?2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（易錯(cuò)60題專練）人教版（解析版）
一．選擇題（共15小題）
1．（2022春?同安區(qū)期中）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
則x﹣2≥0，
解得x≥2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
2．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．菱形的四個(gè)內(nèi)角都是直角
B．矩形的對(duì)角線互相垂直
C．正方形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
D．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形
【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形、平行四邊形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：A．菱形的四個(gè)內(nèi)角不一定都是直角，故A選項(xiàng)不符合題意；
B．矩形的對(duì)角線不一定互相垂直，故B選項(xiàng)不符合題意；
C．正方形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，故A選項(xiàng)符合題意；
D．平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行四邊形和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是逐個(gè)判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得出正確答案．
3．（2022春?樂(lè)昌市校級(jí)期中）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】最簡(jiǎn)二次根式是被開(kāi)方數(shù)不含分母，不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．
【解答】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、是最簡(jiǎn)二次根式，，故本選項(xiàng)符合題意；
C、，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式的知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
4．（2022春?江城區(qū)期中）下列二次根式能與合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．
【解答】解：A.與不是同類二次根式，不能合并，故A不符合題意；
B.＝2，與是同類二次根式，能合并，故符合B題意；
C.＝2，與不是同類二次根式，不能合并，故C不符合題意；
D.＝3，與不是同類二次根式，不能合并，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春?煙臺(tái)期中）下列等式成立的是（　?。?br /> A．＝2 B．3﹣3 C．2+2 D．
【分析】利用二次根式的加法，乘法法則，二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、＝2，故A符合題意；
B、3＝3×，故B不符合題意；
C、2與2不能合并，故C不符合題意；
D、×＝，故D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春?克州期中）下列各式中計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．＝36 B．+＝
C．＝ D．2+＝2
【分析】根據(jù)二次根式的乘法，加法法則，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、＝＝6，故A不符合題意；
B、+＝2+3＝5，故B不符合題意；
C、×＝，故C符合題意；
D、2與不能合并，故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
7．（2022春?樂(lè)昌市校級(jí)期中）下列各式計(jì)算正確的是（　　）
A．+＝ B．÷＝3 C．3+＝3 D．÷2＝
【分析】根據(jù)二次根式的加法，除法法則，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、與不能合并，故A不符合題意；
B、÷＝＝3，故B符合題意；
C、3與不能合并，故C不符合題意；
D、÷2＝2÷2＝，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期中）已知△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2＝b2﹣c2 B．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝10
C．∠A＝∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、∵a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合題意；
B、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合題意；
C、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合題意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝78°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋?寶安區(qū)校級(jí)期中）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（　?。?br /> A．5，12，13 B．4，5，6 C．，， D．1，1，2
【分析】利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、∵122+52＝169，132＝169，
∴122+52＝132，
∴能構(gòu)成直角三角形，
故A符合題意；
B、∵42+52＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴不能構(gòu)成直角三角形，
故B不符合題意；
C、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能構(gòu)成直角三角形，
故C不符合題意；
D、∵1+1＝2，
∴不能組成三角形，
故D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋?郫都區(qū)校級(jí)期中）若△ABC的三邊為下列四組數(shù)據(jù)，則能判斷△ABC是直角三角形的是（　?。?br /> A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、∵12+22＝5，22＝4，
∴12+22≠22，
∴不能判斷△ABC是直角三角形，
故A不符合題意；
B、∵32+22＝13，42＝16，
∴32+22≠42，
∴不能判斷△ABC是直角三角形，
故B不符合題意；
C、∵62+72＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴不能判斷△ABC是直角三角形，
故C不符合題意；
D、∵62+82＝100，，102＝100，
∴62+82＝102，
∴能判斷△ABC是直角三角形，
故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
11．（2022春?防城區(qū)期中）如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)．若測(cè)得AB的長(zhǎng)為12km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（　?。?br />
A．3km B．4km C．5km D．6km
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴CM＝AB＝6（千米），
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵．
12．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，BC＝4，則DE的長(zhǎng)是（　?。?br />
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AD＝CD＝AB，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AE＝EC，最后利用三角形的中位線定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AD＝CD＝AB，
∵DE平分∠ADC，
∴AE＝EC，
∴ED是△ABC的中位線，
∴DE＝BC＝2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形的中位線定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線，以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．
13．（2022秋?汝陽(yáng)縣期中）下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．4×2＝24 B．﹣＝
C．＝3 D．＝2﹣
【分析】分別利用二次根式的混合運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出即可．
【解答】解：A、4×＝24，故此選項(xiàng)正確，符合題意；
B、﹣無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、＝＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、＝﹣2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
14．（2022秋?金塔縣期中）現(xiàn)有兩根木棒的長(zhǎng)度分別為40cm和50cm．若要釘成一個(gè)直角三角形框架，那么所需要最短的木棒長(zhǎng)是（　?。?br /> A．50cm B．40cm C．30cm D．以上都不對(duì)
【分析】分兩種情況：當(dāng)40cm和50cm為直角三角形的兩條直角邊時(shí)；當(dāng)50cm為直角三角形的斜邊時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：分兩種情況：
當(dāng)40cm和50cm為直角三角形的兩條直角邊時(shí)，
∴所需要的木棒長(zhǎng)＝＝10（cm）；
當(dāng)50cm為直角三角形的斜邊時(shí)，
∴所需要的木棒長(zhǎng)＝＝30（cm）；
綜上所述：所需要最短的木棒長(zhǎng)為30cm，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵
15．（2022秋?順德區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，CD＝2DE，且AE＝6，則AB的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．8 B．12 C． D．
【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線可得CD＝AD＝AB，從而可得AD＝2DE，再根據(jù)垂直定義可得∠DEA＝90°，從而可得∠A＝30°，然后在Rt△ADE中，求出AD的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，
∴CD＝AD＝AB，
∵CD＝2DE，
∴AD＝2DE，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A＝30°，
∵AE＝6，
∴AD＝＝＝4，
∴AB＝2AD＝8，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，含30度角的直角三角形，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共26小題）
16．（2022春?東莞市期中）若最簡(jiǎn)根式與是同類二次根式，則m＝　2?。?br /> 【分析】根據(jù)同類根式及最簡(jiǎn)二次根式的定義列方程求解．
【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，
∴﹣2m+9＝5m﹣5，
解得m＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是同類二次根式與最簡(jiǎn)二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．
17．（2022春?澧縣期中）若二次根式有意義，則x的取值范圍是 　x＞1　．
【分析】根據(jù)二次根式（a≥0），以及分母不能為0，進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：由題意可得：
x﹣1＞0，
∴x＞1，
故答案為：x＞1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式（a≥0）是解題的關(guān)鍵．
18．（2022春?阿瓦提縣期中）計(jì)算：2÷×＝　1　
【分析】利用二次根式的乘除法法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：2÷×
＝2××
＝×
＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
19．（2022春?河?xùn)|區(qū)期中）先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a＝﹣2時(shí)，求的值，甲乙兩人的解答如下：
甲的解答為：原式＝；
乙的解答為：原式＝．
兩種解答中，　乙　的解答是錯(cuò)誤的；
若a＝100時(shí)，＝　199?。?br /> 【分析】根據(jù)a的值確定1﹣a的范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵a＝﹣2，
∴1﹣a＞0，
∴a+＝a+（1﹣a）＝1，
∴兩種解答中，乙的解答是錯(cuò)誤的；
若a＝100時(shí)，1﹣a＜0，
∴a+＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝199，
故答案為：乙；199．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（2022春?牡丹江期中）若式子有意義，則m的取值范圍是 　m≥0且m≠4?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式（a≥0），以及分母不為0可得：m≥0且4﹣|m|≠0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：由題意得：
m≥0且4﹣|m|≠0，
解得：m≥0且m≠4，
故答案為：m≥0且m≠4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，熟練掌握二次根式（a≥0），以及分母不為0是解題的關(guān)鍵．
21．（2022春?牡丹江期中）若x，y為實(shí)數(shù)，且，則x+y＝　2026　．
【分析】根據(jù)二次根式（a≥0）可得：x﹣4≥0且4﹣x≥0，從而可得：x＝4，進(jìn)而可得y＝2022，然后把x，y的值代入式子中，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：由題意得：
x﹣4≥0且4﹣x≥0，
解得：x＝4，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2022，
∴x+y＝4+2022＝2026，
故答案為：2026．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式（a≥0）是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）寫出a+b的一個(gè)有理化因式：　a﹣b?。?br /> 【分析】利用平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）
＝（a）2﹣（b）2
＝a2x﹣b2y，
∴a+b的一個(gè)有理化因式：a﹣b，
故答案為：a﹣b．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化因式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
23．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）不等式x﹣5＞2x的解集是 　x＜﹣5﹣10?。?br /> 【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得．
【解答】解：x﹣5＞2x，
移項(xiàng)得：x﹣2x＞5，
合并得：（﹣2）x＞5，
解得：x＜﹣5﹣10．
故答案為：x＜﹣5﹣10．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．
24．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如果最簡(jiǎn)二次根式與2是同類二次根式，則x的值是 　2?。?br /> 【分析】根據(jù)同類二次根式的定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的叫做同類二次根式，可得x2+7＝4x+3，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與2是同類二次根式，
∴x2+7＝4x+3，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
25．（2022秋?嘉定區(qū)期中）若兩個(gè)代數(shù)式M與N滿足M?N＝﹣1，則稱這兩個(gè)代數(shù)式為“互為友好因式”，則的“互為友好因式”是 　?。?br /> 【分析】根據(jù)滿足M?N＝﹣1，則稱這兩個(gè)代數(shù)式為“互為友好因式，列出式子，再分母有理化．
【解答】解：∵M(jìn)?N＝﹣1，則稱這兩個(gè)代數(shù)式為“互為友好因式“，
∴的“互為友好因式”：﹣＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，掌握分母有理化的方法，理解題意是解題關(guān)鍵．
26．（2022春?東莞市校級(jí)期中）若是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n的值為 　6?。?br /> 【分析】24＝22×6，所以要想能開(kāi)平方，必須再乘一個(gè)6．
【解答】解：＝2，
∵是整數(shù)，
∴滿足條件的最小正整數(shù)n＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的定義，能夠正確把根式里的寫成平方的形式是解題的關(guān)鍵．
27．（2022春?天山區(qū)校級(jí)期中）如圖，由圖中的信息可知點(diǎn)P表示的數(shù)是 　﹣2﹣　．

