《幾何圖形初步》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．認(rèn)識(shí)一些簡(jiǎn)單的幾何體的平面展開圖及三視圖，初步培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀；2．掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質(zhì)、表示方法和畫法；3．初步學(xué)會(huì)應(yīng)用圖形與幾何的知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；4．逐步掌握學(xué)過的幾何圖形的表示方法，能根據(jù)語(yǔ)句畫出相應(yīng)的圖形，會(huì)用語(yǔ)句描述簡(jiǎn)單的圖形．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】                         【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、多姿多彩的圖形1． 幾何圖形的分類    要點(diǎn)詮釋：在給幾何體分類時(shí)，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類結(jié)果.2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化（1）立體圖形的平面展開圖：把立體圖形按一定的方式展開就會(huì)得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進(jìn)行折疊就會(huì)得到相應(yīng)的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)．要點(diǎn)詮釋：①對(duì)一些常見立體圖形的展開圖要非常熟悉，例如正方體的 11種展開圖，三棱柱，圓柱等的展開圖；②不同的幾何體展成不同的平面圖形，同一幾何體沿不同的棱剪開，可得到不同的平面圖形，那么排除障礙的方法就是：聯(lián)系實(shí)物，展開想象，建立“模型”，整體構(gòu)想，動(dòng)手實(shí)踐.（2）從不同方向看：主（正）視圖---------從正面看幾何體的三視圖   左視圖-----從左（右）邊看俯視圖---------------從上面看要點(diǎn)詮釋：①會(huì)判斷簡(jiǎn)單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖.②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?（3）幾何體的構(gòu)成元素及關(guān)系幾何體是由點(diǎn)、線 、面構(gòu)成的.點(diǎn)動(dòng)成線，線與線相交成點(diǎn)；線動(dòng)成面，面與面相交成線；面動(dòng)成體，體是由面組成.要點(diǎn)二、直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2. 基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線． (2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．要點(diǎn)詮釋：①本知識(shí)點(diǎn)可用來(lái)解釋很多生活中的現(xiàn)象. 如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)間的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：    4．線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較：   比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。   （3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：  要點(diǎn)詮釋：①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn).要點(diǎn)三、角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：要點(diǎn)詮釋：①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義；②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來(lái)表示.（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.要點(diǎn)詮釋：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°   （5）畫一個(gè)角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個(gè)角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法: ①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.    3．角的互余互補(bǔ)關(guān)系                   余角補(bǔ)角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.（3）結(jié)論: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.要點(diǎn)詮釋：①余角(或補(bǔ)角)是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱其為余角(或補(bǔ)角).②一個(gè)角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無(wú)關(guān)．④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角” .4．方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點(diǎn)詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測(cè)繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.【典型例題】類型一、概念或性質(zhì)的理解1.下列說(shuō)法正確的是(  )A.射線AB與射線BA表示同一條射線.    B.連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)之間的距離.C.平角是一條直線.                 D.若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,則∠2=∠3.【答案】D【解析】選項(xiàng)A中端點(diǎn)和延伸方向不同，所以是兩條射線；選項(xiàng)B中兩點(diǎn)之間的距離是指線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)值，而不是圖形；C中角和直線是兩種不同的概念，不能混淆.【總結(jié)升華】理解概念，掌握概念與概念的本質(zhì)區(qū)別，并進(jìn)行“比較”性分析和記憶．舉一反三：【變式】下列結(jié)論中，不正確的是  （     ）.A．兩點(diǎn)確定一條直線        B．兩點(diǎn)之間，直線最短C．等角的余角相等          D．等角的補(bǔ)角相等【答案】B類型二、立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化2．（2015?泰州）一個(gè)幾何體的表面展開圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（　?。?/span>A．四棱錐 B．四棱柱 C．三棱錐 D．三棱柱【答案】A．  【總結(jié)升華】此題主要考查了幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的平面展開圖的特征是解決此類問題的關(guān)鍵． 舉一反三：【變式】下面形狀的四張紙板，按圖所示的線經(jīng)過折疊可以圍成一個(gè)直三棱柱的是(    )．【答案】C     3.如圖所示幾何體的主視圖是    (    )【答案】A【解析】從正面看球位于桌面右方，故選A．【總結(jié)升華】從正面看所得到的圖形是主視圖，先得到球體的主視圖，再得到長(zhǎng)方體的主視圖，再根據(jù)球體在長(zhǎng)方體的右邊可得出答案．