考點(diǎn)10 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)10種常見(jiàn)考法歸類(lèi)-備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專(zhuān)用)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?考點(diǎn)10 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)10種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算
考點(diǎn)二換底公式的應(yīng)用
考點(diǎn)三對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域和值域
考點(diǎn)四對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
（一）判斷對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的形狀
（二）根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍
（三）對(duì)數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
（四）對(duì)數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用
考點(diǎn)五對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
（一）判斷函數(shù)的單調(diào)性
（二）比較對(duì)數(shù)式的大小
（三）解不等式
（四）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
考點(diǎn)六對(duì)數(shù)函數(shù)的最值
（一）求函數(shù)的最值
（二）根據(jù)最值求參數(shù)
（三）函數(shù)的最值與不等式的綜合問(wèn)題
考點(diǎn)七對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性
（一）判斷函數(shù)的奇偶性
（二）已知函數(shù)奇偶性求值
（三）由函數(shù)的奇偶性求解析式
（四）已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
（五）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
考點(diǎn)八反函數(shù)
考點(diǎn)九對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
考點(diǎn)十對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路
(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式．
(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式．
2、對(duì)數(shù)式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定條件下求對(duì)數(shù)的值，或求對(duì)數(shù)式中參數(shù)字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問(wèn)題．
②利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算．
3、對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
(1)；；其中且；
(2)(其中且，)；
(3)對(duì)數(shù)換底公式：；
(4)；
(5)；
(6)，；
(7)和；
(8)；
4、利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值的方法
(1)求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)的兩個(gè)結(jié)論loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，進(jìn)行變形求解，若已知對(duì)數(shù)值求真數(shù)，則可將其化為指數(shù)式運(yùn)算．
(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og ”后再求解．
5、對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)與求值的基本原則和方法
(1)基本原則：對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行．
(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；
②“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)．
6、利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧

7、利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法
(1)在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化．
(2)對(duì)于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對(duì)數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，從而使問(wèn)題得解．
8、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象

圖象

性質(zhì)
定義域：
值域：
過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

注：對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧
(1)底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y軸為漸近線；g(x)＝logax＋b恒過(guò)定點(diǎn)(1，b)，仍以y軸為漸近線.
(3)作對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象應(yīng)抓住三個(gè)點(diǎn)，(1，0)，(a，1).
(4)在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見(jiàn)下圖)（對(duì)數(shù)函數(shù)在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大. ）

9、反函數(shù)
一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，且圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng).

10、判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法

11、求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則
(1)分母不能為0.
(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．
(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.
12、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的變換方法
(1)作y＝f(|x|)的圖象時(shí)，保留y＝f(x)(x≥0)圖象不變，x0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
(2)作y＝|f(x)|的圖象時(shí)，保留y＝f(x)的x軸及上方圖象不變，把x軸下方圖象以x軸為對(duì)稱(chēng)軸翻折上去即可．
(3)有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)平移也符合“左加右減，上加下減”的規(guī)律．
(4)y＝f(－x)與y＝f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，y＝－f(x)與y＝f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，y＝－f(－x)與y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
13、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類(lèi)問(wèn)題及技巧
(1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想；
(2)對(duì)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合求解．
14、比較對(duì)數(shù)式大小的常見(jiàn)類(lèi)型及解題方法
常見(jiàn)類(lèi)型
解題方法
底數(shù)為同一常數(shù)
可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷
底數(shù)為同一字母
需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論
底數(shù)不同，真數(shù)相同
可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較
底數(shù)與真數(shù)都不同
常借助1,0等中間量進(jìn)行比較

15、對(duì)數(shù)不等式的三種考查類(lèi)型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解．
16、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法
與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函數(shù)f(x)的定義域)．
(2)當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間；g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間．
(3)當(dāng)?shù)讛?shù)00，且a≠1)，若在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
考點(diǎn)七對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性
（一）判斷函數(shù)的奇偶性
71．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（）.
(1)求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；
(2)用定義證明函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)；
(3)如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，求與的值.
（二）已知函數(shù)奇偶性求值
72．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______．
73．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_____.
74．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)___________．
75．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_________.
76．（2023春·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值與最小值分別為和，則（????）
A． B．0 C．2 D．4
（三）由函數(shù)的奇偶性求解析式
77．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_______．
78．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是___________.
（四）已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
79．（2023春·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則a的值為_(kāi)____．
80．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.
81．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)(其中是自然數(shù)，)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.
82．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）若是奇函數(shù)，則（????）
A． B． C． D．
83．（2023春·河南開(kāi)封·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（a，且）是偶函數(shù)，則_________，________
84．（2023春·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則_______，____.
（五）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
85．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
86．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
87．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.
88．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)定義域?yàn)?，已知在上單調(diào)遞減，是奇函數(shù)，則使得不等式成立的取值范圍為_(kāi)__________.
考點(diǎn)八反函數(shù)
89．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)為，則___________.
90．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若函數(shù)的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)______________．
91．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)與互為反函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是________.
考點(diǎn)九對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
92．【多選】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（????）
A．的定義域是 B．有最大值
C．不等式的解集是 D．在上單調(diào)遞增
93．【多選】（2023秋·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)，則（????）
A．f(x)的定義域?yàn)镽 B．值域?yàn)?br /> C．為偶函數(shù) D．在區(qū)間上是增函數(shù)
94．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則的值為_(kāi)_____.
95．（2023春·江西撫州·高三金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（????）
A． B． C． D．2023
考點(diǎn)十對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
96．（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）在聲學(xué)中，音量被定義為：，其中是音量（單位為dB），是基準(zhǔn)聲壓為，P是實(shí)際聲音壓強(qiáng).人耳能聽(tīng)到的最小音量稱(chēng)為聽(tīng)覺(jué)下限閾值.經(jīng)過(guò)研究表明，人耳對(duì)于不同頻率的聲音有不同的聽(tīng)覺(jué)下限閾值，如下圖所示，其中240對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為20，1000對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為0，則下列結(jié)論正確的是（????）

A．音量同為20的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽(tīng)到.
B．聽(tīng)覺(jué)下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.
C．240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為0.002.
D．240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為1000的聽(tīng)覺(jué)下限閾值實(shí)際聲壓的10倍.
97．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我們可以把看作每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大約經(jīng)過(guò)m天后“進(jìn)步”的是“落后”的10倍，則m的值為（參考數(shù)據(jù)：，）（????）
A．100 B．115 C．230 D．345
98．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）某企業(yè)為了響應(yīng)落實(shí)國(guó)家污水減排政策，加裝了污水過(guò)濾排放設(shè)備，在過(guò)濾過(guò)程中，污染物含量（單位：mg/L）與時(shí)間（單位：h）之間的關(guān)系為（其中，是正常數(shù)），已知經(jīng)過(guò)1h，設(shè)備可以過(guò)濾掉50%的污染物，則過(guò)濾掉80%的污染物需要的時(shí)間約為（結(jié)果精確到0.01h，參考數(shù)據(jù)：）（????）
A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h
99．（2023春·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司openAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（????）（參考數(shù)據(jù)：）
A．72 B．74 C．76 D．78

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