?中考數學一輪復習專題講義+強化訓練(全國通用)
第十九講 直角三角形與勾股定理
一、必備知識點 2
考點一 直角三角形的判定 2
考點二 勾股定理的應用--最短路徑 5
考點三 勾股定理的應用二--翻折問題 7
考點四 直角三角形的性質--斜中半 11
考點五 直角三角形有關幾何證明 18















知識導航


一、必備知識點
1．直角三角形
定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．
性質：(1)直角三角形兩銳角互余；
(2)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；
(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．
判定：(1)兩個內角互余的三角形是直角三角形；
(2)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
(1)勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．









考點一 直角三角形的判定

1．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是(　　)
A．a：b：c＝3：5：6 B．a2﹣c2＝b2
C．∠A﹣∠B＝∠C D．a＝，b＝3，c＝4
【解答】解：A、不妨設a＝3，b＝5，c＝6，此時a2+b2＝34，而c2＝36，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
B、由條件可得到a2＝c2+b2，滿足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、由條件可得∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠A＝90°，故△ABC為直角三角形；
D、由條件有a2+b2＝()2+32＝16＝42＝c2，滿足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形．
故選：A．
2．△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC邊上中線AP＝12，則AB，AC關系為(　　)
A．AB＞AC B．AB＝AC C．AB＜AC D．無法確定
【解答】解：∵AP是中線，AB＝13，BC＝10，
∴BP＝BC＝5．
∵52+122＝132，即BP2+AP2＝AB2，
∴△ABP是直角三角形，則AP⊥BC，
又∵BP＝CP，
∴AC＝AB＝13．
故選：B．

3．已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是(　　)
A．a：b：c＝4：5：6 B．b 2＝a2﹣c2
C．∠A＝∠C﹣∠B D．a＝3，b＝4，c＝5
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能組成直角三角形，故此選項符合題意；
B、∵b2＝a2﹣c2，∴能組成直角三角形，故此選項不符合題意；
C、∵∠A＝∠C﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能組成直角三角形，故此選項不符合題意；
D、∵32+42＝52，∴能組成直角三角形，故此選項不符合題意；
故選：A．
4．由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是(　　)
A．a＝3，b＝5，c＝4 B．a＝12，b＝14，c＝15
C．a＝，b＝4，c＝5 D．a＝9，b＝41，c＝40
【解答】解：A、32+42＝52，能組成直角三角形，故此選項不合題意；
B、122+142≠152，不能組成直角三角形，故此選項符合題意；
C、42+52＝()2，能組成直角三角形，故此選項不合題意；
D、92+402＝412，能組成直角三角形，故此選項不合題意．
故選：B．
5．四邊形ABCD中，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，且∠C＝90°，則四邊形ABCD的面積為(　　)

A．84 B．36 C．54 D．72
【解答】解：連接BD，
在Rt△BCD中，∠C＝90°，BD＝＝5，
∵52+122＝132，
即BD2+AB2＝AD2，
∴△ABD為直角三角形，
∴四邊形的面積＝S△ADB+S△BCD＝BD?AB+BC?CD＝×5×12+×3×4＝36．
故選：B．

6．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中擺放方法正確的是(　　)
A．B． C．D．
【解答】解：A、72+242＝252，152+202≠242，故A不正確；
B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正確；
C、72+202≠252，242+152≠252，故C不正確；
D、72+242＝252，152+202＝252，故D正確．
故選：D．



考點二 勾股定理的應用--最短路徑

7．如圖，長方體的高為9cm，底邊是邊長為6cm的正方形，一只美麗的蝴蝶從頂點A開始，爬向頂點B，那么它爬行的最短路程為(　　)

A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
【解答】解：如圖，
(1)AB＝＝＝3；
(2)AB＝＝15，
由于15＜3；
則螞蟻爬行的最短路程為15cm．
故選：C．

8．如圖，有一個圓柱，底面圓的直徑AB＝cm，高BC＝12cm，P為BC的中點，一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱的表面爬到P點的最短距離為(　　)

A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【解答】解：已知如圖：
∵圓柱底面直徑AB＝cm、母線BC＝12cm，P為BC的中點，
∴圓柱底面圓的半徑是cm，BP＝6cm，
∴AB＝×2××π＝8cm，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝10(cm)，
∴螞蟻從A點爬到P點的最短距離為10cm，
故選：B．

9．國慶節(jié)期間，重慶南開中學用彩燈帶裝飾了藝術樓大廳的所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為(　　)

