?2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講人教版（原卷版）
一、單選題
1．（2022春·重慶渝中·八年級重慶市求精中學(xué)校校考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動（不與點(diǎn)A，B重合），，點(diǎn)F在射線AM上，且，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EF、EG．下列結(jié)論：①，②的周長為；③；④當(dāng)G是線段AD的中點(diǎn)時，．正確的個數(shù)是（????）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┤绻P(guān)于x的不等式組的解集為，且式子的值是整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的個數(shù)是（????）．
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2021秋·湖北省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┤鐖D，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個動點(diǎn)，AQ交BD于點(diǎn)M，過M作MN⊥AQ交BC于點(diǎn)N，作NP⊥BD于點(diǎn)P，連接NQ，下列結(jié)論：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④為定值，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021秋·重慶·八年級重慶南開中學(xué)校考期中）在邊長為12的正方形ABCD中，E為CD邊中點(diǎn)，連接AE，將沿線段AE翻折得到，延長AF交BC邊于點(diǎn)N，連接EN，延長EF交BC邊于點(diǎn)G，其中，連接DF并延長交BC邊于點(diǎn)K，連接EK，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（????）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
5．（2021春·北京·八年級期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則______（點(diǎn)、、、、是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．

6．（2022春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）在中，，，，過點(diǎn)的直線把分割成兩個三角形且交線段AC于點(diǎn)P，使其中只有一個是等腰三角形，則_____________________．
7．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為上的點(diǎn)，連接，若，則的長度為_________．

8．（2022春·重慶·八年級重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考期中）圖，已知為等邊三角形，D、E分別為、上一點(diǎn)，并滿足，連接、相交于F點(diǎn)，連接，且，過點(diǎn)B作，與相交于G點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折得到，點(diǎn)I為中點(diǎn)，且，則點(diǎn)I到的距離為______．

9．（2022春·浙江寧波·八年級寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，菱形的邊長，取對角線上兩點(diǎn)E，H，使，當(dāng)時，則_________．

10．（2022春·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在正方形中AB=1．AB與直線的夾角為30°，延長交直線于點(diǎn)作正方形，延長交直線于點(diǎn)，作正方形，延長交直線于點(diǎn)，作正方形 ……依此規(guī)律，則__________ （用指數(shù)表示即可）

11．（2021秋·北京·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．如果E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)，且EF經(jīng)過AC中點(diǎn)O，G，H是對角線AC上的點(diǎn)．下列判斷正確的有______．
①在AC上存在無數(shù)組G、H，使得四邊形EGFH是平行四邊形；②在AC上存在無數(shù)組G、H，使得四邊形EGFH是矩形；③在AC上存在無數(shù)組G、H，使得四邊形EGFH是菱形；④當(dāng)AG=時，存在E、F、G，H，使得四邊形EGFH是正方形．

12．（2021春·天津·八年級耀華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時，正方形的邊長為______．

三、解答題
13．（2022春·北京·八年級統(tǒng)考期中）我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做完美四邊形．

(1)在以下四種四邊形中，一定是完美四邊形的是______（請?zhí)钚蛱枺?br /> ①平行四邊形????②菱形????③矩形????④正方形
(2)如圖1，菱形中，，，分別是，上的點(diǎn)，且，求證：四邊形是完美四邊形；
(3)如圖2和如圖3中，四邊形均為完美四邊形，，，連接．
①在圖2中，求證：平分；
②在圖3中，當(dāng)時，直接用等式寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．
14．（2022春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）有一個直角三角形紙片，，兩直角邊，．
（1）如圖1，若將沿著直線折疊，使頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的長；
（2）如圖2，若將沿直線折疊，使落在斜邊上，且與重合，求的面積．
???




15．（2021春·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8厘米，BC=6厘米，P、Q是△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動速度為2厘米/秒，若它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．
（1）求出發(fā)2秒后，PQ的長；
（2）點(diǎn)Q在CA邊上運(yùn)動時，當(dāng)△BCQ成為等腰三角形時，求點(diǎn)Q的運(yùn)動時間．






16．（2020春·北京海淀·八年級清華附中校考期中）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式進(jìn)行了以下探索：
．請你仿照小明的方法解決下列問題：
（1），則______，_______；
（2）已知是的算術(shù)平方根，求的值；
（3）當(dāng)時，化簡_______．




17．（2021春·新疆塔城·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm．P、Q是的邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒lcm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為ts．
（1）BC= cm；
（2）求當(dāng)點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上時CQ的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時，直接寫出使為等腰三角形的運(yùn)動時間．








