【期末復(fù)習(xí)】第五單元《三角形》——小學(xué)數(shù)學(xué)人教版四年級下冊單元知識梳理+練習(xí)（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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第五單元三角形

知識點一：三角形的特性
1、三角形的定義：由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連或重合），叫三角形。
2、從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高，這條對邊叫做三角形的底。三角形只有3條高。

重點：三角形高的畫法：一落二移三畫四標(biāo)
3、三角形具有穩(wěn)定性。如：自行車的三角架，電線桿上的三角架。
4、三角形三邊的關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。兩邊之差〈第三邊〈兩邊之和。
判斷三條線段能不能組成三角形，只要看最短的兩條邊的和是不是大于第三條邊。
5、為了表達(dá)方便，用字母A、B、C分別表示三角形的三個頂點，三角形可表示成三角形ABC。
知識點二：三角形的分類
1、按照角大小來分：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。
2、按照邊長短來分：三邊不等的△，三邊相等的△,等腰△（等邊三角形或正三角形是特殊的等腰△）。
3、等邊△的三邊相等，每個角是60度。（頂角、底角、腰、底的概念）
4、三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形。
5、有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。
6、有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。
7、每個三角形都至少有兩個銳角；每個三角形都至多有1個直角；每個三角形都至多有1個鈍角。
8、兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。
9、三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，也叫正三角形。
10、等邊三角形是特殊的等腰三角形
知識點三：三角形的內(nèi)角和
1、三角形的內(nèi)角和是180°。四邊形的內(nèi)角和是360°。一個三角形中至少有兩個銳角，每個三角形都至多有一個直角；每個三角形都至多有一個鈍角?？梢愿鶕?jù)最大的角判斷三角形的類型。最大的角是哪類角，就屬于那類三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是鈍角，就是鈍角三角形。
2、圖形的拼組：（1）當(dāng)兩個三角形有一條邊長度相等時，就可以拼成四邊形。
（2）任何兩個（完全一樣）的三角形可以拼成一個平行四邊形。
并且將不同的等邊重合，還可以拼出不同形狀的四邊形。
（3）兩個（完全一樣）的直角三角形可以拼成
（平行四邊形）或（長方形）或（等腰三角形）。
（4）用兩個相同的等腰直角三角形可以拼成一個平行四邊形、一個正方形、一個大的等腰直角三角形。
（5）三個相同的三角形能拼成梯形；三個相同的等腰三角形能拼成一個等腰梯形。
（6）至少需要兩個三角形，才可以拼四邊形。
至少需要三個相同的三角形才可以拼梯形。
至少用（2個）直角三角形可以拼成一個長方形。
至少用（3個）等邊三角形可以拼成一個等腰梯形。
至少用（2個）等邊三角形可以拼成一個平行四邊形。
（7）多個三角形可以拼出各種美麗的圖案。
密鋪：可以進(jìn)行密鋪的圖形有長方形、正方形、三角形以及正六邊形