【分析】運(yùn)用勾股定理計(jì)算出點(diǎn)P到﹣2點(diǎn)的距離是，再進(jìn)行實(shí)數(shù)減法運(yùn)算即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣2﹣，
故答案為：﹣2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)與勾股定理．
28．（2022秋?章丘區(qū)期中）一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，則它的第三條邊是　5或　．
【分析】分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，②3和4都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可．
【解答】解：分為兩種情況：
①斜邊是4有一條直角邊是3，由勾股定理得：
第三邊長(zhǎng)是＝；
②3和4都是直角邊，由勾股定理得：
第三邊長(zhǎng)是＝5；
即第三邊長(zhǎng)是5或，
故答案為：5或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．
29．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）定義[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，設(shè)α＝，則[α16]＝　2206?。?br /> 【分析】設(shè)β＝，由α+β＝，αβ＝1可求得α2+β2＝3，繼而通過(guò)求得α16+β16的值對(duì)此題進(jìn)行求解．
【解答】解：設(shè)β＝，則α+β＝（+）＝，αβ＝×＝1，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝（）2﹣2＝3，
α4+β4＝（α2+β2）2﹣2（α2β2）2＝32﹣2＝7，
…
∴α16+β16＝（α8+β8）2﹣2（α8β8）2
＝[（α4+β4）2﹣2（α4β4）2]2﹣2
＝{72﹣2）2﹣2
＝472﹣2
＝2209﹣2
＝2207，
∵0＜＜1，
∴0＜β16＜1，
∴2206＜α16＜2207，
∴[α16]＝2207﹣1＝2206，
故答案為：2206．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用新定義、完全平方公式進(jìn)行二次根式運(yùn)算、化簡(jiǎn)的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行求解．
30．（2022秋?寶山區(qū)期中）當(dāng)x＝　4　時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式與3是同類二次根式．
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的叫做同類二次根式，可得3x﹣2＝x+6，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與3是同類二次根式，
∴3x﹣2＝x+6，
3x﹣x＝6+2，
2x＝8，
x＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
31．（2022秋?通州區(qū)期中）利用平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，可以將某些無(wú)理數(shù)進(jìn)行如下操作：例如：a＝+1時(shí)，移項(xiàng)得a﹣1＝，兩邊平方得（a﹣1）2＝（）2，所以a2﹣2a+1＝3，即得到整系數(shù)方程：a2﹣2a﹣2＝0．
仿照上述操作方法，完成下面的問(wèn)題：
當(dāng)a＝時(shí)，
①得到的整系數(shù)方程為 　a2+a﹣1＝0?。?br /> ②計(jì)算：a3﹣2a+2025＝　2024?。?br /> 【分析】①根據(jù)已知可得2a+1＝，然后利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可解答；
②利用①的結(jié)論可得a2﹣1＝﹣a，a2+a＝1，然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：①∵a＝，
∴2a＝﹣1，
∴2a+1＝，
∴（2a+1）2＝5，
∴4a2+4a+1＝5，
∴4a2+4a﹣4＝0，
∴得到的整系數(shù)方程為：a2+a﹣1＝0，
故答案為：a2+a﹣1＝0；
②∵a2+a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝﹣a，a2+a＝1，
∴a3﹣2a+2025
＝a3﹣a﹣a+2025
＝a（a2﹣1）﹣a+2025
＝a?（﹣a）﹣a+2025
＝﹣a2﹣a+2025
＝﹣（a2+a）+2025
＝﹣1+2025
＝2024，
故答案為：2024．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方根，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
32．（2022春?堯都區(qū)期中）一直角三角形的最長(zhǎng)邊為4，最短邊為3，則第三邊為 　　．
【分析】根據(jù)已知可得直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4，然后利用勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵一直角三角形的最長(zhǎng)邊為4，最短邊為3，
∴直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4，
∴第三邊＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
33．（2022秋?霞浦縣期中）如圖，在8×8的方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，下列結(jié)論正確的有 ?、佗冖邸。ㄌ顚懶蛱?hào)）．
①△ABC的形狀是直角三角形；
②△ABC的周長(zhǎng)是；
③點(diǎn)B到AC邊的距離是2；
④若點(diǎn)D在格點(diǎn)上（不與A重合），且滿足S△BCD＝S△BCA，這樣的D點(diǎn)有3個(gè)不同的位置．