18．（2020春·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谥校?shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．
材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡．我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．
材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P(x，y)和Q(x，y’)給出如下定義：若則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)(3，2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(3，2)，點(diǎn)(﹣2，5)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(﹣2，﹣5)．問題：
（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為　 　 ，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為　　 ；
（2）化簡：；
（3）已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點(diǎn)M(，m)是關(guān)于x的函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)M’是點(diǎn)M的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，求點(diǎn)M’的坐標(biāo)．














19．（2020春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ形膩碇袑W(xué)校考期中）圖，正方形ABCD的一邊在直線AM上，點(diǎn)P在對角線AC上，點(diǎn)E是射線AB上一動點(diǎn)，連接PE，射線交直線AM于點(diǎn)F，已知正方形邊長為8，．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時，求證．
(2)連接CE，當(dāng)時，請在圖2中畫出相應(yīng)的圖形，并求線段AF的長．
(3)如果的角平分線交射線AB于點(diǎn)N，設(shè)，，直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

















20．（2022春·重慶·八年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，于E，于G，交于F．

(1)如圖1，若，，求的長；
(2)如圖2，平行四邊形外部有一點(diǎn)H，連接、，滿足，，求證：．
(3)如圖3，在上有一點(diǎn)M，連接，將繞著點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)90°得，連接、，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接．在（1）的條件下，當(dāng)最小時，直接寫出線段的長度．
















21．（2022春·廣東廣州·八年級校聯(lián)考期中）在□ABCD中，連接BD，若，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，連接CE．

(1)如圖1，點(diǎn)G在BD上，連接CG，過G作于點(diǎn)H，連接DH并延長交AB于點(diǎn)M．求證：；
(2)如圖1，在（1）的前提下，若，．求證：；
(3)如圖2，,，點(diǎn)N在BC邊上，，若CE是的角平分線，線段PQ（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）在線段CE上運(yùn)動，，連接BP，NQ，求的最小值．

22．（2022春·福建泉州·八年級泉州七中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)畫正方形OABC，為x軸上的一個動點(diǎn)，以BD為一邊畫正方形BDEF（點(diǎn)F在直線AB右側(cè)）．

(1)當(dāng)時，試判斷線段AF與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)當(dāng)時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)D點(diǎn)從A點(diǎn)向右移動9個單位，求這一過程中F點(diǎn)移動的路程是多少？



23．（2022春·湖北武漢·八年級武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┤鐖D：正方形ABCD邊長為m，正方形DEFG邊長為n（n＜m），以AD，DG為邊作平行四邊形ADGM，以，CD，DE為邊作平行四邊形CDEN，點(diǎn)P，Q分別是DM，CE的中點(diǎn)．正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．

(1)求證：△MDA≌△ECD；
(2)求△DPQ的面積（用含m，n的代數(shù)式表示）
(3)直接寫出PQ的長度的最大值（用含m，n的代數(shù)式表示）


24．（2022春·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ凶锨G中學(xué)校考期中）已知矩形ABCD中，AB = 5，AD = 4，點(diǎn)E在AB邊上，AE= 1．點(diǎn)M是線段BC上的動點(diǎn)，BM = x，連ME，把△BME沿ME折疊，得到△FEM，延長MF交CD于點(diǎn)G，連接EG．

(1)當(dāng)x = _________時，△MCG是等腰三角形；
(2)延長EG與∠CMG的平分線交于點(diǎn)H，連接DH，DE．
①在M移動過程中，四邊形DEMH能否成為菱形？若能，加以證明，并寫出此時x的值；若不能，請說明理由．
②寫出線段DH的最小值為_________ ．

25．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考期中）在中，，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)D使，連接、．

(1)如圖1，求證：四邊形是正方形；
(2)如圖2，在四邊形內(nèi)部作，連接，若，，求的長；
(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)G，若，求的面積．


26．（2022春·浙江杭州·八年級杭州市公益中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，一張矩形紙片，其中，，先沿對角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，交于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)求的長；
(3)如圖2，再折疊一次，使點(diǎn)與重合，折痕交于，求的長．



27．（2022春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在正方形ABCD中，BD為對角線，延長AB至點(diǎn)E，使得AB=BE，連接CE

(1)求證：四邊形BECD是平行四邊形；
(2)如圖2，點(diǎn)F在線段BD上，連接EF、CF，若CE=EF，
①求∠BEF的大小；
②求的值．




28．（2022春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）定義：如圖，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)分別在四邊形ABCD的四條邊上，若四邊形EFGH為菱形，我們稱菱形EFGH為四邊形ABCD的內(nèi)接菱形．

