中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)四1.如圖：已知二次函數(shù)y＝x2＋(1﹣m)x﹣m(其中0＜m＜1)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線L設(shè)P為對稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA＝PC. (1)∠ABC的度數(shù)為　   　°；(2)求點(diǎn)P坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)； (3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q(與原點(diǎn)O不重合)，使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最小，如果存在，求滿足條件的Q的坐標(biāo)及對應(yīng)的二次函數(shù)解析式，并求出PQ的最小值；如果不存在，請說明理由.       2.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx﹣8(a≠0)的圖象交x軸于點(diǎn)A(﹣2，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)M為直線BC下方二次函數(shù)圖象上一個(gè)動點(diǎn)，連接MB，MC，求△MBC面積的最大值；(3)點(diǎn)P為直線BC上一個(gè)動點(diǎn)，將點(diǎn)P向右平移6個(gè)單位長度得到點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，若線段PQ與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍.       3.已知拋物線y＝ax2﹣2ax＋c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，直線MD⊥x軸于點(diǎn)D．(1)當(dāng)a>0時(shí)，知OC＝MD，求AB的長；(2)當(dāng)a<0時(shí)，若OC＝OB，tan∠ACB＝2，求拋物線的解析式；      4.已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax＋c(a＜0)的最大值為4，且拋物線過點(diǎn)(3.5，﹣2.25)，點(diǎn)P(t，0)是x軸上的動點(diǎn)，拋物線與y軸交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D．(1)求該二次函數(shù)的解析式，及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求|PC﹣PD|的最大值及對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)Q(0，2t)是y軸上的動點(diǎn)，若線段PQ與函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|＋c的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值．       5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x的正半軸和y的正半軸上，tan∠OAB＝3，拋物線y＝x2＋mx＋3經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，求四邊形ABCD的面積；(3)將該拋物線沿y軸向上或向下平移，使其經(jīng)過點(diǎn)C，若點(diǎn)P在平移后的拋物線上，且滿足∠ACP＝∠ABO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．      6.已知拋物線L1：y＝ax2＋bx﹣3與x軸交于點(diǎn)A(﹣3，0)，B(1，0)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)在x軸上，且頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則稱這兩個(gè)拋物線為“對稱拋物線”，求拋物線L1對稱拋物線L2的解析式；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M是x軸上方的拋物線L2上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，記W＝MN﹣2ON，求W的最大值．      7.如圖，已知拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(﹣3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=OB．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．      8.如圖(1)，△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，點(diǎn)P在線段AC上，從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于點(diǎn)D，完成下列問題：(1)①點(diǎn)E到BC邊的距離為 　 　；②若CD＝x，△BDE的面積為S，則S與x的函數(shù)關(guān)系式為 　  　；(不寫自變量取值范圍)(2)當(dāng)△BDE的面積為15時(shí)，若PC＜AC，以C為原點(diǎn)，AC、BC所在直線分別為x、y軸建立坐標(biāo)系如圖(2)，拋物線C1過點(diǎn)A、D、B；①點(diǎn)Q在拋物線C1上，且位于線段PB的下方，過點(diǎn)Q作QN⊥PB，垂足為點(diǎn)N，是否存在點(diǎn)Q，使得QN最長，若存在，請求出QN的長度和Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；②將拋物線C1繞原點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線C2，當(dāng)﹣2a≤x≤﹣a時(shí)(a＞0)，拋物線C2有最大值2a，求a值．      
0.中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)四（含答案）答案解析  一         、綜合題1.