05第五章三角函數(shù)——2023年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試專項精講+測試（人教A版2019，新教材地區(qū)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第五章三角函數(shù)
5.1任意角和弧度制
5.2三角函數(shù)的概念
5.3誘導(dǎo)公式
5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
5.5三角恒等變換
5.6函數(shù)
5.7三角函數(shù)實戰(zhàn)

5.1任意角和弧度制
知識回顧
1、角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形
2、角的分類
①正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.

②負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.

③零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角.

3、象限角
（1）定義：在直角坐標系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.
如果角的終邊在坐標軸上,那么就認為這個角不屬于任何一個象限.
（2）象限角的常用表示：
第一象限角

第二象限角

第三象限角
或
第四象限角
或
4、終邊相同的角的集合
所有與角終邊相同的角為
5、弧度制
長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).
6、角度與弧度的換算
弧度與角度互換公式：
，
7、常用的角度與弧度對應(yīng)表
角度制

弧制度

8、扇形中的弧長公式和面積公式
弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，
扇形面積公式：.
高頻考點
1．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（????）
A． B． C． D．或
【答案】C
【詳解】因為扇形的弧長為4，面積為2，
設(shè)扇形的半徑為，則，
解得，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為.
故選:C.
2．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）某圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為（???）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓半徑為，
則底面圓面積為，底面圓周長為；
又圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其側(cè)面積為；
由圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍得：，所以
所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，
故選：C.
3．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）下列選項中與角終邊相同的角是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：與角終邊相同的角的集合為，
取時，.
故選：D
4．（2022·遼寧實驗中學(xué)高二開學(xué)考試）下面關(guān)于弧度的說法，錯誤的是（????）
A．弧長與半徑的比值是圓心角的弧度數(shù)
B．一個角的角度數(shù)為，弧度數(shù)為，則.
C．長度等于半徑的倍的弦所對的圓心角的弧度數(shù)為
D．航海羅盤半徑為，將圓周32等分，每一份的弧長為.
【答案】D
【詳解】A.根據(jù)弧度數(shù)定義可知A正確；
B.根據(jù)弧度與角度的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可知B正確；
C.根據(jù)三角形關(guān)系可知，長度等于半徑的倍的弦所對的圓心角為，即弧度數(shù)為，故C正確；
D.圓周長為，32等分后，每一份弧長為，故D錯誤.
故選：D
5．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）將化為的形式是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由知.
故選：B.
6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）將分針撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：將分針撥慢是逆時針旋轉(zhuǎn)，所以分針撥慢分鐘，轉(zhuǎn)過的角為．
故選：C
7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則角的終邊落在的陰影部分是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】令，得，則B選項中的陰影部分區(qū)域符合題意.
故選：B．
8．（2022·海南·嘉積中學(xué)高二期末）2022年北京冬奧會開幕式倒計時環(huán)節(jié)把二十四節(jié)氣與古詩詞、古諺語融為一體，巧妙地呼應(yīng)了今年是第二十四屆冬奧會，更是把中國傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代美學(xué)完美地結(jié)合起來，彰顯了中華五千年的文化自信．地球繞太陽的軌道稱為黃道，而二十四節(jié)氣正是按照太陽在黃道上的位置來劃分的．當太陽垂直照射赤道時定為“黃經(jīng)零度”，即春分點．從這里出發(fā)，每前進15度就為一個節(jié)氣，從春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏等等．待運行一周后就又回到春分點，此為一回歸年，共360度，因此分為24個節(jié)氣，則今年高考前一天芒種為黃經(jīng)（????）

A．60度 B．75度 C．270度 D．285度
【答案】B
【詳解】春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，
所以芒種為黃經(jīng)度.
故選：B
9．（多選）（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）已知扇形的周長是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（????）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，面積為S，圓心角為，則，，解得，或，，則或1．故C，D錯誤.
故選：AB．
10．（多選）（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學(xué)高一期末）已知是第一象限角，那么可能是（????）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】AC
【詳解】解：是第一象限角，，，
，，
當取偶數(shù)時，是第一象限角，當取奇數(shù)時，是第三象限角，
故選：AC．
11．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）彝族圖案作為人類社會發(fā)展的一種物質(zhì)文化，有著燦爛歷史．按照圖案的載體大致分為彝族服飾圖案、彝族漆器圖案、彝族銀器圖案等，其中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化，如圖1，漆器圖案中出現(xiàn)的“阿基米德螺線”，該曲線是由一動點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點轉(zhuǎn)動所形成的軌跡．這些螺線均勻分布，將其簡化抽象為圖2，若，則所對應(yīng)的弧長為______．