(1)如圖，矩形ABCD，，點(diǎn)E在線段AB上且，四邊形EFGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形，求GC的長度；
(2)如圖，平行四邊形ABCD，，，點(diǎn)E在線段AB上且，請你在圖中畫出平行四邊形ABCD的內(nèi)接菱形EFGH，點(diǎn)F在邊BC上；（尺規(guī)作圖，保留痕跡）當(dāng)BF最短時，請求出BC的長．





29．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）【問題情境】如圖1，已知點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得的值最小．
小軍的思路是：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接，則與直線l的交點(diǎn)P即為所求．
【啟發(fā)應(yīng)用】請參考小軍同學(xué)的思路，探究并解答下列問題：

(1)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)與直線l的交點(diǎn)為點(diǎn)C，過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)D．若，，，求出此時的最小值；
(2)如圖3，若，，，則此時的最小值為______；
(3)【解決問題】根據(jù)以上解決問題的思路，直接寫出的最小值．



30．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在中，，點(diǎn)E在邊上，交的延長線于點(diǎn)D．

(1)若，求證：；
(2)如圖2，連接，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)G，連接，若，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若，，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，求線段的長．



31．（2022春·浙江舟山·八年級校考期中）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE，過點(diǎn)D作DFBE，交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是BE，DF的中點(diǎn)，連接EH，GF．

(1)求證：四邊形EGFH為平行四邊形；
(2)若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°；
①當(dāng)BG＝GF時，求四邊形EGFH的面積：
②如圖2，延長FG交AB于點(diǎn)P，連接AG，記ΔAPG的面積為S1，ΔBPG的面積為S2，若FP⊥AB，求的值．



32．（2022春·廣東廣州·八年級?？计谥校┱叫沃?，，分別為，上一點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(1)求證：≌；
(2)求證：；
(3)求證：



33．（2022春·福建莆田·八年級?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中有正方形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸正半軸上，點(diǎn)、、分別為邊、、上的點(diǎn)，于．

(1)如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)坐標(biāo)為，，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)如圖2，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，且為邊的中點(diǎn)，求證：；
(3)如圖3，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．


34．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D1，已知正方形ABCD，對角線交于點(diǎn)O，H為邊AB上一點(diǎn)，且滿足OHBC，

(1)求證：H為AB中點(diǎn)；
(2)如圖2，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且AF=BE，求證：AF⊥BE；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接HG，K為AF上一點(diǎn)，連接DK、KC、OK，若滿足∠ABE+∠AKD+∠KCD=135°，，△OKD的面積為，求CK長．


35．（2021春·全國·八年級期中）如圖1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D在AB邊的延長線上，且CD＝AB．
（1）求BD的長度；
（2）如圖2，將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'與CD相交于點(diǎn)E，求DE的長度；
②連接A'D、BD'，若旋轉(zhuǎn)過程中A'D＝BD'時，求滿足條件的α的度數(shù)．
（3）如圖3，將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段A'D'上任意一點(diǎn)，直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段MN長度的取值范圍．















36．（2022秋·浙江·八年級期中）將一個三角形的三個頂點(diǎn)分別作關(guān)于各自對邊所在直線的對稱點(diǎn)，由這三個對稱點(diǎn)確定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．

（1）一個周長為l，面積為S的等邊三角形的“再生三角形”的周長是_______，面積是________．
（2）如圖1，已知中，，是的“再生三角形”，其中點(diǎn)，，分別是點(diǎn)A，B，C的對稱點(diǎn)，試猜想與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（提示：連結(jié)，并延長交于點(diǎn)D．）
（3）如圖2，已知中，是的“再生三角形”，其中點(diǎn)，，'分別是點(diǎn)A，B，C的對稱點(diǎn)．探究：線段與線段的數(shù)量關(guān)系．














37．（2022春·廣東深圳·八年級深圳市光明區(qū)光明中學(xué)?？计谥校┮阎狝OB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如圖1：連AM，BN，求證：AOM≌BON；
（2）若將RtMON繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，M，N恰好在同一條直線上時，如圖2所示，線段OH//BN，OH與AM交點(diǎn)為H，若OB＝4，ON＝3，求出線段AM的長；
（3）若將MON繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)N恰好落在AB邊上時，如圖3所示，MN與AO交點(diǎn)為P，求證：MP2+PN2＝2PO2．

















