?考點(diǎn)05 基本不等式及其應(yīng)用6種常見考法歸類

考點(diǎn)一 利用基本不等式比較大小
考點(diǎn)二 利用基本不等式求最值
（一）直接法
（二）配湊法
（三）常數(shù)代換法
（四）消元法
（五）換元法
（六）齊次化
（七）重組轉(zhuǎn)化
（八）利用兩次基本不等式求最值
（九）基本不等式與對(duì)勾函數(shù)
考點(diǎn)三 與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題
考點(diǎn)四 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
考點(diǎn)五 利用基本不等式證明不等式
考點(diǎn)六 基本不等式的綜合應(yīng)用
（一）與函數(shù)的結(jié)合
（二）與三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合
（三）與平面向量的結(jié)合
（四）與數(shù)列的結(jié)合
（五）與解析幾何的結(jié)合
（六）與立體幾何的結(jié)合


1. 基本不等式≤
(1)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
(2)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(3)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．
◆注：在利用基本不等式求最值時(shí)，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．“一正”是說每個(gè)項(xiàng)都必須為正值，“二定”是說各個(gè)項(xiàng)的和(或積)必須為定值．“三相等”是說各項(xiàng)的值相等時(shí)，等號(hào)成立．多次使用均值不等式解決同一問題時(shí)，要保持每次等號(hào)成立條件的一致性和不等號(hào)方向的一致性．
2. 幾個(gè)重要不等式
重要不等式
使用前提
等號(hào)成立條件
a2＋b2≥2ab
a，b∈R
a＝b
＋≥2
ab>0
a＝b
＋≤－2
ab0，b>0).
即有：正數(shù)a，b的調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù).
4. 三元均值不等式
(1)≥.
(2)≥abc.
以上兩個(gè)不等式中a，b，c∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立.
5. 二維形式柯西不等式
若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立.
6.基本不等式公式推導(dǎo)圖
7.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，則
(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2．(簡(jiǎn)記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是．(簡(jiǎn)記：和定積最大)
8.利用基本不等式求最值的基本方法
(1)直接法
①利用基本不等式法求最值的最基本類型可以分為兩類：和積一定一動(dòng)型、和與平方和一定一動(dòng)型.
積，和和平方和三者之間的不等式關(guān)系：


②需要注意的是驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，特別地，由基本不等式≤，求最值時(shí)要求"一正、二定、三相等".
③轉(zhuǎn)化符號(hào)：若含變量的項(xiàng)是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目標(biāo)函數(shù)帶有根號(hào)，則先乘方后配湊為和為定值．
(2)配湊法
將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個(gè)式子的和或積為定值.
①應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，
“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件.
②配湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：
1)配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；
2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；
3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．
③形如的分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值。
(3)常數(shù)代換法
①若已知條件中的“１”（ 常量可化為“１”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實(shí)施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).
模型1 已知正數(shù)滿足，求的最小值。
模型2 已知正數(shù)滿足求的最小值。
②常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：
1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；
4)利用基本不等式求解最值．
③有些問題從形式上看，似乎具備和與倒數(shù)和的一些特征，但細(xì)究起來，又存在明確的區(qū)別，求解此類問題時(shí)，需要對(duì)條件和結(jié)論中的表達(dá)式進(jìn)行合理、巧妙的配湊與構(gòu)造;從而變形、構(gòu)造出和與倒數(shù)和的關(guān)系.
(4)消元法
消元法，即根據(jù)條件與所求均含有兩個(gè)變量，從簡(jiǎn)化問題的角度來思考，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍
(5)換元法
①當(dāng)條件式中給出了"和"與"積"之間的關(guān)系時(shí)，可以考慮借助基本不等式進(jìn)行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值.
②雙換元求最值：若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對(duì)于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．
(6)齊次化求最值
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．
(7)重組轉(zhuǎn)化
當(dāng)條件式或目標(biāo)式較為復(fù)雜、不易理清其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與內(nèi)在聯(lián)系時(shí)，可從拆分、合并等角度嘗試進(jìn)行重組，注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),尋找條件式與目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征及相互聯(lián)系.
(8)利用兩次基本不等式求最值
在求解某些復(fù)雜一些的最值問題時(shí)，可能會(huì)需要連續(xù)多次使用基本不等式進(jìn)行放縮.此時(shí)，我們需要注意兩點(diǎn):一是由基本不等式進(jìn)行放或縮一定要考慮到不等號(hào)的方向與不等式傳遞性相一致，即多次放大或者多次縮小，一般不可以既放大又縮小;二是多次使用基本不等式后要考慮等號(hào)成立的條件，只有多個(gè)等號(hào)能夠同時(shí)成立時(shí)方可.
(9)基本不等式與對(duì)勾函數(shù)
對(duì)勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對(duì)號(hào)函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對(duì)勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；
對(duì)勾函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù)；
①當(dāng)同號(hào)時(shí)， 對(duì)勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對(duì)勾函數(shù)”；如下圖所示：

②當(dāng)異號(hào)時(shí)， 對(duì)勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：

8.常見求最值模型
模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型四：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
9.與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題
(1)求參數(shù)的值或取值范圍的方法
觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．
(2)求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法的方法
若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.
10.利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)
(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．
(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．
(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．
11.求基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題的類型及策略
(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．
(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．