考點1：三角形的特性
【典例分析01】（2022春?岷縣月考）貝貝的小凳子的腿松動了，按（　?。┘庸瘫容^好．
A． B． C．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可作答．
【完整解答】解：因為三角形具有穩(wěn)定性，所以貝貝的小凳子的腿松動了，按A加固比較好．
故選：A．
【考察注意點】此題考查了三角形的穩(wěn)定性，應(yīng)注意基礎(chǔ)知識的積累．
【典例分析02】（2021秋?臺山市期末）小剛計劃用三根或四根的木條用釘子釘一個三角形、長方形、正方形、平行四邊形或梯形模型，但要求是最牢固、不易變形的，最好選擇釘一個　形。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可進(jìn)行選擇。
【完整解答】解：在三角形、長方形、正方形、平行四邊形和梯形中，只有三角形具有不易變形的特征。所以最好選擇釘一個三角形。
故答案為：三角。
【考察注意點】本題考查三角形具有穩(wěn)定性的特性，是基礎(chǔ)題型。
【變式訓(xùn)練1-1】（2021秋?武川縣期末）小明要用三根小棒圍成三角形，先選了長度分別是4厘米和6厘米的兩根，如果再從長度為2厘米、3厘米、11厘米的小棒中選一根，那么他應(yīng)該選擇長度為　3　厘米的小棒。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行解答即可。
【完整解答】解：6﹣4＜第三邊＜6+4，
所以：2＜第三邊＜10，即第三邊在2厘米～10厘米之間（不包括2厘米和10厘米），
符合題意的是3厘米。
故答案為：3。
【考察注意點】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的特性進(jìn)行分析、解答。
【變式訓(xùn)練1-2】三角形有3條高，平行四邊形有2條高，梯形有1條高。　×?。ㄅ袛鄬﹀e）
【思路引導(dǎo)】在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高，三角形有3條高；
平行四邊形的高是指對邊之間的距離，那么，兩組對邊之間都可以畫無數(shù)條垂直線段，所以，有無數(shù)條高；梯形雖然只有一組對邊平行，但是，在這組對邊里，也可以畫無數(shù)條垂直線段，所以也有無數(shù)條高。
所以三角形有3條高，平行四邊形和梯形有無數(shù)條高。
【完整解答】解：三角形有3條高，平行四邊形和梯形有無數(shù)條高。
故原題說法錯誤。
故答案為：×。
【考察注意點】此題主要考查了三角形、平行四邊形、梯形高的含義，要靈活運用。
考點2：三角形的分類
【典例分析03】（2021春?福田區(qū)期末）如圖被信封遮住的三角形是（　?。?br />
A．銳角三角形 B．等腰三角 C．直角三角形 D．鈍角三角形
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的分類，如果一個三角形中有一個角是直角，那么這個三角形是直角三角形，據(jù)此解答即可。
【完整解答】解：因為這個三角形有一個角是直角，
所以這是一個直角三角形。
故選：C。
【考察注意點】根據(jù)三角形的分類，解答此題即可。
【典例分析04】（2021秋?臨湘市期末）畫一個直角三角形，并且這個直角三角形的一個銳角是15°．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題干，先畫出一個15°的角∠MAN，在這個角的一條邊上任意找出一點B（頂點除外），向另一條邊畫垂線段，垂足為C，則三角形ABC就是要求的三角形．
【完整解答】解：根據(jù)題干分析畫圖如下：三角形ABC就是要求的三角形．

【考察注意點】此題考查了直角三角形的性質(zhì)以及角的畫法和過一點畫已知直線的垂線段的方法．
【變式訓(xùn)練2-1】曲米猜得對嗎？寫出你的理由。

【思路引導(dǎo)】三角形的內(nèi)角和是180度，利用180度減去已知的角的度數(shù)60度，剩余兩個角的度數(shù)和是120度，銳角小于90度，鈍角大于90度小于180度，直角等于90度，因此兩個角的和是120度的角可能是一個銳角和一個鈍角，也可能是1個直角和一個銳角，因此根據(jù)一個角的度數(shù)無法判斷三角形的種類。
【完整解答】解：180°﹣60°＝120°
因此銳角小于90度，鈍角大于90度小于180度，直角等于90度，因此兩個角的和是120度的角可能是一個銳角和一個鈍角，也可能是1個直角和一個銳角，因此根據(jù)一個角的度數(shù)無法判斷三角形的種類。
【考察注意點】本題考查了三角形按角分類的方法。
【變式訓(xùn)練2-2】（2021春?浉河區(qū)期末）根據(jù)所給條件連一連。（單位：cm）

【思路引導(dǎo)】銳角三角形：最大角小于90°的三角形。
直角三角形：最大角等于90°的三角形。
鈍角三角形：最大角大于90°的三角形。
等腰三角形：有兩條邊長度相等的三角形；
等邊三角形：三條邊長度都相等的三角形。據(jù)此解答。
【完整解答】解：