【答案】
【詳解】由題意，可知圓心角，半徑，
所以所對應(yīng)的弧長為．
故答案為：.
12．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一學(xué)業(yè)考試）設(shè)扇形的周長為6，面積為2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是___________．
【答案】或4
【詳解】試題分析：設(shè)扇形半徑為，弧長為，則由題意，解得或，所以或，所以答案應(yīng)填：或4．
13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知在半徑為的圓中，弦的長為.
（1）求弦所對的圓心角的大?。?br /> （2）求圓心角所在的扇形弧長及弧所在的弓形的面積.
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）由于圓的半徑為，弦的長為，所以為等邊三角形，所以.
（2）因為，所以.，
又，
所以.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．
(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；
(2)若扇形周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．
【答案】(1)
(2)取得最大值25，此時
（1）由題意得，解得(舍去)，．
所以扇形圓心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以當時，取得最大值25，
,解得.
當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大為25.
5.2三角函數(shù)的概念
知識回顧
1、任意角的三角函數(shù)定義
（1）單位圓定義法：
如圖,設(shè)是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點
①正弦函數(shù)：把點的縱坐標叫做的正弦函數(shù),記作,即
②余弦函數(shù)：把點的橫坐標叫做的余弦函數(shù),記作,即　　　　?
③正切函數(shù)：把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作,即()?
我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)
（2）終邊上任意一點定義法：
在角終邊上任取一點，設(shè)原點到點的距離為
①正弦函數(shù)：
②余弦函數(shù)：　　　　?
③正切函數(shù)：()?
2、三角函數(shù)值在各象限的符號
,,在各象限的符號如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）

3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：
（2）商數(shù)關(guān)系:（，）
高頻考點
1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）若滿足，則的終邊在（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【詳解】由可知的終邊在第三象限或第四象限，又，則的終邊在第三象限.
故選：C.
2．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）若角是銳角，且，則（????）
A． B．－ C．－ D．
【答案】D
【詳解】因為，可得，
又因為角是銳角，可得，所以.
故選：D.
3．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知角的終邊經(jīng)過點，則（????）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【詳解】解：由題意得.
故選：B.
4．（2022·浙江·太湖高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知角的終邊上一點坐標為，則角的最小正值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：因為角的終邊上一點坐標為，
所以，
且的終邊位于第四象限，
，．
當時，角取最小正值，
故選：C．
5．（2022·福建·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的值域是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
當是第一象限角時，，
當是第二象限角時，，
當是第三象限角時，，
當是第四象限角時，，
綜上，函數(shù)值域為．
故選：C．
6．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一學(xué)業(yè)考試）已知角終邊經(jīng)過點，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為角終邊經(jīng)過點，且，
所以，所以，且，
解得，
所以
故選：B.
7．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）若角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，所以，，
所以
故選：A
8．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）已知角終邊過點，則的值為（????）
A． B． C．– D．–
【答案】A
【詳解】由題意得，點到原點的距離，
所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，
所以.
故選：A．
9．（多選）（2022·全國·高一課時練習(xí)）（多選）下列三角函數(shù)值中符號為負的是（????）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】因為，所以角是第二象限角，所以；因為，角是第二象限角，所以；因為，所以角是第二象限角，所以；；
故選：BCD．
10．（2022·全國·高一期末）對于①，②，③，④，⑤，⑥，則為第二象限角的充要條件為（????）
A．①③ B．①④ C．④⑥ D．②⑤
【答案】BC
【詳解】若為第二象限角，則，，.
所以，為第二象限角或或.
故選：BC.
11．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知為第三象限角，且，則__________.
【答案】
【詳解】由條件可知，且為第三象限角，
解得：，.
故答案為：
12．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知角的終邊過點，且，則的值為_________．
【答案】##0.5
【詳解】試題分析:由題設(shè),所以,解之得,故應(yīng)填答案.
13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合的角的終邊上有一點，且，求的值，并求與的值．
【答案】；當時，，；當時，，
【詳解】，；
當時，，；
當時，，.
14．（2022·全國·高一單元測試）如圖所示，滾珠，同時從點出發(fā)沿圓形軌道勻速運動，滾珠按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，滾珠按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，相遇后發(fā)生碰撞，各自按照原來的速度大小反向運動．