類型三、互余互補(bǔ)的有關(guān)計(jì)算4.（2016春?曹縣校級(jí)月考）一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的2倍還多40°，求這個(gè)角的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】這類題目要先設(shè)出這個(gè)角的度數(shù)．設(shè)這個(gè)角為x°，分別寫出它的余角和補(bǔ)角，根據(jù)題意寫出等量關(guān)系，解之即可得到這個(gè)角的度數(shù)．【答案與解析】解：設(shè)這個(gè)角為x°，則其余角為（90﹣x）°，補(bǔ)角為（180﹣x）°，依題意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：這個(gè)角的度數(shù)是40°．【總結(jié)升華】本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，列出方程是解題的關(guān)鍵． 舉一反三：【變式】（2015?東莞模擬）一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的一半小40°，則這個(gè)角為　  　度．【答案】80．解：設(shè)這個(gè)角為x，則它的余角為（90°﹣x），補(bǔ)角為（180°﹣x），由題意得，（180°﹣x）﹣（90°﹣x）=40°，解得x=80°．類型四、方位角5.如圖，射線OA的方向是:________； 射線OB的方向是:_________；射線OC的方向是:________ .【思路點(diǎn)撥】OA表示的方向是北偏東，再加上其偏轉(zhuǎn)的角度即可，同理OB、OC也是如此．【答案】北偏東15°；北偏西40°；南偏東45°．【解析】根據(jù)方位角的定義解答．【總結(jié)升華】熟知方位角的定義結(jié)合圖形便可解答．類型五、鐘表上的角6.鐘表分針的運(yùn)動(dòng)可看作是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，一只標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘的分針勻速旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過15分鐘旋轉(zhuǎn)了________度．【答案】90【解析】根據(jù)鐘表的特征；整個(gè)鐘面是360°，分針每5分鐘旋轉(zhuǎn)30°，所以經(jīng)過15分鐘旋轉(zhuǎn)了90°．【總結(jié)升華】在鐘表問題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：時(shí)鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一分鐘時(shí)的度數(shù)為6°，時(shí)針一分鐘轉(zhuǎn)過的度數(shù)為0.5°；兩個(gè)相鄰數(shù)字間的夾角為30°，每個(gè)小格夾角為6°，并且利用起點(diǎn)時(shí)間時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形．類型六、利用數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)線段或角的計(jì)算1.方程的思想方法7. 如圖所示，在射線OF上，順次取A、B、C、D四點(diǎn)，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，已知AD＝90cm，求MN的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】有關(guān)比例問題，可設(shè)每一份為x，列方程求解，再利用中點(diǎn)定義，找出線段的和、差．【答案與解析】解：設(shè)線段AB，BC，CD的長(zhǎng)分別是2x cm，3x cm，4x cm，∵AB+BC+CD＝AD＝90 cm，∴ 2x+3x+4x＝90，x＝10，∴AB＝20 cm，  BC＝30 cm， CD＝40 cm，∴MN＝MB+BC+CN＝AB+BC+CD＝10+30+20＝60(cm)．【總結(jié)升華】當(dāng)已知某線段被分成的幾條線段的長(zhǎng)度比時(shí)，可根據(jù)比設(shè)未知數(shù)x，用x的式子表示相關(guān)的線段的長(zhǎng)度，列方程求出x的值，進(jìn)而求出線段的長(zhǎng)．舉一反三：【變式】如圖所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度數(shù)．【答案】  解：設(shè)∠AOB的度數(shù)為2x，則∠AOD的度數(shù)為7x．     由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，     可得7x＝2x+100°．     解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．     所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°=60°，         ∠COD＝∠BOD-∠BOC＝100°-60°＝40°．2.分類的思想方法 8.以∠AOB的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)的射線OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．    (1)若∠AOB＝18°，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；    (2)若∠AOB＝m，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)．【答案與解析】解：(1)分兩種情況：①OC在∠AOB的外部，可設(shè)∠AOC＝5x，則∠BOC＝4x得∠AOB＝x，即x＝18°所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°②OC在∠AOB的內(nèi)部，可設(shè)∠AOC=5x，則∠BOC＝4x∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x所以9x＝18°，   則x＝2°所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，則∠AOC＝，∠BOC＝，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m． 【總結(jié)升華】本題中的已知條件沒有明確地說(shuō)明OC在∠AOB的內(nèi)部或外部，所以兩個(gè)問題都必須分類討論．舉一反三：【變式1】已知線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC＝3cm，求線段AC的長(zhǎng)．【答案】解：分兩種情況：  (1)如圖(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；(2)如圖(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)．所以線段AC的長(zhǎng)為5cm或11cm．【變式2】下列判斷正確的個(gè)數(shù)有 (    )    ①已知A、B、C三點(diǎn)，過其中兩點(diǎn)畫直線一共可畫三條    ②過已知任意三點(diǎn)的直線有1條    ③三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)    A．0個(gè)    B．1個(gè)    C．2個(gè)    D．3個(gè)【答案】A3.類比的思想方法9.(1)如圖,線段AD上有兩點(diǎn)B、C,圖中共有______條線段.    (2)如圖，在∠AOD的內(nèi)部有兩條射線OB、OC，則圖中共有            個(gè)角.【答案】（1）6；  （2）6.【解析】（1）以A為端點(diǎn)的線段有3條，同樣以B,C,D為一個(gè)端點(diǎn)的線段也各有3條，又因?yàn)樗芯€段均重復(fù)了一次，所以共有線段條數(shù)：（條）.（2）以射線OA為一邊的角有3個(gè)，同樣以O(shè)B，OC，OD為一邊的角也各有3個(gè)，又因?yàn)樗薪蔷貜?fù)一次，所以共有角的個(gè)數(shù)：（個(gè)）.【總結(jié)升華】用同樣的方法解決了不同的問題，用已知的知識(shí)類比地學(xué)習(xí)未知的內(nèi)容.

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