【考察注意點】本題考查了三角形的分類。
考點3：三角形的內(nèi)角和
【典例分析05】三角形中，∠A＝27°，∠B＝48°，∠C＝　105°　，這個三角形按邊分是　不等邊　三角形，按角分是　鈍角　三角形。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，求出∠C，再根據(jù)三角形的分類進(jìn)行判斷即可。
【完整解答】解：180°﹣27°﹣48°＝105°
答：∠C＝105°，這個三角形按邊分是不等邊三角形，按角分是鈍角三角形。
故答案為：105°；不等邊；鈍角。
【考察注意點】熟練掌握三角形的內(nèi)角和和三角形的分類，是解答此題的關(guān)鍵。
【典例分析06】（2021秋?硚口區(qū)期末）△ABC中∠ACB是最大的角，沿其所對的邊上的高對折后得到兩個大小不同的三角形。這兩個三角形中較小的兩個角的和等于第三個角。那么△ABC是　鈍角　三角形。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，△ABC中∠ACB是最大的角，把△ABC沿∠C所對的邊上的高對折后得到兩個大小不同的三角形。這兩個三角形中較小的兩個角的和等于第三個角。由直角三角形的特征可知，在直角三角形中，兩個銳角的度數(shù)和等于直角，說明這兩個三角形都是直角三角形，所以△ABC是鈍角三角形。據(jù)此解答。
【完整解答】解：如圖：

△ABC中∠ACB是最大的角，把△ABC沿∠C所對的邊上的高對折后得到兩個大小不同的三角形。這兩個三角形中較小的兩個角的和等于第三個角。由直角三角形的特征可知，在直角三角形中，兩個銳角的度數(shù)和等于直角，說明這兩個三角形都是直角三角形，所以△ABC是鈍角三角形。
答：△ABC是鈍角三角形。
故答案為：鈍角。
【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握三角形的內(nèi)角和及應(yīng)用，直角三角形、鈍角三角形的特征及應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練3-1】（2021?豐縣）如圖，長方形ABCD內(nèi)有個等邊三角形BCE，∠1＝　30　°。如果等邊三角形BCE的面積是6平方厘米，那么長方形ABCD的面積是　12　平方厘米。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方形的特征可知，∠ABC＝90°，又因為三角形BCE是等邊三角形，所以∠ABE＝90°﹣60°＝30°；因為等底等高的長方形的面積等于三角形的面積的2倍，所以長方形ABCD的面積等于三角形BCE面積的2倍。據(jù)此解答。
【完整解答】解：90°﹣60°＝30°
6×2＝12（平方厘米）
答：∠1＝30°；長方形ABCD的面積是12平方厘米。
故答案為：30；12。
【考察注意點】本題主要考查組合圖形的面積，關(guān)鍵是找到長方形ABCD與三角形BCE的面積的關(guān)系做題。
【變式訓(xùn)練3-2】已知∠1＝30°，∠2＝115°，求∠3的度數(shù)。

【思路引導(dǎo)】三角形的內(nèi)角和是180°，用三角形的內(nèi)角和減去已知的兩個角的度數(shù)就是∠3的度數(shù)，據(jù)此解答即可。
【完整解答】解：∠3＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣30°﹣115°
＝35°
答：∠3的度數(shù)是35°。
【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握三角形內(nèi)角和及應(yīng)用。
考點4：三角形的穩(wěn)定性
【典例分析07】（2022春?上蔡縣月考）下面的特性屬于三角形的是（　?。?br /> A．有兩組對邊分別平行 B．只有一組對邊平行
C．具有穩(wěn)定性 D．有兩個角是直角
【思路引導(dǎo)】三角形是由三條線段首尾順次連接所圍成的封閉的圖形。三角形具有穩(wěn)定性。
【完整解答】解：特性屬于三角形的是：具有穩(wěn)定性。
故選：C。
【考察注意點】此題考查了三角形的特性，要熟練掌握。
【典例分析08】（2021秋?長汀縣期末）小東做好了燈籠，它的底部如圖。如果要再加一根木條使框架更牢固，下面方法中，最好的是（　　）

A． B． C． D．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的具有穩(wěn)定性進(jìn)行解答選擇。
【完整解答】解：小東做好了燈籠，它的底部如圖。如果要再加一根木條使框架更牢固，下面方法中，最好的是如圖：。
故選：B。
【考察注意點】本題考查了三角形的穩(wěn)定性這一個特性的應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練4-1】（2022春?上蔡縣月考）自行車的車架是三角形，它為的是美觀和騎起來舒服。　×?。ㄅ袛鄬﹀e）
【思路引導(dǎo)】三角形具有穩(wěn)定性，據(jù)此解答。
【完整解答】解：自行車的車架是三角形，它為的是穩(wěn)固。
故原題說法錯誤。
故答案為：×。
【考察注意點】此題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，要熟練掌握。
【變式訓(xùn)練4-2】（2021春?蒲城縣期中）請你想一個辦法，把這個長方形相框變得更穩(wěn)固。（畫一畫，并寫出理由）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，連接一條對角線就行。
【完整解答】解：