(1)求滾珠，第一次相遇時所用的時間及相遇點的坐標；
(2)求從出發(fā)到第二次相遇滾珠，各自滾動的路程．
【答案】(1)時間為4秒，
(2)點滾動的路程為，點滾動的路程為．
（1）設(shè)、第一次相遇時所用的時間是，
則，
（秒，即第一次相遇的時間為4秒．
設(shè)第一次相遇點為，則，，
點的坐標為，
（2）第一次相遇時，點滾動的路程為，點滾動的路程為，故第二次相遇時，點滾動的路程為，點滾動的路程為．
5.3誘導(dǎo)公式
知識回顧
誘導(dǎo)公式一
① ②
③其中.?
公式二

公式三

公式四

公式五

公式六

公式七

公式八

高頻考點

1．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
故選：D
2．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實驗學(xué)校高二學(xué)業(yè)考試）已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：因為，則.
故選：D.
3．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】.
故選：A
4．（2022·福建·上杭一中高二學(xué)業(yè)考試）的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
根據(jù)誘導(dǎo)公式：
故選：A.
5．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知，則（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】.
故選：D．
6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）化簡（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】∵，
∴，
∴.
故選：A.
8．（2022·廣東韶關(guān)·高一期末）已知角的終邊過點，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題可知，
故選:B．
9．（多選）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知角滿足，則的取值可能為（????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】因為，則且，
當為奇數(shù)時，原式；
當為偶數(shù)時，原式.
故原式的取值可能為、.
故選：AC.
10．（多選）（2022·海南華僑中學(xué)高一期末）已知，且為第二象限角，則下列選項正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【詳解】A選項，由誘導(dǎo)公式得：，A正確；
B選項，因為，且為第二象限角，，所以，B正確；
C選項，，C錯誤；
D選項，，D錯誤.
故選：AB
11．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）已知，則______．
【答案】##0.75
【詳解】解：由題意得：
∵，
∴．
故答案為：
12．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的一個取值為___________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】因為該函數(shù)是偶函數(shù)，所以有，
當時，有，
于是有：或，
解得：，
當時，有，
于是有或，
解得，
所以，顯然的一個取值可以是，
故答案為：
13．（2022·陜西渭南·高一期末）已知為第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
（1），因為為第二象限角，∴．
（2）∵，∴
14．（2022·安徽·亳州二中高一期末）在直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊落在軸的正半軸上，終邊與單位圓的交點為.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
(1)由題意，，
由三角函數(shù)的定義得，，
；
(2)由（1）知，

.
5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
知識回顧
正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)
函數(shù)