A．米 B．米 C．米 D．5米
【解答】解：將圓柱表面切開展開呈長方形，
則彩燈帶長為2個長方形的對角線長，
∵圓柱高3米，底面周長2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5(米)，
∴每根柱子所用彩燈帶的最短長度為5m．
故選：D．


考點三 勾股定理的應用二--翻折問題

10．如圖，在△ABC中，點D是線段AB上的一點，過點D作DE∥AC交BC于點E，將△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若點C恰好在線段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，則CE的長度為(　　)

A． B． C． D．
【解答】解：設DC＝3x，CB'＝2x，則DB'＝5x，
∵將△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，
∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，
∴∠A＝∠ACD，
∴CD＝AD＝3x，
∴AB＝AD+DB＝8x＝16，
∴x＝2，
∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4，
∴BC＝＝8，
設CE＝a，則BE＝8﹣a＝B'E，
∵CE2+B'C2＝B'E2，
∴a2+32＝(8﹣a)2，
解得a＝3，
∴CE＝3，
故選：C．
11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形ABCD沿AC折疊，使點D落到點D′處，CD′交AB于點F，則AF的長為(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：由折疊可知AD＝AD′＝4，∠DCA＝∠D′CA，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
設AF＝x，則FC＝x，F(xiàn)B＝8﹣x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
FC2＝FB2+BC2，
即x2＝(8﹣x)2+42，
解得x＝5，
即AF＝5，
故選：B．
12．如圖，矩形ABCD中，已知點M為邊BC的中點，沿DM將三角形CDM進行翻折，點C的對應點為點E，若AB＝6，BC＝8，則BE的長度為(　　)

A．4 B． C． D．
【解答】解：∵矩形ABCD中，已知點M為邊BC的中點，AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，BM＝CM＝4，
∴DM＝＝2，
∵沿DM將三角形CDM進行翻折，
∴ME＝CM＝4，∠EMD＝∠CMD，
∴BM＝EM，
過M作MF⊥BE于F，
∴BE＝2BF，∠BMF＝∠EMF，
∴∠EMF+∠DME＝90°，
∴∠BME+∠CMD＝90°，
∵∠CMD+∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝∠BMF，
∵∠BFM＝∠C＝90°，
∴△BFM∽△MCD，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴BE＝2BF＝，
故選：D．

13．如圖，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，將△ACB沿直線AC翻折至△ABC所在的平面內，得△ACD．過點A作AE，使∠DAE＝∠DAC，與CD的延長線交于點E，連接BE，則線段BE的長為(　　)

A． B．3 C．2 D．4
【解答】解：如圖，延長BC交AE于H，

∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，
∴∠ACB＝120°，
∵將△ACB沿直線AC翻折，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝15°，
∴∠CAE＝30°，
∵∠ADC＝∠DAE+∠AED，
∴∠AED＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AED＝∠EAC，
∴AC＝EC，
又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC，
∴△ABC≌△EBC(SAS)，
∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC，
∴AH＝EH，BH⊥AE，
∵∠CAE＝30°，
∴CH＝AC＝，AH＝CH＝，
∴AE＝2，
∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴BE＝＝2，
故選：C．


考點四 直角三角形的性質--斜中半

14．如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的中點，連接CD，將△BCD沿著CD翻折，得到△ECD，CE與AB交于點F，連接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，則點C到AB的距離為(　　)

A． B．4 C． D．2
【解答】解：連接BE，延長CD交BE于點G，作CH⊥AB于點H，如圖所示，
由折疊的性質可得：BD＝DE，CB＝CE，
則CG為BE的中垂線，
故BG＝，
∵D為AB中點，
∴BD＝AD，S△CBD＝S△CAD，AD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，
∵∠EDA+∠DEA+∠DAE＝180°，
即2∠DEB+2∠DEA＝180°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，
即∠BEA＝90°，
在直角三角形AEB中，由勾股定理可得：
BE＝＝＝，
∴BG＝，
∵S△ABC＝2S△BDC，
∴2×＝，
∴CH＝＝＝．
故選：C．

15．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點E，點G，H分別是AC，BD的中點，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于(　　)

A．5° B．10° C．20° D．30°
【解答】解：連接AH，CH，
∵在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中點，
∴AH＝CH＝BD．
∵點G時AC的中點，
∴HG是線段AC的垂直平分線，
∴∠EGH＝90°．
∵∠BEC＝80°，
∴∠GEH＝∠BEC＝80°，
∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．
故選：B．

16．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，則CF的最小值為(　　)