因為三角形具有穩(wěn)定性。
【考察注意點】熟練掌握三角形的穩(wěn)定性。
考點5：三角形邊的關(guān)系
【典例分析09】（2021秋?豐臺區(qū)期末）下面有四組小棒，能擺成三角形的是（　　）組小棒。
A．2.1cm，4cm，6cm B．2cm，4cm，6.1cm
C．2cm，4cm，8cm D．2cm，4cm，6cm
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，解答此題即可。
【完整解答】解：2.1+4＞6，能組成三角形；
2+4＜6.1，不能組成三角形；
2+4＞8，不能組成三角形；
2+4＝6，不能組成三角形。
故選：A。
【考察注意點】熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵。
【典例分析10】（2022春?上蔡縣月考）長度分別是4厘米、5厘米、9厘米的木棒　不能　拼成一個三角形（填“能”或“不能”）。如果三角形的兩條邊都是7厘米，那么第三邊一定　大于　14厘米。（填“大于”“等于”或“小于”）
【思路引導(dǎo)】三角形的任意兩邊之和必須大于第三邊，據(jù)此把每組中最小的兩個數(shù)相加與較大的數(shù)作比較即可判斷。
【完整解答】解：因為4+5＝9，兩邊之和必須大于第三邊不能小于第三邊，因此長度分別是4厘米、5厘米、9厘米的木棒不能拼成一個三角形；又因為7+7＝14，因此三角形的第三邊必須大于14，所以如果三角形的兩條邊都是7厘米，那么第三邊一定大于14厘米。
故答案為：不能，大于。
【考察注意點】本題考查了三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練5-1】（2021春?遷安市期末）用小棒圍三角形，第一根長5厘米，第二根長8厘米，第三根小棒最長是多少厘米，最短是多少厘米，這三根小棒才能圍成三角形？（第三根小棒取整厘米數(shù)）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，解答此題即可。
【完整解答】解：8﹣5＜第三邊＜8+5
3＜第三邊＜13
所以三根小棒最長是12厘米，最短是4厘米。
答：三根小棒最長是12厘米，最短是4厘米，這三根小棒才能圍成三角形。
【考察注意點】熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵。
【變式訓(xùn)練5-2】藝術(shù)小組用15分米長的木條設(shè)計三角形圖案，三角形每條邊都是整分米數(shù)，你可以幫他們設(shè)計出幾種？填一填。

第1種
第2種
第3種
第4種
第5種
第6種
第7種
第一段/dm

第一段/dm

第一段/dm

【思路引導(dǎo)】任意三角形兩邊之和必須大于第三邊，兩邊之差必須小于第三邊，已知木條長15分米，即三角形三邊總和是15分米，則三條邊中最長的邊最大只能是7分米，如果是8分米就違背了三角形任意兩邊之和大于第三邊的說法了。據(jù)此解答。
【完整解答】解：如表：

第1種
第2種
第3種
第4種
第5種
第6種
第7種
第一段/dm
1
2
3
3
4
4
5
第一段/dm
7
6
6
5
4
5
5
第一段/dm
7
7
6
7
7
6
6
【考察注意點】本題考查了三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用。