圖象

定義域

值域

周期性

奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱中心

對稱軸方程

無
遞增區(qū)間

遞減區(qū)間

無
高頻考點
1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】對于A, ,故是偶函數(shù),A正確；
對于B，是奇函數(shù)，B錯誤；
對于C，為非奇非偶函數(shù)，C錯誤；
對于D，為非奇非偶函數(shù)，D錯誤；
故選：A
2．（2022·湖南婁底·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的最小正周期是（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】函數(shù)的最小正周期是，
故選：B．
3．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的最小正周期是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，函數(shù)
根據(jù)正弦型函數(shù)的周期的計算公式，可得函數(shù)的最小正周期為.
故選：C.
4．（2022·北京·高三學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】在上單調(diào)遞增，故A不符題意；
在上單調(diào)遞減，故B符合題意；
在上單調(diào)遞增，故C不符題意；
在上不單調(diào)，故D不符題意.
故選：B.
5．（2022·浙江·太湖高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由圖可知函數(shù)的定義域中不含，且函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，
與的定義域均為，不符合題意，故A、B錯誤；
對于C：，則，故C錯誤；
對于D：定義域為，且，符合題意；
故選：D
6．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵，
∴，
∴，
故選：C.
7．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的大致圖象是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)
其圖象關(guān)于原點對稱，排除選項D；
當時，，此時，
∴當時，的圖象在軸上方，排除選項B；
當時，，的圖象在軸下方，排除選項C；
綜上所述，函數(shù)的大致圖象為選項A.
故選：A.
8．（2022·浙江·太湖高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】對于A，因為，定義域為R，所以，所以是偶函數(shù)，所以不正確；
對于B，因為定義域為R ，，所以是奇函數(shù)，但在上是減函數(shù)，所以不正確；
對于C，因為的定義域為不關(guān)于原點對稱，所以不具備奇偶性，所以不正確；
對于D，因為，定義域為R，，
是奇函數(shù)，設(shè)，則，
因為，所以，，
所以，即，是定義域為R的單調(diào)遞增函數(shù)，所以正確.
故選：D．
9．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的最大值是___．
【答案】.
【詳解】由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，
所以函數(shù)的最大值為.
故答案為：.
10．（2022·湖北·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為________.
【答案】
【詳解】對于函數(shù)，
令，,
求得，
可得它的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，
故答案為，，．
11．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).
(1)求的值；
(2)求的最小正周期.
【答案】(1)(2)
(1)∵，
∴
(2)∵，∴，
∴的最小正周期
12．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，從下列兩個問題中選擇一個解答，兩個都做只給第一問的分數(shù).
問①：（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域.
問②：（1）求的值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】選①：（1）；（2）；選②：（1）；（2），.
【詳解】,
選①，（1），
（2）時，，，所以的值域為；
選②，（1）；
（2），，
所以增區(qū)間是，．
13．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
【答案】(1)；
(2).
(1)
；
(2)∵函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
令，，
解得：，，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
14．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的最小正周期是.
(1)求的值；
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)2；
(2).
(1)∵，
∴|ω|＝2，又ω＞0，則ω＝2.
(2)∵ω＝2，則，
令，則，
∴，
∴函數(shù)的增區(qū)間為.
5.5三角恒等變換
知識回顧
1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
①兩角和與差的正弦公式

②兩角和與差的余弦公式

③兩角和與差的正切公式

2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降冪公式

4、輔助角公式：
(其中)
高頻考點
1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】.
故選：A.
2．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）＝（????）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【詳解】.
故選：D
3．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】.
故選：A
4．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實驗學(xué)校高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，故最大值為2
故選：B
5．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知，則(????)
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】．
故選：A．
6．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知角的為第四象限角，它的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點．則=（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為第四象限角與單位圓交于，所以解得
由第四象限角得，
所以
故選：D
7．（2022·天津南開·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（???）
A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)
C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)
【答案】A
【詳解】函數(shù)函數(shù)的周期，
，函數(shù)是奇函數(shù)，
所以函數(shù)是周期為的奇函數(shù).
故選：A.
8．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù) 的最小正周期為________.
【答案】
【詳解】解：因為，所以，所以，所以函數(shù)的最小正周期；
故答案為：
9．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）若，則________________.
【答案】
【詳解】由，得，所以．
故答案為：．
10．（2022·四川·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值為，最小值為
（1）解：∵，∴，即函數(shù)的最小正周期為．
（2）解：在區(qū)間上，，∴，∴，∴的最大值為，的最小值為．
11．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，求
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）當，求函數(shù)的值域．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】，
（1）最小正周期為；
（2）由知：，故.
12．（2022·浙江·杭州市余杭高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，若__________．
條件①：，且在時的最大值為；
條件②：．
請寫出你選擇的條件，并求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
【答案】選①或選②結(jié)論相同，最大值為0；最小值為．
【詳解】

，其中，
若選①，，解得，得，
所以，
由，得，
當時，，
當時，；
若選②，，得，
所以，
由，得，
當時，，
當時，.
13．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，求函數(shù)的值域.
【答案】（1），（2）
【詳解】（1）

