?考點(diǎn)04 一元二次不等式與其他常見不等式解法6種常見考法歸類


考點(diǎn)一 解一元二次不等式
（一）解不含參數(shù)的一元二次不等式
（二）解含參數(shù)的一元二次不等式
考點(diǎn)二 解其他不等式
（一）指數(shù)不等式
（二）對(duì)數(shù)不等式
（三）分式不等式
（四）根式不等式
（五）絕對(duì)值不等式
（六）高次不等式
考點(diǎn)三 由一元二次不等式的解確定參數(shù)
考點(diǎn)四 一元二次不等式的恒成立（有解）問題
（一）一元二次不等式在R上的恒成立問題
（二）一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題
（三）給定參數(shù)范圍求范圍的恒成立問題
（四）一元二次不等式在某區(qū)間有解問題
考點(diǎn)五 一元二次方程根的分布問題
考點(diǎn)六 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用


1.一元二次不等式的解法
①二次不等式（）的解法：最好的方法是圖像法，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.也可以利用口訣（大于取兩邊，小于取中間）解答.
②當(dāng)二次不等式時(shí)，可以畫圖，解不等式，也可以把二次項(xiàng)的系數(shù)變成正數(shù)，再利用上面的方法解答.
注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意觀察分析的系數(shù).
②對(duì)于含有參數(shù)的不等式注意考慮是否要分類討論.
③如果運(yùn)用口訣解一元二次不等式，一定要注意使用口訣必須滿足的前提條件.
④不等式的解集必須用集合或區(qū)間，不能用不等式，注意結(jié)果的規(guī)范性.
2.解一元二次不等式的方法和步驟

3.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

4.指對(duì)數(shù)不等式
解指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式一般有以下兩種方法
(1)同底法：如果兩邊能化為同底的指數(shù)或?qū)?shù)，先化為同底，再根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，底數(shù)是參數(shù)時(shí)要注意觀察分析是否要對(duì)其進(jìn)行討論，并注意到對(duì)數(shù)真數(shù)大于零的限制條件.
①當(dāng)時(shí),
;　
②當(dāng)時(shí),
;　
(2)對(duì)指互化法：
如果兩邊不能化成同底的指數(shù)或?qū)?shù)時(shí)，一般用對(duì)指互化法.
對(duì)數(shù)不等式兩邊取指數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解；指數(shù)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解.




5．簡(jiǎn)單分式不等式
（1）；（2）
（3）；（4）
求解分式不等式，等價(jià)于要求分子分母同號(hào)，即或，這樣就可以將分式不等式化為不等式組來求解.另一方面，分子分母同號(hào)也等價(jià)于（ax+b）(cx+d)>0，這就也能將分式不等式化為整式不等式求解.

注：(1)對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等價(jià)變形，保證分母不為零．
(2)對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解．
6.絕對(duì)值不等式
絕對(duì)值不等式的概念：一般地，含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式．
(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)
(4)；
；
(5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；
②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；解含有兩個(gè)絕對(duì)值形如的不等式，常用零點(diǎn)討論法和數(shù)形結(jié)合法.注意小分類求交大綜合求并.
③平方法:如果絕對(duì)值的不等式的兩邊都是非負(fù)數(shù)，如：，可以使用平方法.
④通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.
7.高次不等式
高次不等式：不等式最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.
解法：穿根法
穿根法又稱“數(shù)軸標(biāo)根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有著鬼斧神工的效果。將不等式進(jìn)行移項(xiàng)，將其化為不等式右側(cè)為0的形式，即是的形式，并將的最高次冪項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，具體步驟如下：
（1）整理變形：將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，對(duì)其進(jìn)行因式分解，化為如下最簡(jiǎn)形式：，其中：
（2）標(biāo)根∶將的n個(gè)不同根，在數(shù)軸上由小到大從左至右標(biāo)出來。標(biāo)根時(shí)，只需標(biāo)出相對(duì)位置即可，這樣即將數(shù)軸分為了 n+1個(gè)區(qū)間。
（3）畫穿根線∶由最大根的右上方向左下方畫線，使其穿過數(shù)軸，再向左上方穿根劃線，由右向左依次畫連續(xù)曲線。畫線時(shí)若遇偶數(shù)根，即為偶數(shù)時(shí)，曲線彈回，不穿過該根。若為奇數(shù)時(shí)，則穿過該根。記住口訣"奇穿偶不穿"即可。
（4）寫出解集∶如下圖所示，數(shù)軸下方曲線與數(shù)軸構(gòu)成的區(qū)間即為的解集，數(shù)軸上方曲線與數(shù)軸構(gòu)成的區(qū)間即為 的解集。

8.無理不等式的解法
無理不等式一般利用平方法和分類討論解答.
無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉(zhuǎn)化為或，而等價(jià)于：或．
9.由一元二次不等式的解確定參數(shù)
（1）已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．
（2）已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．
（3）已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．
（4）已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．
10.一元二次不等式在R上恒成立的條件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足；
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足；
(3)ax2＋bx＋c0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)；
(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.
具體如下：
設(shè)
（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，
上恒成立
（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立
上恒成立
注：①。
②
12.給定參數(shù)范圍求x范圍的恒成立問題的解法
解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．
13.一元二次方程的根的分布問題
解決一元二次方程的根的分布時(shí)，常常需考慮：判別式，對(duì)稱軸，特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向.


