考點(diǎn)09 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)6種常見(jiàn)考法歸類(lèi)-備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專(zhuān)用)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?考點(diǎn)09 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)6種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算
考點(diǎn)二指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域問(wèn)題
考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
（一）判斷指數(shù)函數(shù)圖象的形狀
（二）根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍
（三）指數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
（四）指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用
考點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
（一）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性
(2)比較指數(shù)式的大小
(3)解不等式
(4)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
（二）指數(shù)函數(shù)的最值
(1)求函數(shù)的最值
(2)根據(jù)最值求參數(shù)
(3)函數(shù)的最值與不等式的綜合問(wèn)題
（三）指數(shù)函數(shù)的奇偶性
(1)已知函數(shù)奇偶性求值
(2)由函數(shù)的奇偶性求解析式
(3)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
(4)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
考點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
考點(diǎn)六指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1、正確區(qū)分與()n
(1)( )n已暗含了有意義，根據(jù)n的奇偶性可知a的范圍．
(2)中的a可以是全體實(shí)數(shù)，的值取決于n的奇偶性．
2、有限制條件根式的化簡(jiǎn)
(1)有限制條件根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，是指被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式可以通過(guò)配方、拆分等方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
(2)有限制條件根式的化簡(jiǎn)經(jīng)常用到配方的方法．當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡(jiǎn)時(shí)，要考慮被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式的正負(fù)．
3、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律
(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．
(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．
4、指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧
指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則：①指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算. ②先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù). ③底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù). ④運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).
5、利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算常用的技巧方法，分析觀察條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恒等式是關(guān)鍵．
(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算問(wèn)題，常常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式．
x2＋x－2＝(x±x－1)2 ?2，x＋x－1＝(±)2?2，＋＝(±)2?2.
6、判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法
(1)底數(shù)的值是否符合要求．
(2)ax前的系數(shù)是否為1.
(3)指數(shù)是否符合要求．
7、求指數(shù)函數(shù)的解析式或函數(shù)值
(1)求指數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指數(shù)函數(shù)的概念是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
(2)求指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的關(guān)鍵是掌握指數(shù)函數(shù)的解析式．
8、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

圖象

性質(zhì)
①定義域，值域
②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)
③，即時(shí)，等于底數(shù)
④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)
在定義域上是單調(diào)增函數(shù)
⑤時(shí)，；時(shí)，
時(shí)，；時(shí)，
⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
注：指數(shù)函數(shù)常用技巧
(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象以x軸為漸近線；y＝ax＋b恒過(guò)定點(diǎn)(0，1＋b)，且以y＝b為漸近線.
(2)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．
(3)當(dāng)時(shí)，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．
當(dāng)時(shí)，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．
(4)指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．
9、指數(shù)函數(shù)圖象的畫(huà)法
畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，．
10、指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．

11、函數(shù)y＝af(x)定義域、值域的求法
(1)定義域：形如y＝af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．
(2)值域：①換元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定義域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．
注意：(1)通過(guò)建立不等關(guān)系求定義域時(shí)，要注意解集為各不等關(guān)系解集的交集．
(2)當(dāng)指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時(shí)，在求定義域、值域時(shí)要注意分類(lèi)討論．
12、處理函數(shù)圖象問(wèn)題的策略
(1)抓住特殊點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對(duì)應(yīng)的x，y的值，即可得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)．
(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．
(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．
注：①對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換而得到. 特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論. ②有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.
13、比較冪值大小的3種類(lèi)型及處理方法

14、簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式的解法
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.
(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣，若底數(shù)不確定，就需進(jìn)行分類(lèi)討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)

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