，
，
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
（2）由（1）得

，
由，得，
所以，即，
所以，
所以的值域為
14．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域和最小正周期；
（2）當時，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】解：（1）

，???
定義域為，
；??
（2），
，
即，
，
.
15．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求當時函數(shù)的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）
令，可得
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為
（2）當時，，
所以
即
16．（2022·浙江·太湖高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）當時，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】解析：（1），
所以最小正周期．
（2）∵，∴，
∴，∴.
5.6函數(shù)
知識回顧
1、五點法作圖
必備方法：五點法步驟
③

①

②

對于復(fù)合函數(shù)，
第一步：將看做一個整體，用五點法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應(yīng)的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行）
第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。）
第三步：得到五個關(guān)鍵點為：，,,,
2、三角函數(shù)圖象變換
參數(shù),,對函數(shù)圖象的影響
1.對函數(shù),的圖象的影響

2、()對函數(shù)圖象的影響

3、()對的圖象的影響

4、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法

3、根據(jù)圖象求解析式
形如的解析式求法：
（1）求法：
①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.
②代數(shù)法：記的最大值為,最小值為；則：，聯(lián)立求解.
（2）求法：通過觀察圖象，計算周期，利用公式，求出.
（3）求法：最值代入法：通過觀察圖象的最高點（或者最低點）代入解析式求解.
高頻考點
1．（2022·天津河?xùn)|·高二學(xué)業(yè)考試）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（????）
A．橫坐標向左平移個單位長度，縱坐標不變
B．橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變
C．橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變
D．橫坐標向左平移個單位長度，縱坐標不變
【答案】C
【詳解】將函數(shù)的圖象上各點橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變，
得，即得到函數(shù)的圖象，
故選：C
2．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實驗學(xué)校高二學(xué)業(yè)考試）將的縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變，則得到的新的解析式為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：的縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變，
得到的新的解析式為，整理得.
故選：D.
3．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點（????）
A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】B
【詳解】解：，
則為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度.
故選：B.
4．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知，為了得到的圖像，只需將的圖像（????）
A．向左平移個單位 B．向左平移個單位
C．向右平移個單位 D．向右平移個單位
【答案】A
【詳解】解：因為=，
所以只需給圖像向左平移個單位，
即可得到的圖像.
故選：A
5．（2022·湖南婁底·高二學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)y＝sinx的圖象上的所有點向右平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：將函數(shù)y＝sinx的圖象上的所有點向右平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為.
故選：C
6．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）給出下列幾種變換：
①橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變． ????????②向左平移個單位長度．
③橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變． ????????④向左平移個單位長度．
則由函數(shù)的圖象得到的圖象，可以實施的變換方案是（????）
A．①→② B．①→④ C．③→② D．③→④
【答案】D
【詳解】的圖象得到的圖象，有如下兩個方法，
第一種：向左平移個單位得到，再橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變得到，即②→③.
第二種，橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變得到，再向左平移個單位長度得到，即③→④.
故選：D.
7．（2022·湖北·高二學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到的函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】依題意，平移后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是：，
因函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，
因此，，即，而，所以.
故選：D.
8．（2022·浙江·杭州市余杭高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的部分圖像如圖中實線所示，圖中圓與的圖像交于兩點，且在軸上，則下列說法中不正確的是（????）

A．函數(shù)的最小正周期是
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖像向左平移個單位后關(guān)于直線對稱
D．若圓半徑為，則函數(shù)的解析式為
【答案】B
【詳解】對于A，根據(jù)中心對稱，可知點的橫坐標為，
所以的最小正周期，故A正確；
對于B，由周期可得，又，即，，且，
所以，因此，由，可得，
所以函數(shù)在上不單調(diào)，故B錯誤；
對于C，函數(shù)的圖像向左平移個單位后，得到函數(shù)，
對稱軸為，即，故關(guān)于直線對稱，故C正確；
對于D，若圓半徑為，則，所以，函數(shù)解析式為，故D正確．
故選:B
9．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)向右平移個單位長度得到函數(shù)，若函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】將函數(shù)向右平移個單位長度得到函數(shù)，
由，得，
由，得，
所以，
所以，
故選：B.
10．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：
①的最小正周期為；
②是的最大值；
③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．
其中所有正確結(jié)論的序號是（????）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【詳解】因為，所以周期，故①正確；
，故②不正確；
將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，
故③正確.
故選：B.
11．（多選）（2022·福建·上杭一中高二學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)的最小正周期為，則它的一條對稱軸是（????）
A． B． C． D．
【答案】AD
【詳解】由周期得，所以，
令,解得,取，分別可得和，
故選：AD
12．（多選）（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（????）