38．（2021春·四川成都·八年級?？计谥校┙瞧椒志€性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離的關(guān)系，小明發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，還可以得出一些線段比例的關(guān)系．
請完成下列探索過程：
【研究情景】
如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D．
【初步思考】
（1）若AB＝4，BC＝7，則＝　 　；
【深入探究】
（2）請判斷和之間的數(shù)值關(guān)系，并證明；
【應(yīng)用遷移】
（3）如圖2，△ABC和△ECD都是等邊三角形，△ABC的頂點(diǎn)A在△ECD的邊ED上，CD交AB于點(diǎn)F，若AE＝4，AD＝2，求△CFB的面積．











39．（2022秋·廣東深圳·八年級?？计谥校┮阎鰽CB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．
（1）如圖1，若D為△ACB內(nèi)部一點(diǎn)，請判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若D為AB邊上一點(diǎn)，AD＝5，BD＝12，求DE的長．
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：如圖3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的長．

圖1??????????????????????????????圖2????????????????????????????圖3


















40．（2021春·陜西西安·八年級西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?）如圖①，點(diǎn)P為直線l上一個動點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線l外同側(cè)的兩個定點(diǎn)，連接PA，PB，AB．若AB＝2，則PA﹣PB的最大值為　 ?。?br /> （2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，對角線AC⊥BD，垂足為點(diǎn)O，OA＝2OC，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝3AF，點(diǎn)P為BD上一動點(diǎn)，連接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值．
（3）如圖③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，點(diǎn)P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，連接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值．

















41．（2021春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD．垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）解決問題：已知AB＝5．BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接DE，求DE的長；
②如圖3．當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，連接GH．若GH＝2，則S△ABC＝　?。?br />
















42．（2021春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知點(diǎn)B（0，9），點(diǎn)C為x軸上一動點(diǎn)，連接BC，△ODC和△EBC都是等邊三角形．

（1）求證：DE＝BO；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時．
①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②如圖3，點(diǎn)M是線段BC上的動點(diǎn)（點(diǎn)B，點(diǎn)C除外），過點(diǎn)M作MG⊥BE于點(diǎn)G，MH⊥CE于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，MH+MG的值是否發(fā)生變化？若不會變化，直接寫出MH+MG的值；若會變化，簡要說明理由．















43．（2021春·山東青島·八年級膠州市初級實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，在RtABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），作∠DPQ=60°，邊PQ交射線DC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段PD= ；PQ= ；CD= ．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，求t的值；
（3）當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過ABC一邊中點(diǎn)時，直接寫出t的值．




44．（2022春·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，兩個全等的等邊三角形△ABC與△ACD，拼成的四邊形ABCD中，AC＝6，點(diǎn)E、F分別為AB、AD邊上的動點(diǎn)，滿足BE＝AF，連接EF交AC于點(diǎn)G，連接BD與CE、AC、CF分別交于點(diǎn)M、O、N，且AC⊥BD．
（1）求證：△CEF是等邊三角形．
（2）△AEF的周長最小值是 　 ?。?br /> （3）若BE＝3，求證：BM＝MN＝DN．






45．（2021秋·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)校考期中）【初步探究】
（1）如圖1，在四邊形中，，E是邊上一點(diǎn)，，連接．請判斷的形狀，并說明理由．
【問題解決】
（2）若設(shè)，試?yán)脠D1驗(yàn)證勾股定理．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若為等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

















46．（2022秋·全國·八年級期中）已知，在△ABC中，AB=AC，
（1）如圖1，若，且點(diǎn)D在CA的延長線上時，求證：；
（2）如圖2，若，試判斷AD，BD，CD之間的等量關(guān)系，并說明理由
（3）如圖3，若BD=5，求CD的長．














47．（2022秋·北京海淀·八年級校考期中）若△ABC和△ADE均為等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠ABC和∠ADE互余時，稱△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．

（1）如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．
①若連接BD，CE，判斷△ABD與△ACE是否互為“底余等腰三角形”：_______ （填“是”或“否”） ；
②當(dāng)∠BAC＝90°時，若△ADE的“余高”AH＝，則DE＝_______；
③當(dāng)0°＜∠BAC＜180°時，判斷DE與AH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．
①畫出△OAB與△OCD，使它們互為“底余等腰三角形”；
②若△OCD的“余高”長為a，則點(diǎn)A到BC的距離為_______（用含a的式子表示）．












48．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┰诰匦蜛BCD（）中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在DC延長線上，連接BE、BF，且．

(1)如圖1，求證，，
(2)如圖2，當(dāng)E是AD中點(diǎn)時，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)E作交CD于點(diǎn)G，若，求線段DG的長．


















49．（2022春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）[特例感知]如圖1，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)G．

