章末復(fù)習(xí)【知識(shí)與技能】1.一元二次方程的相關(guān)概念.2.靈活運(yùn)用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.能運(yùn)用一元二次方程的根的判別式判定方程的根的情況.4.能簡(jiǎn)單運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問題.5.構(gòu)造一元二次方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.【過程與方法】通過靈活運(yùn)用解方程的方法，體會(huì)幾種解法之間的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)一步熟練根據(jù)方程特征找出最優(yōu)解法.【情感態(tài)度】通過實(shí)際問題的解決，進(jìn)一步熟練運(yùn)用方程解決實(shí)際問題，體會(huì)方程思想在解決問題中的作用.【教學(xué)重點(diǎn)】運(yùn)用知識(shí)、技能解決問題.【教學(xué)難點(diǎn)】解題分析能力的提高.一、知識(shí)結(jié)構(gòu)【教學(xué)說(shuō)明】引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識(shí)點(diǎn)，展示本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，使學(xué)生系統(tǒng)地了解本章知識(shí)及之間的關(guān)系.二、釋疑解惑，加深理解1.一元二次方程的概念：如果一個(gè)方程通過移項(xiàng)可以使右邊為0，而左邊是只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知數(shù)且a≠0)，其中a，b，c分別叫作二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).2.直接開平方法：對(duì)于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可用直接開平方法解.直接開平方法的步驟是：把方程變形成（x+n）2=d(d≥0)，然后直接開平方得x+n=d和x+n=-d，分別解這兩個(gè)一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解.3.配方法：通過配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，這種方法稱為配方法.用配方法解一元二次方程的步驟：（1）把方程化為一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常數(shù)項(xiàng)通過移項(xiàng)移到方程的右邊；（3）若方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a；（4）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（5）此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解.4.公式法：求根公式（b2-4ac≥0）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.用公式法解一元二次方程的一般步驟：首先要把原方程化為一般形式，從而正確地確定a，b，c的值；其次要計(jì)算b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，再用求根公式求解.5.因式分解法：利用因式分解來(lái)解一元二次方程的方法叫做因式分解法.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：把方程化成一邊為0，另一邊是兩個(gè)一次因式的乘積的形式，然后使每一個(gè)一次因式等于0，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原一元二次方程的解.6.一元二次方程的根的判別式：我們把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac⑴當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即，.⑵當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根⑶當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根.7.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)Δ≥0時(shí)，一元二次方程的根與系數(shù)之間具有以下關(guān)系：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.即：8.運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問題的步驟：實(shí)際問題→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的檢驗(yàn)→實(shí)際問題的解.【教學(xué)說(shuō)明】通過對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的回顧為本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容做好鋪墊.三、典例精析，復(fù)習(xí)新知1.（1）方程是一元二次方程，則m是多少？分析：首先根據(jù)一元二次方程的定義得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定義中a≠0這一條件得m+1≠0來(lái)求m的值.【答案】 m=3.（2）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m等于（    ）A.1           B.2           C.1或2           D.0分析：首先得出m2-3m+2=0；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定義中a≠0這一條件得m-1≠0來(lái)求m的值.【答案】 B【教學(xué)說(shuō)明】此時(shí)要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0，在討論含字母系數(shù)的一元二次方程問題時(shí)，命題者常利用a≠0設(shè)計(jì)陷阱.2.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/span>分析：方程（1）選用因式分解法；方程（2）選用直接開平方法；方程（3）選用配方法；方程（4）選用公式法.解：（1）x1=0,x2=3;(2)x1=,x2=;(3)x1=11,x2=-9;(4)x1=,x2=-3.3.若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,則x2+y2=_________.分析：用換元法設(shè)x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1對(duì)所求結(jié)果，還要結(jié)合“x2+y2”進(jìn)行取舍，從而得到最后結(jié)果.【答案】 54.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（    ）A.k>-1         B.k>-1且k≠0         C.k<1         D.k<1且k≠0分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+4＞0得k＞-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定義中a≠0這一條件得k≠0.【答案】 B5.某商場(chǎng)將銷售成本為30元的臺(tái)燈以40元的價(jià)格售出，平均每月銷售600個(gè).市場(chǎng)調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，每月平均銷售數(shù)量將減少10個(gè).若銷售利潤(rùn)率不得高于100％，那么銷售這種臺(tái)燈每月要獲利10000元，臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？分析：如果這種臺(tái)燈售價(jià)上漲x元，那么每個(gè)臺(tái)燈獲利(40＋x-30)元，每月平均銷售數(shù)量為(600-10x)個(gè)，銷售利潤(rùn)為(40＋x-30)和(600-10x)的積.