A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)在單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．該圖象向右平移個單位可得的圖象
【答案】CD
【詳解】由圖象可知：A=2，周期；
由，解得：，
故函數(shù).
對于A：，故A錯誤；
對于B：當時，因為上正弦函數(shù)先減后增，不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；
對于C：當時，即直線是的一條對稱軸，故C正確；
對于D：向右平移個單位得到，故D正確.
故選：CD.
13．（多選）（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（????）

A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．函數(shù)在單調(diào)遞減
D．該圖象向右平移個單位可得的圖象
【答案】ABD
【詳解】由函數(shù)的圖象可得，周期，所以，
當時，函數(shù)取得最大值，即，所以，則，又，得，
故函數(shù).
對于A，當時，，即點是函數(shù)的一個對稱中心，故A正確；
對于B，當時，，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；
對于C，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C錯誤；
對于D，將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，即D正確.
故選：ABD.
14．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點，則可能的取值是______．（寫出滿足條件的一個值即可）
【答案】（滿足，即可）
【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，
得到函數(shù)解析式，又因為平移后的圖象經(jīng)過點，
所以得到，所以，
解得，，不妨令，則，
故答案為：．（答案不唯一）
15．（2022·四川南充·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的值域.
【答案】(1)
(2)
(1)解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象
可得，，所以.
再根據(jù)五點法作圖可得，
所以，.
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，可得的圖象，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象.
由，可得
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
，，

函數(shù)在的值域.
16．（2022·陜西漢中·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖．

(1)求f（x）的表達式；
(2)將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度得到曲線C，把C上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)g（x）的圖象．若關(guān)于x的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
（1）根據(jù)圖象，可得，，
∴
∴，將代入f（x），得，
即，，
又，∴，
∴．
（2）將函數(shù)（x）的圖象向右平移個單位長度，得曲線C，
由題得，
∵在[0，]上有兩個不同的實數(shù)解，
∴在[0，]上有兩個不同的實數(shù)解．
∵，
令，
∴，
則需直線與的圖象在有兩個不同的公共點．
畫出在時的簡圖如下：

∴實數(shù)m的取值范圍是．
17．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當，時，恒成立，求a的最大值.
【答案】(1)最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為，
(2)最大值為0
（1）
故函數(shù)的最小正周期.
由得.
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）∵，∴，
∴，.
由恒成立，得，即.故a的最大值為0.
18．（2022·江蘇·沭陽縣潼陽中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.