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，即可判斷②，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷①，根據(jù)三角形面積公式即可判斷③和④．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝5，BC＝＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC的形狀是直角三角形，且∠ABC＝90°，故結(jié)論①正確；
△ABC的周長(zhǎng)是+5+2＝3+5，故結(jié)論②正確；
設(shè)點(diǎn)B到AC邊的距離是h，
由三角形面積公式得：AC?h＝AB?BC，
∴h＝＝＝2，故結(jié)論③正確；
∵S△BCD＝S△BCA，
∴D點(diǎn)到BC的距離等于A點(diǎn)到BC的距離，如圖所示，
D點(diǎn)可以是直線m、n上的任意一點(diǎn)，
又∵點(diǎn)D在格點(diǎn)上（不與A重合），
∴這樣的D點(diǎn)有3+4＝7個(gè)不同的位置，故結(jié)論④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
34．（2022春?隆回縣期中）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，那么其面積為 　6?。?br /> 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理先證明三角形是直角三角形，然后再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的面積＝×3×4＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
35．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接ED，則∠EDB的度數(shù)是 　28°?。?br />
【分析】先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠B＝28°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得ED＝EB，從而利用等腰三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝28°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴ED＝EB＝BC，
∴∠EDB＝∠B＝28°，
故答案為：28°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
36．（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中點(diǎn)，∠BDE＝52°，則∠DEB的度數(shù)為 　76°?。?br />
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得DE＝BE＝AC，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDE＝∠DBE＝52°，從而利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中點(diǎn)，
∴DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠DBE＝52°，
∴∠DEB＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝76°，
故答案為：76°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
37．（2022秋?湖口縣期中）無(wú)論x取何整數(shù)，的值都是整數(shù)，則m的值為 　1或9　．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)方法得出x2﹣（m﹣3）x+m是完全平方式，設(shè)出這個(gè)完全平方式得到x2﹣（m﹣3）x+m＝（x+n）2，進(jìn)而求出n的值，再代入求出m的值即可．
【解答】解：∵無(wú)論x取何整數(shù)，的值都是整數(shù)，
∴x2﹣（m﹣3）x+m是完全平方式，
設(shè)x2﹣（m﹣3）x+m＝（x+n）2，則x2﹣（m﹣3）x+m＝x2+2nx+n2，
∴2n＝﹣（m﹣3）且n2＝m，
∴n2＝3﹣2n，
即n2+2n﹣3＝0，
解得n＝﹣3或n＝1，
當(dāng)n＝﹣3時(shí)，m＝n2＝9，
當(dāng)n＝1時(shí)，m＝n2＝1，
∴m＝1或m＝9，
故答案為：1或9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是正確解答的前提．
38．（2022春?回民區(qū)期中）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為 　?。?br />
【分析】先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后利用面積法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：由勾股定理得：
AC＝＝2，
由題意得：
△ABC的面積＝3×4﹣×2×1﹣×2×4﹣×2×3
＝12﹣1﹣4﹣3
＝4，
∵BD⊥AC，
∴AC?BD＝4，
∴×2?BD＝4，
∴BD＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，熟練掌握面積法是解題的關(guān)鍵．
39．（2022春?鄂州期中）如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，則BC2+EG2的值為 　20?。?br />
【分析】連接BE，CG，先證明△BAG≌△EAC，得∠ABG＝∠AEC，可得BG⊥CE，最后由勾股定理可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接BE，CG，

