4.3.1　等比數列的概念
第2課時　等比數列的性質及應用
等比數列與指數函數的關系
想一想：通項公式為an＝kqn(kq≠0)的數列{an}是等比數列嗎？
已知等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則
(3)當q＝1時，等比數列{an}為_________(這個常數列中各項均不等于0)；(4)當q0，d0，q>0時，an＝a1qn－1>0，故an>0；(2)當a10時，an＝a1qn－10，b≠1)是等差數列．
【對點訓練】?(1)在等比數列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝_____；(2)數列{an}為等比數列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，則a11＝________；(3)若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_____．
(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，則2S＝(ln a1＋ln a20)＋(ln a2＋ln a19)＋…＋(ln a20＋ln a1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50.
[分析]　建立等比數列模型?運用等比數列的性質求解．
[規(guī)律方法]　關于等比數列在應用問題中的應用首先根據題意判斷是否是等比數列模型，其次分析等比數列的首項、公比、項數，最后利用等比數列的通項公式計算解題．
(2)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(　　)(參考數據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A．2018年　　B．2019年C．2020年　　D．2021年
　已知四個數前三個成等差數列，后三個成等比數列，中間兩數之積為16，首尾兩個數之積為－128，求這四個數．[分析]　求四個數，給出四個條件，若列四個方程組成方程組雖可解，但較麻煩，因此可依據條件減少未知數的個數．設未知數時，可以根據前三個數成等差數列來設，也可以依據后三個數成等比數列來設，還可以依據中間(或首尾)兩數之積來設，關鍵是要把握住未知量要盡量少，下一步運算要簡捷．
【對點訓練】?(1)有四個數成等比數列，將這四個數分別減去1，1，4，13，則成等差數列，則這四個數為_______________．(2)三個互不相等的數成等差數列，如果適當排列三個數，又可成為等比數列，這三個數的和為6，則這三個數為____________.[分析]　(1)四個數成等比數列，可用第一個數與公比q表示各數，然后按所給條件列方程組求解．(2)三個數適當排列，不同的排列方法有6種，但這里不必分成6種，因為若以三個數中哪一個數為等比中項分類，則只有三種情況，因此對于分類討論問題，恰當的分類是解決問題的關鍵．
(2)由已知，可設這三個數為a－d，a，a＋d，則a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，這三個數可表示為2－d，2，2＋d，①若2－d為等比中項，則有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此時三個數為－4，2，8.②若2＋d是等比中項，則有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此時三個數為8，2，－4.③若2為等比中項，則22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．綜上可知此三數為－4，2，8.
忽略等比數列中的項的符號致錯在等比數列{an}中，a3a4a6a7＝81，則a1a9的值為(　　)A．9　　B．－9C．±9　　D．18[錯解]　∵a3a7＝a4a6＝a1a9，∴(a1a9)2＝81，∴a1a9＝±9，故選C．[誤區(qū)警示]　本題易忽略在等比數列中，奇數項(或偶數項)符號相同這一條件，而得到a1a9＝±9.
[正解]　因為{an}為等比數列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.因為在等比數列{an}中，奇數項(或偶數項)的符號相同，所以a1，a9同號，所以a1a9＝9.
1．已知{an}，{bn}都是等比數列，那么(　　)A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比數列B．{an＋bn}一定是等比數列，但{an·bn}不一定是等比數列C．{an＋bn}不一定是等比數列，但{an·bn}一定是等比數列D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比數列[解析]　當兩個數列都是等比數列時，這兩個數列的和不一定是等比數列，比如取兩個數列是互為相反數的數列，兩者的和就不是等比數列．兩個等比數列的積一定是等比數列．
3．已知{an}是等比數列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝(　　)A．5　　B．10C．15　　D．20
4．已知等比數列{an}中，a4＝7，a6＝21，則a12＝______．
5．已知三個數成等比數列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數．

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4.3 等比數列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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