(1)求的解析式及對稱中心；
(2)先將的圖像縱坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位后得到的圖像，求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間和最值.
【答案】(1)，對稱中心為，．
(2)單調(diào)遞減區(qū)間為；，．
（1）解：根據(jù)函數(shù)，，的部分圖像，
可得，，．
再根據(jù)五點法作圖，，，故有．
根據(jù)圖像可得，是的圖像的一個對稱中心，
故函數(shù)的對稱中心為，．
（2）解：先將的圖像縱坐標縮短到原來的，可得的圖像，
再向右平移個單位，得到的圖像，
即，
令，，解得，，
可得的減區(qū)間為，，
結(jié)合，可得在上的單調(diào)遞減區(qū)間為．
又，故當，時，取得最大值，即；
當，時，取得最小值，即．
5.7三角函數(shù)實戰(zhàn)
一、單選題
1．計算的值為（????）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【詳解】.
故選：B.
2．已知函數(shù)（）的圖象如圖所示，則它的單調(diào)遞減區(qū)間是（???）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】觀察圖象知，函數(shù)在上的圖象從左到右是下降的，在上的圖象從左到右是上升的，
所以函數(shù)（）的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故選：A
3．若是第一象限角，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為是第一象限角，且，
所以，
故選：A
4．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，可得.
故選：C.
5．函數(shù)的值域是（????）.
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
當時取最大值
且當時取最大值
函數(shù)的值域是
故選：B
6．已知，且為第四象限角，則（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：因為，，所以，因為為第四象限角，所以，所以
故選：D
7．若，則
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由兩邊平方得，即，解得.
故選B.
8．函數(shù)的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由，
又函數(shù)的值域為，
則函數(shù)的最小值為.
故選：A.
9．若第三象限角，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為第三象限角，所以，
因為，且，
解得或，
則.
故選：D.
10．是銳角，且，，則的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為是銳角，且，，所以 ,選C.
11．關(guān)于函數(shù)有下列四個結(jié)論：
①的圖象關(guān)于原點對稱；
②在區(qū)間上單調(diào)遞增；
③的一個周期為；
④在是有四個零點
其中所有正確結(jié)論的編號是（????）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【詳解】解：對于①，函數(shù)的定義域為R，且，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，故①正確；
對于②，當時，，，所以，
又因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；
對于③，因為，所以不是函數(shù)的周期，故③不正確；
對于④，在時，令，即，解得，共3個零點，故④不正確；
綜上得正確命題的編號為：①②，
故選：A.
12．若函數(shù)的最小正周期為，則它的一條對稱軸是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，函數(shù)的最小正周期為，
故
即
令
即
令，可得，故A正確；
BCD選項中，不存在與之對應(yīng)，故錯誤
故選：A
13．若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵.
∴，
∴，
故選：C.
二、多選題
14．下列函數(shù)中最大值為1的是（???）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【詳解】解：對于A：函數(shù)值域為，故A正確；
對于B：函數(shù)的值域為，故B正確；
對于C：函數(shù)的值域為，故C錯誤；
對于D：函數(shù)的值域為，故D正確；
故選：ABD
三、填空題
15．已知，則__________.
【答案】-3
【詳解】∵，∴，
故答案為：-3.
16．已知、是方程的兩根，并且、，則的值是______．
【答案】
【詳解】、是方程的兩根，并且、，
∴，，．
∴、均大于零，故、，∴．
∵，∴，
故答案為：．
17．函數(shù)的最小正周期是，則______.
【答案】2
【詳解】因為，所以.
故答案為.
18．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________.

【答案】
【詳解】由題意可得：，
當時，，
令可得：，
據(jù)此有：.
故答案為：.
四、解答題
19．已知．求的值．
【答案】
【詳解】因為，
所以將代入上式，得．
20．已知函數(shù)，且滿足．
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
【答案】（1），；（2），．
【詳解】（1）∵
∴，.
（2）
=
∵
∴，即.
故有，得，.
同時需聯(lián)立，.
綜上可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.
21．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）若的最小值為0，求常數(shù)的值．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由函數(shù)，
所以函數(shù)的最小正周期為.
（2）由（1）知函數(shù)，
因為的最小值為0，可得當時，取得最小值，
即，解得.
22．已知函數(shù)的最小正周期是.
（1）求值；
（2）求的對稱中心；
（3）將的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】（1）2；（2），；（3），.
【詳解】（1），又，
∵，
∴.
（2）由（1）知，，令，解得.
∴的對稱中心是，.
（3）將的圖像向右平移個單位后可得：，再將所得圖像橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變得到：，
由，解得，.
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
23．已知函數(shù)，.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的最小正周期；
（3）當時，求函數(shù)的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【詳解】（1），即.
（2），
故的最小正周期.
（3）因為，所以，
當，即時，；
當，即時，，
故在上的值域為.
24．已知O為坐標原點，，，，若.
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)，求函數(shù)在上的最小值.
【答案】（1）；（2）2.
【詳解】（1）由題意，，，
所以
，
所以函數(shù)的最小正周期為，
由，，
得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
（2）由（1）得，
∴，
∵，∴，
∴當，即時，有最小值，
且，
∴函數(shù)在上的最小值為2.

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