?考點(diǎn)03 等式與不等式的性質(zhì)6種常見考法歸類


考點(diǎn)一 比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小
考點(diǎn)二 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用
考點(diǎn)三 求代數(shù)式的取值范圍
考點(diǎn)四 不等式的證明
考點(diǎn)五 不等式的實(shí)際應(yīng)用
考點(diǎn)六 不等式的綜合問題

1、比較兩數(shù)(式)大小的方法

作差法
作商法
原理
設(shè)a，b∈R，則
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b0，
則>1?a>b；＝1?a＝b；0，m>0，則
(1)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：(b－m>0).
(2)假分?jǐn)?shù)性質(zhì)：>；0).
其中真分?jǐn)?shù)性質(zhì)也常被稱為“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(濃度變大)；糖水析出糖后，糖水變淡(濃度變小). ”
4、利用不等式的性質(zhì)判斷正誤的2種方法
利用不等式性質(zhì)進(jìn)行命題的判斷時(shí)，判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷(判斷成立時(shí))或反例說明(判斷不成立時(shí))，在實(shí)際考查中，多與一些常見函數(shù)單調(diào)性結(jié)合考查.
(1)直接法：對(duì)于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性．
5、利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍
在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍，否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.
已知M10，求證：
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）由不等式的性質(zhì)，先得到，兩邊同時(shí)+1，即得證；
（2）由不等式的性質(zhì)，先得到，兩邊乘以c,可得，兩邊同時(shí)-1，可得，再兩邊取倒數(shù)，即得證.
【詳解】證明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，
∴＋1≥＋1，∴≤.
（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
∵a>b>0，∴
又∵c>0，∴，∴，
又c－a>0，c－b>0，∴
.
28．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，，滿足．
(1)若，求證：；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)不等性質(zhì)變形證明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，進(jìn)而得解.
(1)
證明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
(2)
解：由且，得，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
29．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，，且的最小值為1．
(1)求的值；
(2)證明：．
【答案】(1)1
(2)證明見詳解．
【分析】（1）由結(jié)合最小值即可求解結(jié)果；
（2）結(jié)合（1）結(jié)果可得，討論大小即可證明結(jié)論．
(1)
，
因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，且的最小值為1，所以．
(2)
．
若時(shí)，，，
若時(shí)，，，所以．
同理可證，，所以．
故．
考點(diǎn)五 不等式的實(shí)際應(yīng)用
30．（2023·北京·高三專題練習(xí)）劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長(zhǎng)大于）按逆時(shí)針方向跑步，他從起點(diǎn)出發(fā)、并用軟件記錄了運(yùn)動(dòng)軌跡，他每跑，軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù)．已知?jiǎng)⒗蠋煿才芰耍『没氐狡瘘c(diǎn)，前的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（???）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】利用環(huán)形道的周長(zhǎng)與里程數(shù)的關(guān)系建立不等關(guān)系求出周長(zhǎng)的范圍，再結(jié)合跑回原點(diǎn)的長(zhǎng)度建立方程，即可求解.
【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長(zhǎng)為，劉老師總共跑的圈數(shù)為，（），
則由題意，所以，
所以，因?yàn)?，所以，又，所以?br /> 即劉老師總共跑的圈數(shù)為8.
故選：B
31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）近年來受各種因素影響，國際大宗商品價(jià)格波動(dòng)較大，我國某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購方案.方案一：不考慮鐵礦石價(jià)格升降，每次采購鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價(jià)格升降，每次采購鐵礦石所花的錢數(shù)一定，則下列說法正確的是（????）
A．方案一更經(jīng)濟(jì) B．方案二更經(jīng)濟(jì)
C．兩種方案一樣 D．條件不足，無法確定
【答案】B
【分析】設(shè)第一次價(jià)格為，第二次價(jià)格為，進(jìn)而求解兩種方案的平均數(shù)，并比較大小即可.
【詳解】解：設(shè)第一次價(jià)格為，第二次價(jià)格為，
方案一：若每次購買數(shù)量，則兩次購買的平均價(jià)格為，
方案二：若每次購買錢數(shù)為，則兩次購買的平均價(jià)格為，
所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”號(hào)成立，
所以方案二更經(jīng)濟(jì).
故選：B
32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為滿足人民群眾便利消費(fèi)、安全消費(fèi)、放心消費(fèi)的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)管理部門規(guī)劃建造總面積為的新型生鮮銷售市場(chǎng)．市場(chǎng)內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店面共80間．每間蔬菜水果類店面的建造面積為，月租費(fèi)為萬元；每間肉食水產(chǎn)店面的建造面積為，月租費(fèi)為0.8萬元．全部店面的建造面積不低于總面積的80%，又不能超過總面積的85%．①兩類店面間數(shù)的建造方案為_________種．②市場(chǎng)建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建設(shè)方案平均每間店面月租費(fèi)不低于每間蔬菜水果類店面月租費(fèi)的90%，則的最大值為_________萬元．
【答案】 16 1
【解析】（1）設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店分別為，根據(jù)條件建立不等關(guān)系和相等關(guān)系，求解，確定解的個(gè)數(shù)；
（2）平均每間店的收入不低于每間蔬菜水果類店面月租費(fèi)的90%建立不等式，根據(jù)不等式恒成立求的最大值即可.
【詳解】設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店分別為,
（1）由題意知，，
化簡(jiǎn)得：，
又，
所以，
解得：，
共種；
（2）由題意知，
，
，
，
，
即的最大值為1萬元，
故答案為：16；1
【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，屬于難題.
33．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗(yàn)．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時(shí)間（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當(dāng)每毫升血液含藥量不低于4微克時(shí)，該藥能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒藥，多長(zhǎng)時(shí)間后該藥能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次實(shí)驗(yàn)：先給小白鼠服用1粒藥，6小時(shí)后再服用1粒，請(qǐng)問這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為多少小時(shí)？
【答案】(1)小時(shí)
(2)小時(shí)
【分析】（1）根據(jù)，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值要不低于4，分段求解即可.
【詳解】（1）設(shè)服用1粒藥，經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，
即血液含藥量須不低于4微克，可得，???????????
解得，???????????????????????????????????????
所以小時(shí)后該藥能起到有效抗病毒的效果．
（2）設(shè)經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；
若，藥物濃度，????????????????????????
解得，???????????????????????????????????????
若，藥物濃度，?????????
化簡(jiǎn)得，所以；????????????????
若，藥物濃度，????????????????
解得，所以；??????????????????????????
綜上，??????????????????????????????????????
所以這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為小時(shí)．
考點(diǎn)六 不等式的綜合問題
34．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)(其中)滿足：對(duì)任意，有，則的最小值為_________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，，可得，，
且，，所以將用和表示，即可求最值.
【詳解】因?yàn)?，?duì)任意，有，
所以，，即，，
所以