∵正方形ABDE和正方形ACFG，
∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAG＝∠CAE，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AHB＝∠OHE，
∴∠EOH＝∠BAH＝90°，
∴∠EOG＝∠BOC＝90°，
∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，
∵AB＝3，AC＝1，
∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，
∴BE2+CG2＝18+2＝20，
∴BC2+EG2＝20．
故答案為：20．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
40．（2022秋?桐鄉(xiāng)市期中）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，AB＝5，點(diǎn)M為AC上動(dòng)點(diǎn)，N為AB上一點(diǎn)，且MN＝3，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程為 　4﹣4?。?br />
【分析】通過(guò)畫(huà)圖可知：點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是：N'→D→N，計(jì)算DN'和DN的長(zhǎng)，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，點(diǎn)N在N'的位置，此時(shí)AN'＝3，

當(dāng)MN⊥AC時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)D的位置上，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝45°，
∴AM＝DM＝3，
∴AD＝3，
∴DN'＝3﹣3，
當(dāng)點(diǎn)M繼續(xù)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N由點(diǎn)D向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的位置，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝4，
∴AH＝CH＝2，
∵CN＝3，
∴NH＝＝＝1，
∴DN＝AD﹣AH﹣NH＝3﹣2﹣1＝﹣1，
∴點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程＝DN'+DN＝3﹣3+﹣1＝4﹣4．
故答案為：4﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想思考問(wèn)題，有難度．
41．（2022秋?渾南區(qū)期中）已知正方形ABCD，點(diǎn)E在線段AB上，連接CE，CA，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC，垂足為G，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CE交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接GD，GF，則GD與CE的數(shù)量關(guān)系為 　CE＝GD　．

