個不同的解所以 ，解得： 所以；③若，而當(dāng)時，，所以不存在，使得，綜上，實數(shù)的取值范圍是
11．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)， 求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，已知當(dāng)時，存在最大值，記為.
（i）求的表達式；
（ii）求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
(1)解：因為為偶函數(shù)，所以，
即，即，所以，
即，所以；
(2)解：（i）因為，
所以，因為，
所以，
①當(dāng)時，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)即時，，
當(dāng)即時，，
②當(dāng)時，
又在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，
所以當(dāng)時，
又，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
綜上可得：，
（ii）因為函數(shù)，與，均在定義域上單調(diào)遞增，又，，
所以；
12．（2022·天津南開·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．
(1)若為偶函數(shù)，求a的值；
(2)若在上有最小值9，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
(1)解：由題意，函數(shù)，可得其對稱軸方程為，
因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以二次函數(shù)的對稱軸為，
所以，解得.
(2)解：由（1）知，函數(shù)，對稱軸方程為，
①當(dāng)，即時，函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以函數(shù)的最小值為，解得；
②當(dāng)，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，此時方程無解；
③當(dāng)，即時，函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以函數(shù)的最小值為，
解得或（舍去），
綜上所述，滿足條件的的值為或.
13．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在是增函數(shù)，求的取值范圍；
(2)若對于任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
（1）因為函數(shù)，所以對稱軸為，
因為在是增函數(shù)，所以，解得
（2）因為對于任意的，恒成立，
即在時恒成立，所以在時恒成立，
設(shè)，則對稱軸為，即在時恒成立，
當(dāng)，即時，，解得；
當(dāng)，即時，，解得（舍去），
故.
3.3冪函數(shù)
知識回顧
1、冪函數(shù)定義
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．
2、五種常見冪函數(shù)
函數(shù)





圖象





性質(zhì)
定義域





值域





奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點

高頻考點
1．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象大致為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：因為，即，定義域為，且，
即為奇函數(shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故符合題意的只有C；
故選：C
2．（2022·浙江·臺州市書生中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)上單調(diào)遞增，則（????）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為冪函數(shù)上單調(diào)遞增，
所以且，
解得，
故選：A
3．（2022·浙江·杭州市余杭高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的大致圖象是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】的定義域為，且，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，可排除；
，由冪函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，但增長速度越來越慢，可排除AC.
故選：B.
4．（2022·浙江·臺州市書生中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=，則當(dāng)xx）
A．y＝10－x(0

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