A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3
【解答】解：如圖取AB的中點E，連接EF、EC．

∵△ABC是等邊三角形，AE＝EB，
∴AB＝BC＝6，∠CBE＝60°，
∴CE＝BC?sin60°＝3，
∵∠AFB＝90°，AE＝EB，
∴EF＝AB＝3，
∴CF≥EC﹣EF，
∴當E、F、C共線時，F(xiàn)C的值最小，最小值為3﹣3，
故選：D．
17．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是(　　)

A．2+2 B．2 C．2 D．6
【解答】解：取AC的中點D，連接OD、DB，
∵OB≤OD+BD，
∴當O、D、B三點共線時OB取得最大值，
∵D是AC中點，
∴OD＝AC＝2，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝2，OD＝AC＝2，
∴點B到原點O的最大距離為2+2，
故選：A．

18．在平面直角坐標系中，已知A(﹣2，2)，M(1，0)，點B為y軸上的動點，以AB為邊構造△ABC，使點C在x軸上，∠BAC＝90°，P為BC的中點，則PM的最小值為(　　)

A． B． C．2 D．
【解答】解：如圖，

過點A作y軸的平行線交x軸于點E，過點B作BH⊥EA的延長線于點H，
則四邊形OEHB是矩形，
∴OE＝BH＝2，AE＝2，
設OC＝x，則CE＝x+2，
∵∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAH+∠EAC＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠BAH＝∠ECA，
∴△BAH∽△ACE
∴＝
即＝，
∴AH＝(x+2)，
∴OB＝AH+AE＝2+(x+2)＝(x+8)，
∴B(0，(x+8))，C(x，0)
∵P為BC的中點，
∴P(x，(x+8))，
作PF⊥x軸于點F，
在Rt△PMF中，根據勾股定理，得
PM2＝MF2+PF2，
＝(x﹣1)2+[(x+8)]2
＝(x+)2+，
∵＞0，
∴x＝﹣時，PM2有最小值，最小值為，
∴PM最小值為．
故選：A．
19．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD＝BD，連接DM、DN、MN．若AB＝6，則DN＝　3?。?br />
【解答】解：連接CM，
∵M、N分別是AB、AC的中點，
∴NM＝CB，MN∥BC，又CD＝BD，
∴MN＝CD，又MN∥BC，
∴四邊形DCMN是平行四邊形，
∴DN＝CM，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中點，
∴CM＝AB＝3，
∴DN＝3，
故答案為：3．

20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，點E為AC的中點，∠DBE＝30°，BD＝2，則BC的長為　4　．

【解答】解：∵BD⊥AC，∠DBE＝30°，BD＝2，
∴DE＝2，BE＝4，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點E為AC的中點，
∴EC＝AE＝BE＝4，
∴CD＝CE+DE＝6，
∴BC＝，
故答案為：4．


考點五 直角三角形有關幾何證明

21．如圖，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接DE交AC于點M．
(1)如圖1，若AB＝2，∠C＝30°，AD⊥BC，求CD的長；
(2)如圖2，若∠ADB＝45°，點N為ME上一點，MN＝BC，求證：AN＝EN+CD；
(3)如圖3，若∠C＝30°，點D為直線BC上一動點，直線DE與直線AC交于點M，當△ADM為等腰三角形時，請直接寫出此時∠CDM的度數．

【解答】(1)解：如圖1中，

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，∠C＝30°，
∴BC＝2AB＝4，∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3；

(2)證明：如圖2中，過點A作AH⊥DE于H，AJ⊥BC于J，AT⊥AN交BC于T．

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠E＝45°，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADB＝∠ADE，
∵AJ⊥DB，AH⊥DE，
∴AJ＝AH，
∵∠TAN＝∠DAE＝90°，
∴∠EAN＝∠DAT，
在△AEN和△ADT中，
，
∴△AEN≌△ADT(ASA)，
∴AN＝AT，EN＝DT，
在Rt△AHN和Rt△ATJ中，
，
∴Rt△AHN≌Rt△AJT(HL)，
∴∠ANH＝∠ATJ，
∵∠NAT＝∠CAB＝90°，
∴∠NAM＝∠TAB，
在△ANM和△ATB中，
，
∴△ANM≌△ATB(ASA)，
∴NM＝BT，
∵MN＝BC，
∴BT＝BC，
∴BT＝CT，
∴AT＝CT，
∴AN＝CT＝DT+CD＝EN+CD；

(3)解：如圖3﹣1中，當點D與B重合時，△ADM是等腰直角三角形，此時∠CDM＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣45°＝15°．