【分析】先證明四邊形CEFD是平行四邊形，再證明△FGE≌△DGA（SAS），得△DGF是等腰直角三角形，從而得結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝AD，∠CAD＝∠CAE＝45°，
∵CE∥DF，
∴四邊形CEFD是平行四邊形，
∴CD＝EF，CE＝DF，
∴AB＝EF＝AD，
∵EG⊥AC，
∴∠AGE＝90°，
∴∠GEA＝∠EAC＝45°，
∴EG＝AG，
∵∠FEG＝∠DAG＝45°，
∴△FGE≌△DGA（SAS），
∴∠EGF＝∠AGD，DG＝FG，
∴∠DGF＝∠EGA＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴DF＝GD，
∵CE＝DF，
∴CE＝GD．
故答案為：CE＝GD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．
三．解答題（共19小題）
42．（2022春?贊皇縣期中）先化簡(jiǎn)，再求值：a+，其中a＝2020．
如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程．

（1）　小亮　的解法是錯(cuò)誤的；
錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：?。絴a|　；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：a+2，其中a＝﹣2．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可；
（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)把原式化簡(jiǎn)，把a(bǔ)＝﹣2代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1）小亮的解法是錯(cuò)誤的，
錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：＝|a|，
故答案為：小亮；＝|a|；
（2）原式＝a+2＝a+2|a﹣3|，
∵a＝﹣2＜3，
∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的性質(zhì)：＝|a|是解題的關(guān)鍵．
43．（2022秋?蕭縣期中）計(jì)算：（﹣）?（+）+（2﹣1）2．
【分析】先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答．
【解答】解：（﹣）?（+）+（2﹣1）2
＝2﹣3+8﹣4+1
＝8﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
44．（2022春?大同期中）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）先算乘除，后算加法，即可解答．
【解答】解：（1）
＝（2）2﹣12
＝12﹣1
＝11；
（2）
＝+
＝+
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
45．（2022秋?紫金縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求四邊形ABCD的面積．

【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）先利用勾股定理的逆定理證明△ADC是直角三角形，從而可得∠D＝90°，然后根據(jù)四邊形ABCD的面積＝△ADC的面積+△ABC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的長(zhǎng)為5；
（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°，
∴四邊形ABCD的面積＝△ADC的面積+△ABC的面積
＝AD?CD+AC?BC
＝×4×3+12×5
＝6+30
＝36，
∴四邊形ABCD的面積為36．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
46．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．
【分析】先將x、y化簡(jiǎn)，然后即可得到x+y、xy的值，從而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x＝＝（）2＝5+2，y＝＝5﹣2，
∴x+y＝10，xy＝1，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝102﹣1
＝100﹣1
＝99．
∴x2+xy+y2的平方根為±3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡(jiǎn)求值的方法．
47．（2022秋?金水區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：下面是李明同學(xué)在解答某個(gè)題目時(shí)的計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
（+）2﹣（﹣）2
＝（）2+（）2﹣（）2+（）2……第一步
＝6+5﹣6+5……第二步
＝10……第三步
任務(wù)一：填空：以上步驟中，從第 　一　步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是 　完全平方公式運(yùn)用錯(cuò)誤??；
任務(wù)二：請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過(guò)程；
任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就二次根式運(yùn)算時(shí)還需注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．
【分析】任務(wù)一：利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可解答；
任務(wù)二：先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答；
任務(wù)三：根據(jù)在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式，即可解答．
【解答】解：任務(wù)一：填空：以上步驟中，從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是完全平方公式運(yùn)用錯(cuò)誤，
故答案為：一，完全平方公式運(yùn)用錯(cuò)誤；
任務(wù)二：（+）2﹣（﹣）2
＝（）2+2+（）2﹣[（）2﹣2+（）2]
＝6+2+5﹣（6﹣2+5）
＝6+2+5﹣6+2﹣5
＝4；
任務(wù)三：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
48．（2022春?昭平縣期中）已知線段a，b，c，且線段a，b滿足．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b，c是某直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度，求c的值．
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性，可得a﹣＝0，b﹣＝0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）分兩種情況：當(dāng)a，b為直角三角形的兩條直角邊時(shí)，當(dāng)a為直角三角形的斜邊時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）∵，
∴a﹣＝0，b﹣＝0，
∴a＝＝4，b＝＝2，
∴a的值為4，b的值為2；
（2）分兩種情況：
當(dāng)a，b為直角三角形的兩條直角邊時(shí)，
∴c＝＝＝4，
當(dāng)a為直角三角形的斜邊時(shí)，
∴c＝＝＝4，
綜上所述：c的值為4或4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
49．（2022春?樂(lè)昌市校級(jí)期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．
（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）求△ABC的面積及AC邊上的高．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得AB＝，BC＝＝2，AC＝，從而求出△ABC的面積，然后再求出AC邊上的高．
【解答】解：（1）△ABC為直角三角形，
理由：由題意得：
AB2＝22+32＝13，
CB2＝42+62＝52，
AC2＝12+82＝65，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC為直角三角形，
∴∠ABC＝90°；
（2）設(shè)AC邊上的高為h，
由（1）得：
AB＝，BC＝＝2，AC＝，
∴△ABC的面積＝AB?BC＝××2＝13，
∵△ABC的面積＝AC?h，
∴×h＝13，
∴h＝，
∴△ABC的面積為13，AC邊上的高為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
50．（2022春?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）出發(fā)4秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到CA上時(shí)，求能使△BCQ是等腰三角形時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，請(qǐng)直接寫出t的值．
【分析】（1）可求得AP和BQ，則可求得BP，最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論；
（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；
（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒，
∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），
在Rt△PQB中，根據(jù)勾股定理得：
PQ＝＝＝4（cm）；
（2）由題意可知AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，
解得t＝．
∴出發(fā)秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）①當(dāng)CQ＝BQ時(shí)，如圖1所示，
則∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10cm，
∴BC+CQ＝22cm，
∴t＝22÷2＝11．
②當(dāng)CQ＝BC時(shí)，如圖2所示，
則BC+CQ＝24cm，
∴t＝24÷2＝12．
③當(dāng)BC＝BQ時(shí)，如圖3所示，
過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，
則BE＝＝＝（cm），
∴CE＝＝＝（cm），
∴CQ＝2CE＝14.4（cm），
∴BC+CQ＝26.4（cm），
∴t＝26.4÷2＝13.2．
綜上所述：當(dāng)t為11或12或13.2時(shí)，△BCQ為等腰三角形．