（1）易證，可知、的關(guān)系為___________________；
（2）連接，若，求的長．
[初步探究]如圖2，在正方形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，分別交、于F、G，垂足為O．求證：．
[基本應(yīng)用]如圖3，將邊長為6的正方形折疊，使得點(diǎn)A落在邊的中點(diǎn)M處，折痕為，點(diǎn)P、Q分別在邊、上，請直接寫出折痕的長：________．
[應(yīng)用拓展]如圖4，在四邊形中，，，，，于E，交于F，則長為________．














50．（2022春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，為正方形的邊上一動點(diǎn)（與、不重合），點(diǎn)在邊上，且，連接、交于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)當(dāng)運(yùn)動到中點(diǎn)處時（如圖2），連接，請你判斷線段與之間的關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交、于點(diǎn)、，若，求的長度．



51．（2022春·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）（1）在菱形ABCD中 ，∠A=60 °，AD=4??
①如圖1，點(diǎn)E ，點(diǎn)F分別是AB ，BC中點(diǎn) ，求證：△AED≌△BFD；
②如圖2，∠EDF=60? ，點(diǎn)E ，點(diǎn)F分別在邊AB ，邊BC上 ，求四邊形EDFB的面積；
（2）如圖3，在菱形ABCD中 ，∠A=∠EDF=45? ，點(diǎn)E ，點(diǎn)F分別在邊AB ，邊BC上 ，AD=4，求四邊形EDFB的面積．





52．（2022秋·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC．

（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）如圖2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，延長DE交BC于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F是BC中點(diǎn)；
（3）△ABC為等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，∠APB=120°，AP=2，BP=4，請直接寫出 CP的長．
















53．（2021春·福建莆田·八年級福建省莆田市中山中學(xué)?？计谥校┩瑢W(xué)們學(xué)過正方形與等腰三角形發(fā)現(xiàn)它們都是軸對稱圖形，它們之間有很多相似，在正邊形中，E是對角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），以、為鄰邊作平行四邊形，交于點(diǎn)M，連接．

(1)如圖1，當(dāng)時，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，連接并延長交于點(diǎn)H．
求證：；
(2)在中，，．過點(diǎn)A作直線，點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接，直線交直線于點(diǎn)E．如圖2，
①依題意補(bǔ)全圖形；
②請用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．











54．（2022春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)A停止，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是每秒1個單位，連接PQ、AQ、CP，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t秒．
（1）當(dāng)t＝　 　時，四邊形ABQP是矩形；
（2）當(dāng)t＝6時，判斷四邊形AQCP的形狀，并說明理由；
（3）直接寫出以PQ為對角線的正方形面積為96時t的值；
（4）整個運(yùn)動當(dāng)中，線段PQ掃過的面積是 　 　．






55．（2021秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？计谥校┧倪呅沃?，，連接．
（1）如圖1，若平分，求證：．
（2）如圖2，若，，求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長度．




56．（2021秋·浙江溫州·八年級溫州市第十四中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在Rt中，，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)．延長至點(diǎn)，在右側(cè)作，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖 2，點(diǎn)在射線上，且平分，連結(jié)．
①求證：；
②當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，則 ．(直接寫出答案，結(jié)果保留根號)．


















57．（2022春·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，動點(diǎn)P從B出發(fā)沿射線BC方向移動，作△PAB關(guān)于直線PA的對稱△PAB′．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時，直線PB′與CD相交于點(diǎn)M，連接AM，若∠PAM=45°，請直接寫出∠B′AM和∠DAM的數(shù)量關(guān)系；
（2）在（1）的條件下，請求出此時a的值：
（3）當(dāng)a=8時，
①如圖3，當(dāng)點(diǎn)B′落在AC上時，請求出此時PB的長；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，請直接寫出△PCB′是直角三角形時PB的長度．














58．（2021春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十九中學(xué)校?？计谥校┮阎赫叫沃校菍蔷€所在直線上一點(diǎn)．

（1）如圖1，若在對角線上，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若，，求的長；
（3）如圖3，若在的延長線上，連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，若，的面積是，求的長．
















59．（2022春·廣東廣州·八年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．
（1）探究PG與PC的位置關(guān)系及的值；（寫出結(jié)論，不需要證明）
（2）如圖2，將原問題中的正方形ABCD和正方形BEFC換成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及的值．寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，將圖2中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)．使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，問題（2）中的其他條件不變，你在（2）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．




60．（2021春·北京·八年級期中）如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動；點(diǎn)從點(diǎn)同時出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動．規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動的時間為ts．
（1）邊的長度為________，的取值范圍為________．
（2）從運(yùn)動開始，當(dāng)________時，．
（3）在整個運(yùn)動過程中是否存在值，使得四邊形是菱形．若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．



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