?第2章　一元二次方程
2.2　一元二次方程的解法
2.2.1　配方法
第1課時　直接開平方法
教學目標
1.會利用直接開平方法解形如的方程.
2.初步了解形如方程的解法.
3.能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結果的合理性.
4.通過解方程及實例的探究過程，體會類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學思想方法.
教學重難點
重點：會把一元二次方程降次轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.
難點：運用直接開平方法解形如或p(p≥0)的方程.
教學過程
導入新課
問題情境1 如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始，沿AB邊向點A以1的速度移動，點從點B開始，沿BC邊向點C以2的速度移動，如果AB＝6，BC＝12，P，都從B點同時出發(fā)，幾秒后△PB的面積等于8？

【師生活動】教師出示問題，學生獨立思考后，小組進行交流，小組代表匯報展示，教師做出點評.在求解方程時學生存在困難，教師可提出如下問題.
【教師追問】什么是平方根？
【師生活動】學生根據(jù)教師提出的問題獨立思考后進行回答.根據(jù)平方根的意義，教師引導學生求出方程的解.
【解】設s后△PBQ的面積等于8,則PB＝，B＝2，依題意，得，即=8.根據(jù)平方根的意義，得=,即=,＝-,可以驗證x1＝，x2＝-都是方程的根，但移動時間不能為負值，所以s后△PBQ的面積等于8.
探究新知
解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.
(1)x2＝4；(2)x2＝0；(3)x2+1＝0.
【師生活動】教師先引導學生判定上面方程是一元二次方程，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項各是多少，再根據(jù)平方根的意義解方程.
【教師提示】一元二次方程的解：使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫作一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
【解】(1)根據(jù)平方根的意義，得x1=2,x2=-2.
(2)根據(jù)平方根的意義，得x1=x2=0.
(3)根據(jù)平方根的意義，得x2=-1.不存在滿足條件的x.
【教師追問1】類似地，你能給出下列方程的解嗎？

【教師追問2】上述方程有什么共同點？你能歸納一下這類方程的解的情況嗎？
【師生活動】學生口答解方程過程，歸納出一般形式，并根據(jù)的取值范圍得到方程的解的三種情況.教師板書.
【歸納總結】一般地，對于方程,
(1)當時，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)當時，方程有兩個相等的實數(shù)根.
(3)當時,因為任何實數(shù)，都有，所以方程無實數(shù)根.
新知應用
例1　利用直接開平方法解下列方程:
(1)x2＝25；(2)x2-900＝0.
【師生活動】學生獨立思考后，選兩名學生口答解答過程，然后師生一起進行評價.
【解】(1)，
直接開平方，得，
.
(2)移項，得，
直接開平方，得，
.
例2　對照例1中解方程的方法，你認為怎樣解方程？
【師生活動】學生獨立思考，并給出解法.不難想到，這一類方程與沒有實質(zhì)差異，也可以根據(jù)平方根的意義，直接開平方求解.教師可引導學生將解方程的過程敘述為：對方程兩邊開平方，將它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，或，可得.
【教師追問】結合例1、例2思考，具備什么形式的方程才能用直接開平方法求解以及直接開平方法的步驟.
【師生活動】學生先自己進行歸納總結，同桌之間進行交流，發(fā)表意見.教師板書.
【歸納總結】具備或者形式的一元二次方程可以根據(jù)平方根的意義進行直接開平方計算，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣就把方程轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了.
直接開平方法解一元二次方程的一般步驟：先將一元二次方程化為左邊是含有未知數(shù)的一個完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，然后用平方根的概念直接求解.
例3　解下列方程：

【師生活動】先讓學生獨立解決，選三名學生板演解方程過程，并進行評價，給出規(guī)范格式，完成例題.
【解】(1)∵是7的平方根，
∴ ，
∴ .
(2)∵是16的平方根，
∴ ，
即或，
∴ ，.
(3)移項，得，
兩邊都除以2，得.
∵ 是9的平方根，
∴ .
即或，
∴ .
【教師追問】利用直接開平方法應該注意什么問題？
【師生活動】教師組織小組同學交流解此類方程注意的問題，然后總結歸納，教師做出點評.
【歸納總結】1.采用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的意義，直接開平方法只適用于能轉(zhuǎn)化為或形式的方程，可得方程的根為或.
2.利用直接開平方法解一元二次方程時，只有當p為非負常數(shù)時，方程才有解，并且要注意開方的結果有“正、負”兩種情況.
課堂練習
1.下列方程可用直接開平方法求解的是( )
A. B.
C. D.
2.對形如的方程，下列說法正確的是( )
A.直接開平方得
B.直接開平方得
C.當時，直接開平方得
D.當時，直接開平方得
3.若，則＝ _________.
4.關于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是___________.
5.用直接開平方法解一元二次方程.
小明的解答如下：
移項，得.①
直接開平方，得.②
小明的解答有無錯誤？若有，錯在第_________步，原因是_________，寫出正確的解答過程.
參考答案
1.A
2.C
3.7
4.
5.②
解：移項，得，
直接開平方，得，
所以.
課堂小結


布置作業(yè)
教材第31頁練習.
板書設計
第1課時　直接開平方法
1.一般地，對于方程,
(1)當時，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)當時，方程有兩個相等的實數(shù)根.
(3)當時,因為任何實數(shù)，都有，所以方程無實數(shù)根.
2.采用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的意義，直接開平方法只適用于能轉(zhuǎn)化為或的形式的方程，可得方程的根為或.
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2.2 一元二次方程的解法

版本： 湘教版

年級： 九年級上冊

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