【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．
51．（2022春?普寧市校級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)N從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為2cm/s，點(diǎn)M從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為4cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）出發(fā)2s后，求MN的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘，△MNB是等腰三角形？
（3）當(dāng)點(diǎn)M在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCM成為等腰三角形的t的值．

【分析】（1）由題意求得BQ和BP，由勾股定理可求出答案；
（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；
（3）求出BQ，分兩種情況可求出答案．
【解答】解：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm．
∵AB＝16cm，∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，
MN＝＝＝4（cm），
即MN的長(zhǎng)為4cm．
（2）由題意可知AN＝2t，BM＝4t，
又∵AB＝16cm，
∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm，
當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BM＝BN，
∴16﹣2t＝4t，解得t＝，
∴出發(fā)s后△MNB是等腰三角形．
（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm，
當(dāng)點(diǎn)M在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t，
∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12，
∵△BCM為等腰三角形，
∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三種情況：
①當(dāng)BM＝BC＝12時(shí)，如圖，過(guò)B作BE⊥AC，則CE＝CM＝2t﹣6，
在Rt△ABC中，可求得BE＝；
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2，
解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去），
②當(dāng)CM＝BC＝12時(shí)，則4t﹣12＝12，解得t＝6，
③當(dāng)CM＝BM時(shí)，則∠C＝∠MBC，
∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA，
∴∠A＝∠MBA，
∴MB＝MA，
∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5，
綜上可知，當(dāng)t的值為6.6或6或5.5時(shí)，△BCM為等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．
52．（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在?ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于點(diǎn)O，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．
（1）求證：四邊形ACBE是矩形；
（2）連接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)有一個(gè)角的直角的平行四邊形是矩形可得結(jié)論；
（2）先證明△AOC是等邊三角形，可得∠OAC＝60°，再證明∠EAO＝30°，由含30°角的性質(zhì)可得OF，AF的長(zhǎng)，最后由勾股定理可計(jì)算OD的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AC⊥AD，
∴∠EAC＝∠DAC＝90°，
∵∠ECA＝∠ACD，
∴∠AEC＝∠ADC，
∴CE＝CD，
∴AE＝AD＝BC，
∵AE∥BC，
∴四邊形ACBE是平行四邊形，
∵∠EAC＝90°，
∴四邊形ACBE是矩形；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DE于F，

由（1）知：四邊形ACBE是矩形，
∴對(duì)角線AB和CE相等且互相平分，AO＝AB＝2，
∴OA＝OC，
∵∠ACD＝∠ACO＝60°，
∴△AOC是等邊三邊形，
∴∠OAC＝60°，
∵∠EAC＝90°，
∴∠FAO＝90°﹣60°＝30°，
Rt△AFO中，OF＝AO＝1，AF＝，
Rt△AEB中，AE＝＝2，
∴DF＝AF+AD＝+2＝3，
∴OD＝＝＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
53．（2022春?東港區(qū)校級(jí)期中）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交線段BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．

（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的長(zhǎng)．

【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；
（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）解：如圖2，

在Rt△ABC中，AB＝2，
∴AC＝AB＝4，
∵CE＝2，
∴AE＝4﹣2＝2，
∴AE＝CE，
∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，
∴CG＝CE＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
54．（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于G．
（1）求證：四邊形AGBD為平行四邊形；
（2）若四邊形AGBD是矩形，則四邊形BEDF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．

