第3課時 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用【知識與技能】1.會求反比例函數(shù)的表達式；2.綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解決有關問題；3.借助一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象解決某些簡單的實際問題．【過程與方法】經(jīng)歷觀察、分析、交流的過程，逐步提高運用知識的能力.【情感態(tài)度】能靈活運用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題，培養(yǎng)學生看圖（象）、識圖（象）能力、體會用“數(shù)、形”結(jié)合思想解答函數(shù)題.【教學重點】1.會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式；2.理解并掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能利用它們解決一些綜合問題.【教學難點】學會從圖象上分析、解決問題，理解反比例函數(shù)的性質(zhì).一、情境導入，初步認識1.正比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？2.一次函數(shù)有哪些性質(zhì)？3.反比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？4.我們學會了根據(jù)函數(shù)表達式畫函數(shù)圖象，那么你能根據(jù)一些條件求反比例函數(shù)的表達式嗎？【教學說明】對所學的三種函數(shù)的性質(zhì)教學復習，讓學生對它們的性質(zhì)有系統(tǒng)的了解.二、思考探究，獲取新知1.思考：已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（2,4）（1）求k的值，并寫出該函數(shù)的表達式；（2）判斷點A（-2，-4），B(3，5)是否在這個函數(shù)的圖象上；（3）這個函數(shù)的圖象位于哪些象限？在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大如何變化？分析： (1)題中已知圖象經(jīng)過點P（2，4），即表明把P點坐標代入解析式成立，這樣能求出k，解析式也就確定了.(2)要判斷A、B是否在這條函數(shù)圖象上，就是把A、B的坐標代入函數(shù)解析式中，如能使解析式成立，則這個點就在函數(shù)圖象上.否則不在.(3)根據(jù)k的正負性，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來判定函數(shù)圖象所在的象限、y隨x的值的變化情況.【歸納結(jié)論】這種求解析式的方法叫做待定系數(shù)法求解析式.2.已知一個正比例函數(shù)與一個反比例函數(shù)的圖象交于P（-3,4），試求出它們的表達式，并在同一坐標系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象.解：設正比例函數(shù)，反比例函數(shù)的表達式分別為y=k1x，，其中，k1，k2是常數(shù)，且均不為0.由于這兩個函數(shù)的圖象交于P（-3,4），則P（-3,4）是這兩個函數(shù)圖象上的點，即點P的坐標分別滿足這兩個表達式.因此，解得，所以，正比例函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為.函數(shù)圖象如下圖.【教學說明】通過圖象，讓學生掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用.3.在反比例函數(shù)的圖象上取兩點P（1，6），Q（6，1），過點P分別作x軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1=_______；過點Q分別作x軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S2=_______；S1與S2有什么關系？為什么？【歸納結(jié)論】反比例函數(shù)（k≠0）中比例系數(shù)k的幾何意義：過雙曲線（k≠0）上任意一點引x軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為k的絕對值.【教學說明】引導學生根據(jù)一定的分類標準研究反比例函數(shù)的性質(zhì)，同時鼓勵學生用自己的語言進行表述，從而提高學生的表達能力與數(shù)學語言的組織能力．三、運用新知，深化理解1.已知如圖，A是反比例函數(shù)的圖象上的一點，AB丄x軸于點B，且△ABO的面積是3，則k的值是（    ）A.3           B.-3           C.6           D.-6分析：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S＝．解：根據(jù)題意可知：S△AOB＝＝3，又反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，k＞0，則k＝6．【答案】 C2.反比例函數(shù)與在第一象限的圖象如圖所示，作一條平行于x軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為（     ）A.           B.2           C.3           D.1分析：分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、E，過B作BC⊥y軸，點C為垂足，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義分別求出四邊形OEAC、△AOE、△BOC的面積，進而可得出結(jié)論．