如圖3﹣2中，當AD＝DM時，

∵∠ADM＝45°，
∴∠AMD＝∠DAM＝(180°﹣45°)＝67.5°，
∵∠AMD＝∠ACB+∠CDM，
∴∠CDM＝67.5°﹣30°＝37.5°．
如圖3﹣3中，當MA＝MD時，∠AMD＝90°，

∴∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝90°﹣∠DCM＝60°．
如圖3﹣4中，當DA＝DM時，∠DAM＝∠DMA，

∵∠ADE＝∠DAM+∠DMA＝45°，
∴∠DAM＝∠DMA＝22.5°，
∴∠CDM＝180°﹣∠DCM﹣∠DMC＝180°﹣30°﹣22.5°＝127.5°，
綜上所述，滿足條件的∠CDM的值為15°或37.5°或60°或127.5°．
22．已知，在等腰直角△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，D是△ABC內一點，連接BD，過點D作DE⊥DB，且DB＝DE，連接BE．
(1)如圖1，連接AD，若∠1＝30°，ED＝2，CA＝2，求線段AD的長度；
(2)如圖2，連接AE，CD．若F是AE的中點，連接CF，求證：CD＝CF．

【解答】(1)解：如圖1，連接AD，過點D作DF⊥AB，垂足為F，

∵∠1＝30°，ED＝2，
∴DF＝ED＝1，BF＝，
∵CA＝2，
∵∠BCA＝90°，AC＝BC，
∴AB＝CA＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝3，
∴AD＝＝＝2；
(2)如圖2，延長AC到G，使CG＝CA，連接BG，EG，

∵∠BCA＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵BC⊥AG，CG＝CA，
∵F是AE的中點，
∴CF＝GE，
∵∠CBG＝∠DBE＝45°，
∴∠CBG﹣∠CBE＝∠DBE﹣∠CBE，
即∠EBG＝∠DBC，
∵＝＝，
∴△BEG∽△DBC，
∴＝＝，
即EG＝CD，
∴CF＝GE＝CD，
∴CD＝CF．
23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是線段AB上一點，連接CD，且CD＝BD，過點A作AE⊥CD交CD的延長線于點E．
(1)如圖1所示，若BC＝4，CD＝2，求AE的長．
(2)如圖2所示，若DF⊥AD交AC于點F，過點F作FG⊥CD于點G．求證：AE＝DF+FG．

【解答】解：(1)∵CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠DCA，
∴CD＝AD，
∴CD＝AD＝BD＝2，
∴AB＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵S△ACD＝S△ABC＝×CD×AE，
∴×4×4＝2×AE，
∴AE＝；
(2)∵S△ACD＝S△CDF+S△ADF，
∴×CD×AE＝×CD×GF+AD×DF，
∴AE＝GF+DF．
24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一點，DE⊥AB于點E，點F是線段AD上一點，連接EF，CF．
(1)若點F是線段AD的中點，試猜想線段EF與CF的大小關系，并加以證明．
(2)在(1)的條件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E兩點間的距離．

【解答】解：(1)EF＝CF．
證明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵點F是斜邊AD的中點，
∴EF＝AD，CF＝AD，
∴EF＝CF；
(2)連接CE，由(1)得EF＝AF＝CF＝AD＝3，

∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴CE＝＝＝．
25．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接CE，DE．點F是DE的中點，連接CF．
(1)求證：CF＝AD；
(2)如圖2所示，在點D運動的過程中，當BD＝2CD時，分別延長CF，BA，相交于點G，猜想AG與BC存在的數量關系，并證明你猜想的結論；
(3)在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P，使PA+PB+PC的值最?。擯A+PB+PC的值取得最小值時，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長．

【解答】證明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，
又∵AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∵點F是DE的中點，
∴CF＝DE＝AD；
(2)AG＝BC，
理由如下：如圖2，過點G作GH⊥BC于H，

∵BD＝2CD，
∴設CD＝a，則BD＝2a，BC＝3a，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝＝a，
由(1)可知：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝2a，
∵CF＝DF，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴tan∠FDC＝tan∠FCD，
∴＝2，
∴GH＝2CH，
∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BGH＝45°，
∴BH＝GH，
∴BG＝BH
∵BH+CH＝BC＝3a，
∴CH＝a，BH＝GH＝2a，
∴BG＝2a，
∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；
(3)如圖3﹣1，將△BPC繞點B順時針旋轉60°得到△BNM，連接PN，

∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等邊三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴當點A，點P，點N，點M共線時，PA+PB+PC值最小，
此時，如圖3﹣2，連接MC，

∵將△BPC繞點B順時針旋轉60°得到△BNM，
∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，
∴△BPN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，
∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，
∴BD＝PD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∴PD＝PD+AP，
∴PD＝m，
∴BD＝PD＝m，
由(1)可知：CE＝BD＝m．


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