解：(1)令x＝0，則y＝﹣m，C點(diǎn)坐標(biāo)為：(0，﹣m)，令y＝0，則x2＋(1﹣m)x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，∵0＜m＜1，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：(m，0)，∴OB＝OC＝m，∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°；故答案為：45°；(2)如圖1，作PD⊥y軸，垂足為D，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)E，由題意得，拋物線的對稱軸為：x＝，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為：(，n)，∵PA＝PC，∴PA2＝PC2，即AE2＋PE2＝CD2＋PD2，∴(＋1)2＋n2＝(n＋m)2＋()2，解得：n＝，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：(，)；(3)存在點(diǎn)Q滿足題意，∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為：(，)，∴PA2＋PC2＝AE2＋PE2＋CD2＋PD2，＝(＋1)2＋()2＋(＋m)2＋()2＝1＋m2，∵AC2＝1＋m2，∴PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由題意可得滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(﹣m，0)若PQ與x軸垂直，則＝﹣m，解得：m＝，PQ＝，若PQ與x軸不垂直，則PQ2＝PE2＋EQ2＝()2＋(＋m)2＝m2﹣2m＋＝(m﹣)2＋，∵0＜m＜1，∴當(dāng)m＝時(shí)，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵<，∴當(dāng)m＝，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：(﹣，0)時(shí)，PQ的長度最小. 2.解：(1)將A(﹣2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx﹣8，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣8；(2)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣8，∴C(0，﹣8)，設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx﹣8，將B(4，0)代入，得：0＝4k﹣8，解得：k＝2，∴直線BC的解析式為：y＝2x﹣8，∵B(4，0)，∴OB＝4.過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為H，交直線BC于點(diǎn)N，設(shè)H(x，0)，如圖，∴N(x，2x﹣8)，M(x，x2﹣2x﹣8)，∴MN＝(2x﹣8)﹣(x2﹣2x﹣8)＝﹣x2＋4x，∴S△MBC＝S△MNC＋S△MNB＝MN?OB＝(﹣x2＋4x)×4＝﹣2x2＋8x＝﹣2(x﹣2)2＋8，∵0＜x＜4，﹣2＜0，∴當(dāng)x＝2時(shí)，△MBC面積的最大值為8；(3)若線段PQ與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍0＜m≤4或m＝-.理由：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，∵P，Q的距離為6，而C，B的水平距離是4，∴此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即0＜m≤4；∴線段PQ與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，線段PQ與拋物線沒有公共點(diǎn)；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，∵y＝x2﹣2x﹣8＝(x﹣1)2﹣9，∴拋物線的頂點(diǎn)為(1，﹣9)，令y＝2x﹣8＝﹣9，解得：x＝﹣，∵1﹣(﹣)＝＜6，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，拋物線和PQ交于拋物線的頂點(diǎn)(1，﹣9)，即m＝﹣時(shí)，線段PQ與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上，0＜m≤4或m＝﹣. 3.解：(1)，頂點(diǎn)，，令，則，，，，，，令，則，或，，，，，；(2)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，將代入中，，解得，． 4.解：(1)∵y=ax2﹣2ax＋c的對稱軸為：x=﹣=1，∴拋物線過(1，4)和(，﹣)兩點(diǎn)，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2＋2x＋3，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；(2)∵C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)、(1，4)；由三角形兩邊之差小于第三邊可知：|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)|PC﹣PD|取得最大值，此時(shí)最大值.|CD|=，由于CD所在的直線解析式為y=x＋3，將P(t，0)代入得t=﹣3，∴此時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)P為(﹣3，0)；(3)y=a|x|2﹣2a|x|＋c的解析式可化為：y=設(shè)線段PQ所在的直線解析式為y=kx＋b，將P(t，0)，Q(0，2t)代入得：線段PQ所在的直線解析式：y=﹣2x＋2t，∴①當(dāng)線段PQ過點(diǎn)(0，3)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，線段PQ與函數(shù)y=有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=，當(dāng)線段PQ過點(diǎn)(3，0)，即點(diǎn)P與點(diǎn)(3，0)重合時(shí)，t=3，此時(shí)線段PQ與y=有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以當(dāng)≤t＜3時(shí)，線段PQ與y=有一個(gè)公共點(diǎn)，②將y=﹣2x＋2t代入y=﹣x2＋2x＋3(x≥0)得：﹣x2＋2x＋3=﹣2x＋2t，﹣x2＋4x＋3﹣2t=0，令△=16﹣4(﹣1)(3﹣2t)=0，t=＞0，所以當(dāng)t=時(shí)，線段PQ與y=也有一個(gè)公共點(diǎn)，③當(dāng)線段PQ過點(diǎn)(﹣3，0)，即點(diǎn)P與點(diǎn)(﹣3，0)重合時(shí)，線段PQ只與y=﹣x2﹣2x＋3(x＜0)有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=﹣3，所以當(dāng)t≤﹣3時(shí)，線段PQ與y=也有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述，t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3． 5.解：(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，，，將代入拋物線，得，解得：，拋物線的表達(dá)式為．(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△，，，，，，，，，，，，，，又，且，，即四邊形的面積為7．(3)當(dāng)時(shí)，，可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，將原拋物線沿軸向下平移2個(gè)單位過點(diǎn)，平移后得拋物線解析式為：；①若點(diǎn)在軸上方時(shí)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，易證，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸直線對稱，；②若點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖2，作的中垂線，與軸交與點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長，交拋物線于點(diǎn)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，，軸，，，作軸，垂足為，則，，設(shè)，則，，在中，，，解得，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，解得：(舍去)，，當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述，滿足條件得點(diǎn)坐標(biāo)為或． 