【分析】（1）依據(jù)AD∥BG，AG∥BD，即可得到四邊形AGBD是平行四邊形；
（2）根據(jù)已知條件證明BE＝DF，BE∥DF，從而得出四邊形DFBE是平行四邊形，再證明DE＝BE，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴AD∥BG，
又∵AG∥BD，
∴四邊形AGBD是平行四邊形；

（2）四邊形DEBF是菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴BE＝AB，DF＝CD．
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵四邊形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE＝DE，
∴平行四邊形DEBF是菱形．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：在直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半．
55．（2021春?新泰市期中）如圖，在矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，連接BE，DF，求四邊形BFDE的周長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EDO＝∠FBO，即可證的兩個(gè)三角形全等；
（2）設(shè)AE＝x，根據(jù)已知條件可得BE＝ED＝8﹣x，由（1）可推得△EBO≌△EDO，可得ED＝EB，可證得四邊形EBFD是菱形，根據(jù)勾股定理可得BE的長(zhǎng)，即可求得周長(zhǎng)；
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵O為BD的中點(diǎn)，
∴OB＝OD，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形BFDE是菱形，
根據(jù)AB＝6，AD＝8，設(shè)AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得：，
∴，
∴四邊形BFDE的周長(zhǎng)＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)應(yīng)用，結(jié)合菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
56．（2021春?云陽(yáng)縣期中）如圖①，正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于N．
（1）若點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，求證：MD＝MN；
（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上的任意一點(diǎn)”，其它條件不變．如圖②所示，則結(jié)論“MD＝MN”是否成立．若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）要證MD＝MN，就要構(gòu)建△DFM≌△MBN，只需取AD的中點(diǎn)F，連接FM，依據(jù)正方形的性質(zhì)可證△DFM≌△MBN，進(jìn)而得出DM＝MN．
（2）只需在AD上截取AF'＝AM，其證法與（1）相同．
【解答】解：（1）如圖，取AD的中點(diǎn)F，連接FM．
∵∠FDM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠FDM＝∠BMN，
∵AF＝AD＝AB＝AM＝MB＝DF，
∵BN平分∠CBE，即∠NBE＝∠CBE＝45°，
又∵AM＝AF，
∴∠AFM＝45°，
∴∠DFM＝∠MBN＝135°．
∵DF＝MB，
在△DFM和△MBN中
，
∴△DFM≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
（2）結(jié)論“DM＝MN”仍成立．
證明如下：如圖，在AD上截取AF'＝AM，連接F'M．
∵DF'＝AD﹣AF'，MB＝AB﹣AM，AD＝AB，AF'＝AM，
∴DF'＝MB．
∵∠F'DM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠F'DM＝∠BMN．
又∠DF'M＝∠MBN＝135°，
在△DF'M和△MBN中
，
∴△DF'M≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．


【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定的知識(shí)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
57．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，且BF＝2FC，點(diǎn)P在線段CD上，連接PE、EF、PF．
（1）若△PEF為等腰三角形，求PC的長(zhǎng)度；
（2）若EF平分∠BEP，求PC的長(zhǎng)度．

【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得EF＝5，設(shè)PC＝x，所以PF＝，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，得矩形ADPG，若△PEF為等腰三角形分3種情況：①EF＝PF，②EF＝PE，③PE＝PF，然后利用勾股定理即可解決問(wèn)題；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，證明Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），可得BF＝HF＝4，設(shè)PC＝x，然后利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）正方形ABCD中，
∵AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE＝3，
∵BF＝2FC，
∴BF＝4，F(xiàn)C＝2，
∴EF＝＝5，
設(shè)PC＝x，
∴PF＝＝，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，得矩形ADPG，
∴AG＝DP＝DC﹣PC＝6﹣x，
∴GE＝AE﹣AG＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，
∴PE＝＝，
∵△PEF為等腰三角形，
∴分3種情況：
①EF＝PF，
∴5＝，
解得x＝（負(fù)值舍去）；
②EF＝PE，
∴5＝，
解得此方程無(wú)解；
③PE＝PF，
∴＝，
解得x＝，
＞6，點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，不符合題意，舍去．
綜上所述：PC的長(zhǎng)度為；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，

∵EF平分∠BEP，
∴EH＝BE＝3，
在Rt△BEF和Rt△HEF中
，
∴Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），
∴BF＝HF＝4，
設(shè)PC＝x，
∴PF＝＝，
∵AG＝DP＝DC﹣PC＝6﹣x，
∴GE＝AE﹣AG＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，
∴PE＝＝，
∴HP＝PE﹣EH＝﹣3，
在Rt△HPF中，根據(jù)勾股定理得：
HP2+FH2＝PF2，
∴（﹣3）2+42＝（）2，
解得x＝．
∴PC的長(zhǎng)度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是分類討論思想的靈活運(yùn)用．
58．（2021春?南通期中）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊AB上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為G，AF與邊BC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADF≌△DCE；
（2）若△DEF的面積為，求AF的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，取DE，AF的中點(diǎn)M，N，連接MN，求MN的長(zhǎng)．