用一元二次方程解決實(shí)際問題時(shí)，所求得的結(jié)果往往有兩個(gè)，而實(shí)際問題的答案常常是一個(gè)，這就需要我們仔細(xì)審題，看清題目的要求，進(jìn)而作出正確的選擇.解：設(shè)這種臺(tái)燈的售價(jià)上漲x元，根據(jù)題意，得(40＋x-30)(600-10x)=10000.即x2-50x+400=0.解得x1=10，x2=40.所以每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為50元或80元.當(dāng)臺(tái)燈售價(jià)定為80元時(shí)，銷售利潤(rùn)率為，不符合要求；當(dāng)臺(tái)燈售價(jià)定為50元時(shí)，銷售利潤(rùn)率為，符合要求.答：每個(gè)臺(tái)燈售價(jià)應(yīng)是50元.6.如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)矩形的花壇，花壇長(zhǎng)60m，寬40m，有兩條縱向甬道和一條橫向甬道，橫向甬道的兩側(cè)有兩個(gè)半圓環(huán)形甬道，半圓環(huán)形甬道的內(nèi)半圓的半徑為10m，橫向甬道的寬度是其它各甬道寬度的2倍.設(shè)橫向甬道的寬為2x m.(π的值取3)(1)用含x的式子表示兩個(gè)半圓環(huán)形甬道的面積之和；(2)當(dāng)所有甬道的面積之和比矩形面積的15多36m2時(shí)，求x的值.解：（1）兩個(gè)半圓環(huán)形甬道的面積=π（10+x）2-π×102=3x2+60x（m2）；（2）依題意，得40×x×2+60×2x-2x2×2+3x2+60x=×60×40+36，整理，得x2-260x+516=0，解得x1=2，x2=258（不符合題意，舍去），∴x=2；答：x的值為2.【教學(xué)說(shuō)明】列方程解應(yīng)用題注重考查了能力問題，表面文字比較復(fù)雜,但認(rèn)真閱讀，抓住實(shí)質(zhì)，問題就迎刃而解了.四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高1.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情況為（    ）Ａ.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Ｂ.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Ｃ.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根Ｄ.沒有實(shí)數(shù)根分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=8【答案】 B2.關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一個(gè)根為0，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A.-1           B.0           C.1           D.-1或1分析：把x=0代入方程得：|a|-1=0，∴a=±1.∵a-1≠0，∴a=-1.故選A.【答案】 A3.已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的兩實(shí)根的平方和等于11，則k的值為________.分析：設(shè)方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的兩根為x1，x2，得【答案】 14.若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_____________.分析：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根，∴Δ=4-4a≥0，解之得a≤1.【答案】 a≤15.若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x1=3x2，試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值.分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出等式，再由已知條件x1=3x2聯(lián)立組成方程組，解方程組即可.解:由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=4①，x1·x2=k-3②又∵x1=3x2③，聯(lián)立①、③，解方程組得.∴k=x1x2+3=3×1+3=6.方程兩根為x1=3,x2=1;k=6.6.某汽車銷售公司6月份銷售某廠家汽車，在一定范圍內(nèi)，每輛汽車的進(jìn)價(jià)與銷售量有如下關(guān)系，若當(dāng)月僅售出1輛汽車，則該汽車的進(jìn)價(jià)為27萬(wàn)元；每多售出1輛，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元/輛，月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10輛以內(nèi)（含10輛），每輛返利0.5萬(wàn)元，銷售量在10輛以上，每輛返利1萬(wàn).（1）若該公司當(dāng)月售出3輛汽車，則每輛汽車的進(jìn)價(jià)為_______萬(wàn)元；（2）如果汽車的售價(jià)為28萬(wàn)元/輛，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元，那么需要售出多少輛汽車？（盈利=銷售利潤(rùn)+返利）分析：用銷售數(shù)量表示出每輛的進(jìn)價(jià)、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.解：（1）27-（3-1）×0.1=26.8.（2）設(shè)銷售汽車x輛，則汽車的進(jìn)價(jià)為27-（x-1）×0.1=（27.1-0.1x）萬(wàn)元，若x≤10,則（28-27.1+0.1x）x+0.5x=12解得x1=6,x2=-20(不合題意，舍去)若x>10,則（28-27.1+0.1x）x+x=12解得x3=5(與x>10矛盾，舍去),x4=-24(不合題意，舍去)答：公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元，需要售出6輛汽車.7.如圖①，要設(shè)計(jì)一幅寬20cm，長(zhǎng)60cm的長(zhǎng)方形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為4∶3，如果要使所有彩條所占面積為原長(zhǎng)方形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？分析：由橫、豎彩條的寬度比為4∶3，可設(shè)每個(gè)橫彩條的寬為4x，則每個(gè)豎彩條的寬為3x.為更好地尋找題目中的等量關(guān)系，將橫、豎彩條分別集中，原問題轉(zhuǎn)化為如圖②的情況，得到長(zhǎng)方形ABCD.(1)結(jié)合以上分析完成填空：如圖②，用含x的代數(shù)式表示：AB=______cm；AD=______cm；長(zhǎng)方形ABCD的面積為______cm2；(2)列出方程并完成本題解答.分析：（1）一條豎紋寬度為3x，長(zhǎng)方形寬減去兩條豎紋寬度，即為AB長(zhǎng)度，同理，長(zhǎng)方形長(zhǎng)減去兩條橫紋寬度，即為AD長(zhǎng)度；長(zhǎng)方形面積為20×60×（1-）=800；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)所有彩條所占面積為原長(zhǎng)方形圖案面積的三分之一列方程求解即可.解：（1）由題意得，AB=（20-6x）cm，AD=（60-8x）cm，長(zhǎng)方形面積為60×20×（1-）=800cm2.（2）由題意列方程得（20-6x）（60-8x）=×1200，解得，x1=，x2=10（舍去）.答：每個(gè)橫彩紋的寬度為cm，每個(gè)豎彩紋寬度為cm.五、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高1、回顧整理今日收獲.2、你還有哪些困惑和疑問？布置作業(yè)：教材“復(fù)習(xí)題2”中第3、4、5、11、12題.通過畫知識(shí)框圖，完成對(duì)一元二次方程的知識(shí)點(diǎn)的梳理，建構(gòu)知識(shí)體系；讓學(xué)生對(duì)典型例題、自身錯(cuò)題進(jìn)行整理，從而使學(xué)生抓住本章的重點(diǎn)、突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

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