基礎(chǔ)練
一．選擇題
1．（2021秋?信都區(qū)期末）有一個角是60°的等腰三角形一定是一個（　?。┤切?。
A．銳角 B．鈍角
C．直角 D．以上都有可能
【思路引導(dǎo)】等腰三角形的兩個底角相等，60°有可能是其中的一個底角，也有可能是頂角。
【完整解答】解：當(dāng)這個角是底角時，180°﹣60°﹣60°＝60°，所以這個三角形是銳角三角形；
當(dāng)這個角是頂角時，（180°﹣60°）÷2＝60°，所以這個三角形是銳角三角形。
所以有一個角是60°的等腰三角形一定是一個銳角三角形。
故選：A。
2．（2021秋?豐臺區(qū)期末）下面有四組小棒，能擺成三角形的是（　　）組小棒。
A．2.1cm，4cm，6cm B．2cm，4cm，6.1cm
C．2cm，4cm，8cm D．2cm，4cm，6cm
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，解答此題即可。
【完整解答】解：2.1+4＞6，能組成三角形；
2+4＜6.1，不能組成三角形；
2+4＞8，不能組成三角形；
2+4＝6，不能組成三角形。
故選：A。
3．（2021秋?陽新縣期末）一個三角形中有兩個銳角，那么第三個角（　　）
A．一定是銳角 B．一定是直角 C．不能確定
【思路引導(dǎo)】因為三角形的內(nèi)角和是180度，三角形有兩個角是銳角，另外一個角可能為鈍角、直角；也可能是銳角，所以可能為鈍角三角形、直角三角形，也有可能是銳角三角形；進(jìn)而判斷即可．
【完整解答】解：在一個三角形中，如果有兩個角是銳角，那么這個三角形就可能是銳角、鈍角或直角，所以第三個角不能確定；
故選：C。
二．填空題
4．（2021秋?邢臺期末）小剛用一根長a厘米的鐵絲圍成了一個等邊三角形，這個三角形的邊長是　a　厘米。如果小剛把這個等邊三角形改成一個正方形、這個正方形的周長是　a　厘米。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，周長指的是圍繞圖形一周的長度，據(jù)此可知用一根長a厘米的鐵絲，不管圍成什么圖形，都是這根鐵絲圍成的，周長就是鐵絲的長度，據(jù)此解答。
【完整解答】解：小剛用一根長a厘米的鐵絲圍成了一個等邊三角形，這個三角形的邊長是a厘米。如果小剛把這個等邊三角形改成一個正方形、這個正方形的周長是a厘米。
故答案為：a，a。
5．（2021春?臨泉縣期中）在三角形ABC中，∠A＝51°，∠B＝49°，∠C＝　80°　，按角分這是一個　銳角　三角形；在直角三角形中，其中一個銳角是25°，另一個銳角是　65°　。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和三角形的分類，解答此題即可。
【完整解答】解：180°﹣51°﹣49°
＝129°﹣49°
＝80°
180°﹣90°﹣25°
＝90°﹣25°
＝65°
答：在三角形ABC中，∠A＝51°，∠B＝49°，∠C＝80°，按角分這是一個銳角三角形；在直角三角形中，其中一個銳角是25°，另一個銳角是65°。
故答案為：80°；銳角；65°。
6．（2021秋?房山區(qū)期末）如圖，屋頂鋼架的設(shè)計利用了三角形的　穩(wěn)定性?！?。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答此題即可。
【完整解答】解：屋頂鋼架的設(shè)計利用了三角形的穩(wěn)定性。
故答案為：穩(wěn)定性。
7．（2021春?德州期中）在一個鈍角三角形中，兩個銳角都是25°，第三個角度數(shù)是　130°　，在一個直角三角形中，有一個銳角是35°，另一個銳角度數(shù)是　55°　。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，解答此題即可。
【完整解答】解：180°﹣25°﹣25°＝130°
180°﹣90°﹣35°＝55°
答：在一個鈍角三角形中，兩個銳角都是25°，第三個角度數(shù)是130°，在一個直角三角形中，有一個銳角是35°，另一個銳角度數(shù)是55°。
故答案為：130°；55°。
三．判斷題（
8．（2021?廣西）一個三角形，兩條邊的長度分別是5cm、8cm，它的第三條邊的長度不可能是3cm。　√　（判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，解答此題即可。
【完整解答】解：8﹣5＜第三邊＜8+5
3＜第三邊＜13
所以第三條邊的長度不可能是3厘米。
所以原題說法正確。
故答案為：√。
9．（2021?靈武市）用3cm、6cm、2cm的三根小棒一定會搭成一個三角形。　×?。ㄅ袛鄬﹀e）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，解答此題即可。
【完整解答】解：因為2+3＜6
所以用3cm、6cm、2cm的三根小棒不能搭成一個三角形。
故答案為：×。
10．（2020秋?宏偉區(qū)期末）如果一個三角形有兩個角是銳角，那么這個三角形有可能是鈍角三角形。　√?。ㄅ袛鄬﹀e）
【思路引導(dǎo)】因為三角形的內(nèi)角和是180度，三角形有兩個角是銳角，另外一個角中可能為鈍角、直角，也可能是銳角，所以可能為鈍角三角形、直角三角形，也有可能是銳角三角形；進(jìn)而判斷即可。
【完整解答】解：在一個三角形中，如果有兩個角是銳角，那么這個三角形就可能是銳角三角形、鈍角三角形或直角三角形，所以本題說法正確。
故答案為：√。
四．計算題
11．（2021春?簡陽市期中）求圖中∠1的度數(shù)。