考點(diǎn)一 利用基本不等式比較大小
1．【多選】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)，則（????）
A． B．C． D．
2．【多選】（2023秋·河北邯鄲·高一校考期末）若，且，則（????）
A． B．
C． D．
3．【多選】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（????）
A． B． C． D．
4．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（????）
A． B． C． D．
5．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（????）
A． B．
C． D．
6．【多選】（2022秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（????）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)二 利用基本不等式求最值
（一）直接法
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的最大值為__________
8．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，且，則的最大值是_____.
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，當(dāng)取最大值時(shí)，則的值為（????）
A． B．2 C．3 D．4
10．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，且，則的最大值為___________．
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值為（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
12．（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，，，則的最小值為（????）
A． B． C．1 D．2
13．【多選】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且滿足，．則的取值可以為（????）
A．10 B．11 C．12 D．20
14．【多選】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）設(shè)，，且，則（????）
A．的最大值為 B．的最小值為1
C．的最小值為 D．的最小值為
15．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則（????）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值為
（二）配湊法
16．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，則的最小值為__________．
17．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若，則的最小值為________．
18．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值為___________．
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知，求函數(shù)的最大值.
（2）已知，求函數(shù)的最大值.
20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（????）
A．10 B．12 C．13 D．14
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值
（1）；
（2）.
22．（2023春·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則最大值為______．
（三）常數(shù)代換法
24．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是_____．
25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足，則的最大值為（????）
A．9 B．6 C．4 D．1
26．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）設(shè)，，若，則取最小值時(shí)a的值為______．
27．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知，，且，那么的最小值為（????）
A． B．2 C． D．4
28．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最小值是______．
29．（2023春·廣東揭陽·高三校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（????）
A．0 B．1 C．2 D．4
30．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（????）
A．12 B． C． D．8
31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若三個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為______.
（四）消元法
32．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（????）
A．4 B．5 C．7 D．9
33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為__________.
34．（2023·天津·校聯(lián)考二模）若，且，則的最小值為______.
35．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為_____________．
（五）換元法
36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
37．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則的最大值為（????）
A．10 B．8 C．4 D．2
38．【多選】（2023秋·廣東廣州·高三廣州市培英中學(xué)?？计谀┤魧?shí)數(shù)滿足，則的值可以是（????）
A．1 B． C．2 D．
39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，若，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
40．【多選】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（????）
A．的最大值為2 B．的最小值為5
C．的最小值為 D．
41．（2021秋·天津靜?！じ呷？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為_________
42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（????）
A． B．1 C． D．
（六）齊次化
43．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
（七）重組轉(zhuǎn)化
45．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為__________．
46．（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為__________．
47．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的最小值為______．
（八）利用兩次基本不等式求最值
48．（2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，則的最小值為（????）
A． B．2 C． D．4
49．（2023春·天津南開·高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，那么 的最小值是___________.
50．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值為______．
（九）基本不等式與對(duì)勾函數(shù)
51．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在下列函數(shù)中，最小值是4的是（????）
A． B．
C．， D．
52．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則的取值范圍是______．
53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時(shí)的x值為________．
54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝＋1的最小值為________．
考點(diǎn)三 與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題
55．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.
56．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（????）
A． B．
C． D．
57．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為______．
58．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)x，y滿足，則使得不等式恒成立的的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
59．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在，使成立，則的取值范圍是___________.
60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （??）
A． B． C． D．
考點(diǎn)四 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
61．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬元，已知使用年的維修總費(fèi)用為萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（????）
A．7 B．8 C．9 D．10
62．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對(duì)黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，對(duì)某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，．每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，則產(chǎn)量應(yīng)為（????）
A．40萬件 B．50萬件 C．60萬件 D．80萬件
63．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機(jī).某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g（x）萬元，當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時(shí)，，該款汽車售價(jià)為每輛15萬元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤(rùn)為（????）
A．1500萬元 B．2100萬元 C．2200萬元 D．3800萬元
考點(diǎn)五 利用基本不等式證明不等式
64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：如果、，那么．
65．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2).
66．（2023·貴州黔西·?？家荒＃┰O(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)．
67．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：
(1)若，則；
(2).
68．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）已知，且，證明：
(1)；
(2)若，則.
考點(diǎn)六 基本不等式的綜合應(yīng)用
（一）與函數(shù)的結(jié)合
69．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則的最小值為（????）．
A． B． C．3 D．
70．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的值是________；的最大值是__________.
71．（2023·吉林·東北師大附中?？级＃┮阎瘮?shù)，若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為______．
72．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是______．
（二）與三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合
73．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，且，則面積的最大值為___________.
74．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長(zhǎng)的取值范圍為______________．
75．（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）在中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，．當(dāng)B取最小值時(shí)，的面積為（????）
A． B．1 C． D．
76．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在三角形中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且的平分線交于，若，則的最小值為______.
（三）與平面向量的結(jié)合
77．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，其中，，若，則的最小值為_______．
78．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（????）
A． B． C． D．
79．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為________．
（四）與數(shù)列的結(jié)合
80．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（????）
A．4 B．8 C．16 D．32
81．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，且，則的最大值為______.
82．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)正數(shù)，4是與的等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（????）
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
（五）與解析幾何的結(jié)合
83．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為（????）
A． B． C．1 D．2
84．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（????）
A．的最大值為 B．的最大值為3
C．的最小值為 D．的最大值為
85．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：與圓：相外切，則的最大值為（　?。?br /> A．2 B． C． D．4
86．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M、N在C上，若，則的最大值為（????）
A．9 B．20 C．25 D．30
87．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值是______．
（六）與立體幾何的結(jié)合
88．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
89．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若圓柱的上?下底面的圓周都在一個(gè)半徑為2的球面上，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（????）
A． B． C． D．
90．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某圓錐母線長(zhǎng)為，底面半徑為，則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．


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