，
當(dāng)，時(shí)最大為，
此時(shí)最小為，
所以的最小值為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)，有，可知，，由，可得，，
所以可以用和表示，再配方，根據(jù)平方數(shù)的性質(zhì)求最值.
35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)滿足且成等比數(shù)列，則的大小關(guān)系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，通過求導(dǎo)可得到，再通過正數(shù)成等比數(shù)列，可得到，利用作商法可得到即，即可得到答案
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，故，
因?yàn)檎龜?shù)成等比數(shù)列，所以即，故，
所以，故，
綜上所述，，
故選：D
36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到，利用不等式的性質(zhì)比較得出，從而求得答案.
【詳解】令，
，
，可以判斷在上單調(diào)遞增，

，
所以，
，
所以，
又因?yàn)?，?br /> 所以，即，所以，
故選：D.
37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b，c滿足，，則（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，分，，討論即可.
【詳解】由題意得，即，則，則，
令，根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)的結(jié)論知：
在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，可得，，兩邊同取以5為底的對(duì)數(shù)得
，對(duì)通過移項(xiàng)得，
兩邊同取以3為底的對(duì)數(shù)得，
所以，所以 ，所以，且，
故此時(shí)，，故C,D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
時(shí)，，
，且，故A錯(cuò)誤,
下面嚴(yán)格證明當(dāng)時(shí)，，，

根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
則當(dāng)時(shí)，有，
，，
下面證明：，
要證：，
即證：，等價(jià)于證明，
即證：，此式開頭已證明，
對(duì)，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得
，
則
故當(dāng)時(shí)，，則
當(dāng)時(shí)，可得，，兩邊同取以5為底的對(duì)數(shù)得
，對(duì)通過移項(xiàng)得，
兩邊同取以3為底的對(duì)數(shù)得，
所以，所以 ，所以，且，
故，故此時(shí)，，
下面嚴(yán)格證明當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)，且其在上單調(diào)遞減，可知
，則，則，
根據(jù)函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
則當(dāng)時(shí)，，
下面證明：，
要證：
即證：，等價(jià)于證，
即證：，此式已證明，
對(duì)，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得
，
則，
故時(shí)，，則
當(dāng)時(shí)，，則，，
綜上，，
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性及，從而得到之間的大小關(guān)系，同時(shí)需要先求出的范圍，然后再對(duì)進(jìn)行分類討論.



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