【思路引導(dǎo)】AB＝BC＝AC＝20m，可得△ABC是等邊三角形，每個內(nèi)角是60°，AC＝CD＝20m，可得△ACD是等腰三角形，利用平角180°減60°就是等腰三角形的頂角度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，用180°減頂角的度數(shù)，再除以2，即可求出∠1的度數(shù)。
【完整解答】解：如圖：
，
∠AB＝BC＝AC＝20m，可得△ABC是等邊三角形，每個內(nèi)角是60°，∠3＝60°，
∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣60°＝120°，
AC＝CD＝20m，可得△ACD是等腰三角形，
∠1＝（180°﹣∠2）÷2
＝（180°﹣120°）÷2
＝30°
五．應(yīng)用題
12．（2021春?菏澤期末）有一根30厘米長的細(xì)鐵絲，若把它折成一個底邊長是8厘米的等腰三角形鐵框，它的一條腰長多少厘米？
【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，解答此題即可。
【完整解答】解：（30﹣8）÷2
＝22÷2
＝11（厘米）
答：它的一條腰長11厘米。
13．（2021春?鶴壁期末）曲米有兩根同樣長的小棒，長5dm，如果她想用3根小棒擺成一個三角形，第3根小棒最長是多少分米（取整分米數(shù)）？曲婷給了她一根小棒，結(jié)果擺成的三角形一個底角是35°。頂角是多少度？
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，和三角形的內(nèi)角和等于180°，解答此題即可。
【完整解答】解：第3根小棒＜5+5
第三根小棒＜10（分米）
答：第3根小棒最長是9分米。
180°﹣35°×2
＝180°﹣70°
＝110°
答：頂角是110度。
六．解答題
14．（2021秋?玉林期末）一個直角三角形中兩個銳角的度數(shù)比是1：4，這兩個銳角分別是多少度？
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，可得一個直角三角形中兩個銳角的度數(shù)和是90°，把90°平均分成5份，再求出兩個銳角即可。
【完整解答】解：90°÷（1+4）
＝90°÷5
＝18°
18°×4＝72°
答：這兩個銳角分別是18°、72°。
15．（2022春?岷縣月考）幾塊三角形玻璃被打碎了一個角，打碎的角各是多少度，并判斷它們分別是什么三角形。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和三角形的分類，解答此題即可。
【完整解答】解：180°﹣55°﹣35°＝90°，是直角三角形；
180°﹣46°﹣48°＝86°，是銳角三角形；
180°﹣27°﹣43°＝110°，是鈍角三角形。

提高練
一．選擇題
1．（2021秋?鹿邑縣期末）直角三角形中，一個銳角是a°，另一個銳角是（　?。?br /> A．180°﹣a° B．90°﹣a° C．90°+a°
【思路引導(dǎo)】直角三角形，有一個角是直角，則另外兩個角度數(shù)和是180﹣90＝90度，減去一個銳角，求出另一個銳角即可。
【完整解答】解：180﹣90＝90（度）
另一個銳角是：90°﹣a°
故選：B。
2．（2021春?武昌區(qū)期末）如圖，在池塘的一側(cè)選取一個點O，測得OA＝7米，OB＝15米．那么A、B兩點之間的距離可能是（　　）

A．7米 B．15米 C．23米 D．8米
【思路引導(dǎo)】連接AB，根據(jù)三角形的性質(zhì)，在三角形中，任意兩邊之和等于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．據(jù)此解答即可．
【完整解答】解：如圖：連接AB，
7+15＝22（米），
23米＞22米，
答：A、B兩點之間的距離可能是15米．