6.解：(1)將點(diǎn)A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝ax2＋bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2＋2x﹣3；(2)令y＝0，則x2＋2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為(﹣3，0)或(1，0)，∵y＝x2＋2x﹣3＝(x＋1)2﹣4，∴頂點(diǎn)為(﹣1，﹣4)，∴頂點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(﹣1，4)，設(shè)拋物線L2的解析式為y＝n(x＋1)2＋4，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(﹣3，0)或(1，0)，∴n＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x＋3；     (3)∵點(diǎn)M是x軸上方的拋物線L2上一動點(diǎn)，∴﹣3＜x＜1，∵M的橫坐標(biāo)為m，∴M(m，﹣m2﹣2m＋3)，N(m，0)，∴MN＝﹣m2﹣2m＋3，ON＝|m|，當(dāng)﹣3＜x≤0時(shí)，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m＋3＋2m＝﹣m2＋3，∴當(dāng)m＝0時(shí)，W有最大值3；當(dāng)0≤x＜1時(shí)，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m＋3﹣2m＝﹣m2﹣4m＋3＝﹣(m＋2)2＋7，∴當(dāng)m＝0時(shí)，W有最大值3；綜上所述：W的最大值為3． 7.解：(1)∵拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(﹣3，0)，∴OB=3，∵OC=OB，∴OC=3，∴c=3，∴，解得：，∴所求拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x＋3；(2)如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E(a，﹣a2﹣2a＋3)(﹣3＜a＜0)，∴EF=﹣a2﹣2a＋3，BF=a＋3，OF=﹣a，∴S四邊形BOCE=BF?EF＋(OC＋EF)?OF，=(a＋3)?(﹣a2﹣2a＋3)＋(﹣a2﹣2a＋6)?(﹣a)，=﹣a2﹣a＋=﹣(a＋)2＋7，∴當(dāng)a=﹣時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為7．此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為(﹣，)；(3)∵拋物線y=﹣x2﹣2x＋3的對稱軸為x=﹣1，點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)P(﹣1，m)，∵線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，①當(dāng)m≥0時(shí)，∴PA=PA1，∠APA1=90°，如圖3，過A1作A1N⊥對稱軸于N，設(shè)對稱軸于x軸交于點(diǎn)M，∴∠NPA1＋∠MPA=∠NA1P＋∠NPA1=90°，∴∠NA1P=∠NPA，在△A1NP與△PMA中，，∴△A1NP≌△PMA，∴A1N=PM=m，PN=AM=2，∴A1(m﹣1，m＋2)，代入y=﹣x2﹣2x＋3得：m＋2=﹣(m﹣1)2﹣2(m﹣1)＋3，解得：m=1，m=﹣2(舍去)，②當(dāng)m＜0時(shí)，要使P2A=P2A，2，由圖可知A2點(diǎn)與B點(diǎn)重合，∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，∴P2(﹣1，﹣2)，∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(﹣1，1)或(﹣1，﹣2)．   8.解：(1)①過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，如圖，∵∠PBE＝90°，∴∠PBC＋∠CBE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CPB＋∠PBC＝90°，∴∠CPB＝∠CBE，在△PCB 和△BHE中，，∴△PCB≌△BHE(AAS)，∴EH＝CB＝6，∴點(diǎn)E到BC邊的距離為6，故答案為：6；②∵CD＝x，BD＝6﹣x，∴S△BDE＝BD×EH＝×(6﹣x)×6＝18﹣3x，故答案為：S＝18﹣3x；(2)①由題知點(diǎn)A(0，6)，點(diǎn)B(6，0)，∵S△BDE＝18﹣3x＝15，∴x＝1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1，0)，設(shè)拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c，將點(diǎn)A、D、B的坐標(biāo)分別代入得，，解得：，∴拋物線C1的解析式為：y＝x2﹣7x＋6，當(dāng)Q與E重合，點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，QN＝BE取最大值，∵EH＝6，∴將y＝﹣6代入拋物線得：﹣6＝x2﹣7x＋6，解得：x1＝3，x?＝4，當(dāng)x＝3時(shí)，BH＝6﹣3＝3＝PC，與題干PC＜AC相矛盾，故x＝3舍去，∴BH＝6﹣4＝2，∴QN＝2，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，﹣6)，∴QN的最大值為2，故QN的長度為2，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，﹣6)；②將拋物線C1繞原點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線C2為y＝﹣x2﹣7x﹣6，∵y＝﹣x2﹣7x﹣6＝﹣(x＋)2＋，∴拋物線C2的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，)，當(dāng)﹣2a≤﹣≤﹣a時(shí)，2a＝，解得：a＝，當(dāng)﹣a＜﹣時(shí)，即﹣2a≤x≤﹣a，在拋物線對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝﹣a時(shí)，取最大值，即﹣a2＋7a﹣6＝2a，解得a1＝2，a2＝3均不在﹣a＜﹣范圍內(nèi)，故均舍去，當(dāng)﹣2a＞﹣時(shí)，即﹣2a≤x≤a，在拋物線對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝﹣2a 時(shí)，取最大值，即﹣4a2＋14a﹣6＝2a，解得a＝，∵﹣2a＞﹣，即0，∴a＝舍去，∴a＝，∴a＝或a＝．  

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