【分析】（1）先證得∠AED＝∠AFB，很容易證明△ABF與△DAE全等，由此得出AF＝DE，又由互余可得出∠DAF＝∠CDE，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積求得AE，再根據(jù)勾股定理求得DE，根據(jù)（1）中AF＝DE即刻得出結(jié)論；
（3）連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P，連接PF，可證明△DPM≌△EAM，所以PM＝AM，DP＝AE＝3或1，又MN是△APF的中位線，求出PF的長(zhǎng)即可．
【解答】（1）證明：∵AF⊥DE，∠B＝90°，
∴∠AED＝∠AFB，
在△ABF與△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE，
∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS）．
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF＝x，
∴BE＝CF＝4﹣x，
∴△DEF的面積＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF
＝4×4﹣×4?x﹣（4﹣x）?x﹣×4?（4﹣x）
＝8﹣2x+x2，
∴y＝x2﹣2x+8＝，
解得，x1＝3，x2＝1，
∴AE＝3或AE＝1，
∴AF＝DE＝5或．
（3）解：如圖，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P，連接PF，

∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，
∴DM＝ME，
∵AB∥CD，
∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM，
∴△DPM≌△EAM（AAS），
∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1，
當(dāng)AE＝3時(shí)，BF＝EP＝3，
∴CF＝CP＝1，
∴PF＝，
∴MN＝PF＝；
當(dāng)AE＝1時(shí)，BF＝EP＝1，
∴CF＝CP＝3，
∴PF＝3，
∴MN＝PF＝；
綜上，MN的長(zhǎng)度為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是知道兩線段之間的垂直關(guān)系．
59．（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°．
（1）求證：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，連接OE；
①若m＝，求平行四邊形ABCD的面積；
②設(shè)＝k，試求k與m滿足的關(guān)系．

【分析】（1）根據(jù)?ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等邊三角形，進(jìn)而可以證明結(jié)論；
（2）①根據(jù)＝m＝，可得AB＝BC，證明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得平行四邊ABCD的面積；
②根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，由△ABE是等邊三角形，可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE邊上的高等于△BDC的BC邊上的高的一半，底BE等于BC的m倍，設(shè)BC邊上的高為h，BC的長(zhǎng)為b，分別表示出四邊形OECD和三角形AOD的面積，進(jìn)而可得k與m滿足的關(guān)系．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
當(dāng)AC＝4時(shí)，AB＝4，
∴平行四邊ABCD的面積＝2S△ABC＝2×AB?AC＝4×4＝16；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE邊上的高等于△BDC的BC邊上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
設(shè)BC邊上的高為h，BC的長(zhǎng)為b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四邊形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ABE是等邊三角形是關(guān)鍵．
60．（2022春?集美區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C（4，0），A（a，3），B（a+4，3）．
（1）若a＝，求證：四邊形OABC是菱形．
（2）若a＝2，線段OB上是否存在點(diǎn)G（m，n），且m﹣2n＝0，使得△OCG為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A（a，3）作AE⊥x軸于點(diǎn)E，則AE＝3，由a＝，則A（，3），B（+4，3），由于yA＝y(tǒng)B，得到AB∥OC，推出四邊形OABC是平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到OE＝＝4，于是得到四邊形OABC是菱形；
（2）設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，得到線段OB解析式為y＝x．求得B（6，3），若線段OB上存在點(diǎn)G（m，n），且m﹣2n＝0，n＝m，使得△OCG為等腰三角形，則可分為下列三種情形進(jìn)行討論：①當(dāng)OG＝GC時(shí)，②當(dāng)OG＝OC＝4時(shí)，③當(dāng)GC＝OC＝4時(shí)，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)A（a，3）作AE⊥x軸于點(diǎn)E，則AE＝3，

又∵C（4，0）
∴OC＝4，
若a＝，則A（，3），B（+4，3），
∵yA＝y(tǒng)B，
∴AB∥OC，
∵AB＝4，OC＝4，
∴AB＝OC，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∵∠AEO＝90°，AE＝3，OE＝＝4，
∴OA＝AB，
∴四邊形OABC是菱形；
（2）解：若a＝2，則A（2，3），B（6，3），
設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，代入得，
∴k＝，
∴線段OB解析式為y＝x．
若線段OB上存在點(diǎn)G（m，n），且m﹣2n＝0，n＝m，使得△OCG為等腰三角形，則可分為下列三種情形進(jìn)行討論：
①當(dāng)OG＝GC時(shí)，如圖1，點(diǎn)G在OC的垂直平分線上，

則有m＝2，
∴此時(shí)G（2，1）在線段OB上，
②當(dāng)OG＝OC＝4時(shí)，
如圖2，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥x軸于點(diǎn)F，

則∠AFG＝90°，m2+（m）2＝42，
∴x＝＜6，
∴G（，）在線段OB上，
③當(dāng)GC＝OC＝4時(shí)，
如圖3，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，

則∠GHO＝90°，（m﹣4）2+（m）2＝42，
∴x＝＞6，
∴此時(shí)點(diǎn)G不在線段OB上．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，1）或（，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．



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