故選：B．
3．（2021?蜀山區(qū)）在三角形中，若∠1+∠2＝∠3，那么這個三角形是（　　）三角形．
A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等邊
【思路引導(dǎo)】因為三角形的內(nèi)角和是180度，所以∠1+∠2+∠3＝180°，又因為∠1+∠2＝∠3，則2∠3＝180°，所以∠3＝90°，根據(jù)直角三角形的含義：有一個角是直角的三角形是，直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．
【完整解答】解：因為∠3＝∠1+∠2
∠1+∠2+∠3＝180°
所以：2∠3＝180°
∠3＝90°
有一個角是直角的三角形是，直角三角形．
故選：B。
4．（2014春?西陵區(qū)校級月考）三角形具有（　　）
A．穩(wěn)定性 B．不穩(wěn)定性
C．以上答案都不對
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的特性：穩(wěn)定性進(jìn)行解答即可．
【完整解答】解：根據(jù)三角形的特性可知：三角形具有穩(wěn)定性；
故選：A．
二．填空題
5．（2021秋?武川縣期末）一個等腰三角形的底角是50°，它的頂角是　80　°，這個三角形是一個　銳角　三角形．

【思路引導(dǎo)】由已知等腰三角形底角是50°，結(jié)合等腰三角形的兩底角相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180度，用“180°﹣50°×2”解答即可得到頂角度數(shù)；然后根據(jù)三角形的分類進(jìn)行解答即可．
【完整解答】解：180°﹣50°×2
＝180°﹣100°
＝80°．
所以這個三角形的頂角是80°，這個三角形是一個銳角三角形．
故答案為：80，銳角．
6．（2021春?羅湖區(qū)期末）一個等腰三角形的兩條邊分別是12厘米和7厘米，這個等腰三角形的周長可能是　31　厘米，也可能是　26　厘米。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的定義，有兩邊相等的三角形為等腰三角形，因此這個等腰三角形的第三邊可能為12厘米或7厘米，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，可以判斷12厘米和7厘米都可以作為第三邊，因此這個等腰三角形的三邊分別為12厘米，12厘米，7厘米或12厘米，7厘米，7厘米；由三角形的周長等于三角形的三邊之和，列式計算即可得到答案。
【完整解答】解：（1）當(dāng)?shù)谌厼?2厘米時，12+7＞12，所以能構(gòu)成等腰三角形；周長為：12+12+7＝31（厘米）；
（2）當(dāng)?shù)谌厼?厘米時，7+7＞12，所以能構(gòu)成等腰三角形；周長為：12+7+7＝26（厘米）。
答：這個等腰三角形的周長可能是31厘米，也可能是26厘米。
故答案為：31；26。
7．（2021春?通許縣期末）已知一個鈍角三角形，其中一個銳角是50°，另一個銳角最小是　1°　，最大是　39°　。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)鈍角的意義，大于90度小于180度的角叫做鈍角。三角形的內(nèi)角和是180度，在鈍角三角形中兩個銳角之和一定小于90度，據(jù)此解答即可。
【完整解答】解：在鈍角三角形中兩個銳角之和一定小于90°
如果一個鈍角三角形的一個銳角是50°，那么另一個銳角一定小于90°﹣50°＝40°
所以另一個銳角最小是1°，最大是39°。
故答案為：1°、39°。
三．判斷題
8．（2021秋?硚口區(qū)期末）在一個三角形的三個角中，如果只有兩個角是銳角，那么這個三角形一定不是直角三角形。　×　（判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°可知，如果一個三角形只有兩個內(nèi)角是銳角，則另外一個角可以是直角或鈍角，則這個三角形可能是直角三角形，也可能是鈍角三角形；解答即可。
【完整解答】解：由三角形的內(nèi)角和是180°可知，如果一個三角形只有兩個內(nèi)角是銳角，則另外一個角可以是直角，也可以是鈍角，
則這個三角形一定是直角或鈍角三角形。所以原題說法錯誤。
故答案為：×。
9．（2021春?清豐縣期末）把一個三角形平均分成兩個小三角形，每個小三角形的內(nèi)角和都是90度．　×?。ㄅ袛鄬﹀e）
【思路引導(dǎo)】三角形的內(nèi)角和與三角形的大小和形狀無關(guān)，據(jù)此解答即可．
【完整解答】解：盡管把一個三角形分成兩個小三角形，但是每個小三角形的內(nèi)角和還是180°．
故答案為：×．
10．（2021?大埔縣）長度分別是6cm、8cm、10cm 的三根小棒，可以圍成一個三角形．　√　．（判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行解答即可．
【完整解答】解：6+8＞10，所以用三根長度分別為6厘米、8厘米和10厘米的小棒可以圍成一個三角形，說法正確；
故答案為：√．
四．應(yīng)用題
11．（2019春?昌樂縣期末）本學(xué)期老師帶領(lǐng)我們探究出了三角形的內(nèi)角和是180°．我們在探究三角形的內(nèi)角和時，老師引領(lǐng)我們經(jīng)歷了怎樣的過程？
【思路引導(dǎo)】在探究三角形的內(nèi)角和時，我們通過折的方法把三角形的3個角折到一起拼成一個平角，根據(jù)平角的意義推導(dǎo)出三角形的內(nèi)角和是180°。據(jù)此解答。
【完整解答】解：如圖：