考點(diǎn)一 解一元二次不等式
（一）解不含參數(shù)的一元二次不等式
1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B．（3,4） C． D．
2．（2023·安徽合肥·二模）若集合，則（????）．
A． B． C． D．
3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，且，則（????）
A． B． C．8 D．6
（二）解含參數(shù)的一元二次不等式
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：．
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）ax2-2（a+1）x+4>0.
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，解關(guān)于x的不等式；
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍（????）
A． B． C． D．
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)正整數(shù)解，則的取值范圍是___________.
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.
考點(diǎn)二 解其他不等式
（一）指數(shù)不等式
15．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）若集合，，則（????）
A． B． C． D．
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則（????）
A． B． C． D．
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)全集為，集合，則（????）
A． B．
C．或 D．
（二）對(duì)數(shù)不等式
18．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合 ，集合 ，則（???）
A． B． C． D．
19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則（????）
A． B．
C． D．
20．（2023·江西鷹潭·二模）設(shè)集合，集合，則（????）
A． B． C． D．
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則“”是“”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則（????）
A． B． C． D．
（三）分式不等式
23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集是_____.
24．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）已知集合，，則集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為（????）
A．14 B．15 C．30 D．62
25．（2023春·上海嘉定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）不等式的解集為______.
26．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知集合，則________．
27．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集是__________.
（四）根式不等式
28．（2023·陜西西安·西安市東方中學(xué)?？家荒＃┮阎希瑒t（????）
A． B．
C． D．
29．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）不等式的解集為________
30．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（????）
A． B． C． D．
（五）絕對(duì)值不等式
31．（2023·天津·天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，則（????）
A． B． C． D．
32．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（????）
A． B．
C． D．
33．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知，則“”是“”的（????）．
A．充分不必要條件； B．必要不充分條件；
C．充要條件； D．既不充分也不必要條件．
34．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知．
(1)若，求的取值范圍；
(2)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
35．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知，若對(duì)任意，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（六）高次不等式
36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解不等式：
37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的 的解集是______
38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
39．（2022秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谥校┎坏仁降慕饧癁開_____.
40．（2022秋·江蘇泰州·高一靖江高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）不等式的解集為____________．
考點(diǎn)三 由一元二次不等式的解確定參數(shù)
41．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（????）
A． B． C． D．
42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（????）
A． B．
C． 或 D．或
43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（?????）
A． B．不等式的解集為
C． D．不等式的解集為
44．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的的解集是，則（????）
A．
B．
C．關(guān)于的不等式的解集是
D．的最小值是
45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a、b、、從小到大的排列是(????)
A． B．
C． D．
46．（2023·北京海淀·101中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（????）
A．
B．
C．若關(guān)于x的不等式的解集為，則
D．若關(guān)于x的不等式的解集為，且，則
47．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）關(guān)于的不等式的解集為，且，則________．
48．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
49．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）的最小值為0，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為（????）
A．9 B．8 C．6 D．4
50．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象可以為（????）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)四 一元二次不等式的恒成立（有解）問題
（一） 一元二次不等式在R上的恒成立問題
51．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）．
A． B．
C． D．
52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
53．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）“”是“，成立”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（????）
A． B．
C．或 D．或
55．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（????）
A． B． C． D．
56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若命題“”是假命題，則的取值范圍是（?????）
A． B．
C． D．
57．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若不等式對(duì)恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．
58．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為空集，則的取值范圍是（????）
A． B．，或
C． D．，或
59．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象都在軸的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍(????)
A． B．
C． D．
（二）一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題
60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍是_________.
61．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；
(2)解關(guān)于x的不等式；
(3)若不等式對(duì)一切恒成立，求m的取值范圍．
62．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤魧?duì)任意的恒成立，則m的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
63．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（??????）
A． B．
C． D．
（三）給定參數(shù)范圍求范圍的恒成立問題
64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.
65．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
66．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是___________．
67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知時(shí)，不等式恒成立，則x的取值范圍為__________．
68．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
（四）一元二次不等式在某區(qū)間有解問題
69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
70．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若不等式在上有解，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
71．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若使關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
72．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍（????）
A． B．C．） D．
73．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)五 一元二次方程根的分布問題
74．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（????）
A．B． C． D．
75．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，的取值范圍為__．
76．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
77．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
78．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
79．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎P(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，那么兩個(gè)根的倒數(shù)和最小值是（????）
A．-2 B． C． D．1
80．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結(jié)論正確的是（????）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈{m|m9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是m∈{m|m

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