解：分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、E，過B作BC⊥y軸，點C為垂足，∵由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知，S四邊形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=1，∴S△AOB=S四邊形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2．【答案】 B3.已知點P(2，2)在反比例函數(shù) (k≠0)的圖象上，(1)當x=-3時，求y的值；(2)當1＜x＜3時，求y的取值范圍．解： （1）∵點P（2，2）在反比例函數(shù)的圖象上，∴2=，即k=4，∴反比例函數(shù)的解析式為．∴當x=-3時，y=．（2）∵當x=1時，y=4；當x=3時，y=，又反比例函數(shù)在x＞0時y值隨x值的增大而減小，∴當1＜x＜3時，y的取值范圍為＜y＜4．4.已知直線y＝x＋b經(jīng)過點A(3,0)，并與雙曲線的交點為B(-2，m)和C，求k、b的值．解：點A(3,0)在直線y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝-3．一次函數(shù)的解析式為：y＝x-3．又因為點B(-2，m)也在直線y＝x-3上，所以m＝-2-3＝-5，即B(-2,-5)．而點B(-2,-5)又在反比例函數(shù)上，所以k＝-2×(-5)＝10．5.已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝k2x-1的圖象交于A(2,1)．(1)分別求出這兩個函數(shù)的解析式；(2)試判斷A點關于坐標原點的對稱點與兩個函數(shù)圖象的關系．分析: (1)因為點A在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，把A點的坐標代入這兩個解析式即可求出k1、k2的值．(2)把點A關于坐標原點的對稱點A′坐標代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中，可知A′是否在這兩個函數(shù)圖象上．解：(1)因為點A(2,1)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，所以k1＝2×1＝2．1＝2k2-1，k2＝1．所以反比例函數(shù)的解析式為：；一次函數(shù)解析式為：y＝x-1．(2)點A(2,1)關于坐標原點的對稱點是A′(-2,-1)．把A′點的橫坐標代入反比例函數(shù)解析式得，，所以點A在反比例函數(shù)圖象上．把A′點的橫坐標代入一次函數(shù)解析式得，y＝-2-1＝-3，所以點A′不在一次函數(shù)圖象上．6.如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點．(1)利用圖象中的條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍．分析: (1)把A、B兩點坐標代入兩解析式，即可求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式．(2)因為圖象上每一點的縱坐標與函數(shù)值是相對應的，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，反映在圖象上，自變量取相同的值時，一次函數(shù)圖象上點的縱坐標大于反比例函數(shù)圖象上點的縱坐標．解∶(1)觀察圖象可知，反比例函數(shù)的圖象過點A(-2,1)，m＝-2×1＝-2．所以反比例函數(shù)的解析式為：．又點B(1,a)也在反比例函數(shù)圖象上，a=．即B(1,-2)．因為一次函數(shù)圖象過點A、B．所以解得，一次函數(shù)解析式為：y＝-x-1．(2)觀察圖象可知，當x＜-2或0＜x＜1時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值.【教學說明】檢測題采取多種形式呈現(xiàn)，增加了靈活性，以基礎題為主，也有少量綜合問題，可使不同層次水平的學生均有機會獲得成功的體驗．四、師生互動，課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補充.布置作業(yè)：教材“習題1.2”中第6題.教學中，我深深地體會到：要想讓學生真正掌握求函數(shù)解析式的方法，教師應在給出相應的典型例題的條件下，讓學生自己去尋找答案，自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律.最后，教師清楚地向?qū)W生總結(jié)每一種函數(shù)解析式的適用范圍，以及一般應告知的條件.在信息社會飛速發(fā)展的今天，教師要從以前的教師教、學生學的觀念中解放出來，教會學生如何學，讓學生自己去探究，自己去學習，去獲取知識.在《中學數(shù)學課程標準》中明確規(guī)定：教師不僅是學生的引導者，也是學生的合作者.教學中，要讓學生通過自主討論、交流，來探究學習中碰到的問題、難題，教師從中點撥、引導，并和學生一起學習，探討，才能真正做到教學相長，也才能真正讓每一個學生都學有所獲.

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1.1 反比例函數(shù)

版本： 湘教版

年級： 九年級上冊

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