通過折的方法把三角形的3個角折到一起拼成一個平角，平角是180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。
五．解答題
12．（2021?江干區(qū)）如圖，把三角形ABC的三條邊分別延長，會出現(xiàn)如∠4、∠5、∠6這樣的角，我們稱之為三角形的外角。三角形的外角之和等于360度，即∠4+∠5+∠6＝360°，請你有理有據(jù)地推理證明這個結(jié)論。

【思路引導(dǎo)】∠2與∠5成一個平角，即∠2+∠5＝180°，同理，∠3+∠6＝180°，∠1+∠4＝180°，由此可求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°×3＝540°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠1+∠2+∠3＝180°，由此即可求出∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°＝360°。
【完整解答】解：我的根據(jù)、理由如下：
因為∠2+∠5＝180°，∠3+∠6＝180°，∠1+∠4＝180°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
＝180°×3
＝540°
又因為∠1+∠2+∠3＝180°
所以∠4+∠5+∠6
＝540°﹣180°
＝360°。
13．（2020秋?敘州區(qū)期末）計算圖中∠2的度數(shù)．
已知：∠1＝152°，那么：∠2＝　62　°．

【思路引導(dǎo)】因為平角等于180°，用180°減去∠1的度數(shù)，即可求出與∠1相鄰的角度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，用180°減去90°再減去與∠1相鄰的角，即可求出∠2的度數(shù)，解答即可．
【完整解答】解：180°﹣152°＝28°
180°﹣90°﹣28°
＝90°﹣28°
＝62°
故答案為：62．
14．（2020春?越城區(qū)期末）已知三角形的兩條邊長分別是1cm和2cm，那么第三條邊長可能是多少？為什么？（取整厘米數(shù)）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行解答即可。
【完整解答】解：2﹣1＜第三邊＜2+1
所以1＜第三邊＜3
所以第三邊的長是2厘米。
答：第三邊的長是2厘米。
15．（2018春?廈門期末）王老師給同學(xué)們準(zhǔn)備了一些小棒，數(shù)量如圖．選用其中的部分小棒搭成一個長方體．
（1）長方體一共有　12　條棱，每組相對的棱有　4　條，
因此，不可能選用　8　cm的小棒．
（2）這個長方體相交于一個頂點的三條棱的長度分別是　5　cm、　4　cm和　4　cm．
（3）計算這個長方體的表面積．

【思路引導(dǎo)】（1）（2）根據(jù)長方體的特征即可求解；
（3）根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．
【完整解答】解：（1）長方體一共有 12條棱，每組相對的棱有 4條，
因此，不可能選用 8cm的小棒．
（2）這個長方體相交于一個頂點的三條棱的長度分別是5cm、4cm和 4cm．
（3）（5×4+5×4+4×4）×2
＝（20+20+16）×2
＝56×2
＝112（平方厘米）
答：這個長方體的表面積是112平方厘米．
故答案為：12，4，8；5，4，4．
16．（2018春?射陽縣月考）如圖的三角形都被一張紙遮住了一部分．你能確定它們各是什么三角形嗎？

【思路引導(dǎo)】第一個露出的角是鈍角，所以是鈍角三角形，
第二個露出的角是直角，所以是直角三角形，
第三個露出的角是一個銳角，根據(jù)一個銳角不能確定是什么三角形，
據(jù)此即可解答．
【完整解答】解：第一個露出的角是鈍角，所以是鈍角三角形，
第二個露出的角是直角，所以是直角三角形，
第三個露出的角是一個銳角，根據(jù)一個銳角不能確定是什么三角形

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