中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)十1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2＋x＋c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，與x軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8，0)，連接AB、AC．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出二次函數(shù)y=ax2＋x＋c的表達(dá)式；(2)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合)，過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．             2.如圖，已知拋物線y=﹣x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(0，4)，B(3，0)兩點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，連接AC、AB．(1)求該拋物線的解析式；(2)D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，連接DE，P為DE上的動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥BC，垂足為Q，QN⊥AB，垂足為N，連接PN．①當(dāng)△PQN與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)P，使得PQ=NQ，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．      3.如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從 點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積.      4.如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c(b，c為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，1)，點(diǎn)C(0，4)，頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移m(m＞0)個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部(不包括△ABC的邊界)，求m的取值范圍；(3)點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)解答過(guò)程)．      5.拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A(﹣3，0)、B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式(2)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M，使△MBC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和△MBC的周長(zhǎng)(3)若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交拋物線與點(diǎn)Q，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.      6.如圖已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c(b，c為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，﹣1)，點(diǎn)C(0，﹣4)，頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象于點(diǎn)B，連接BC．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo)：(2)若將該二次函數(shù)圖象向上平移m(m＞0)個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部(不包括△ABC的邊界)，求m的取值范圍；(3)若E為y軸上且位于點(diǎn)C下方的一點(diǎn)，P為直線AC上一點(diǎn)，在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以C、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．      7.已知點(diǎn)A(－1，1)，B(4，6)在拋物線y=ax2＋bx上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，m)(m>2)，直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線，垂足為H，設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，連接FH，AE，求證：FH∥AE；(3)如圖②，直線AB分別交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，QM=2PM，直接寫(xiě)出t的值．      8.設(shè)一次函數(shù)y1＝2x＋m＋n和二次函數(shù)y2＝x(2x＋m)＋n．(1)求證：y1，y2的圖象必有交點(diǎn)；(2)若m＞0，y1，y2的圖象交于點(diǎn)A(x1，a)、B(x2，b)，其中x1＜x2，設(shè)C(x3，b)為y2圖象上一點(diǎn)，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；(3)在(2)的條件下，如果存在點(diǎn)D(x1＋2，c)在y2的圖象上，且a＞c，求m的取值范圍．      
0.中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)十（含答案）答案解析  一         、綜合題1.解：(1)將點(diǎn)A(0，4)、C(8，0)代入y=ax2＋x＋c中，得：，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2＋x＋4．(2)令y=﹣x2＋x＋4中y=0，則﹣x2＋x＋4=0，解得：x=﹣2，或x=8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2，0)，又∵點(diǎn)A(0，4)，點(diǎn)C(8，0)，∴AB=2，AC=4，BC=10．∵AB2＋AC2=20＋80=100=BC2，∴△ABC為直角三角形．(3)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，0)，則AC=4，AN=，CN=|8﹣m|．以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形分三種情況：①當(dāng)AC=AN時(shí)，即4=，解得：m=﹣8，或m=8(舍去)，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣8，0)；②當(dāng)AC=CN時(shí)，即4=|8﹣m|，解得：m=8﹣4，或m=8＋4，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(8﹣4，0)或(8＋4，0)；③當(dāng)AN=CN時(shí)，即=|8﹣m|，解得：m=3，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，0)．綜上可知：以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(﹣8，0)、(8﹣4，0)、(8＋4，0)或(3，0)．(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n，0)(﹣2＜n＜8)，則BN=n﹣(﹣2)=n＋2．∵MN∥AC，∴△BMN∽△BAC，∴=．∵S△BAC=AB?AC=20，BN=n＋2，BC=10，∴S△BMN=S△BAC?=(n＋2)2．S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=AO?BN﹣(n＋2)2=﹣(n﹣3)2＋5，∴當(dāng)n=3，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，0)時(shí)，△AMN面積最大，最大值為5． 2.解：(1)將A(0，4)，B(3，0)代入拋物線的解析式得：，解得；b=，c=4．∴拋物線的解析式為y=﹣x2＋x＋4．(2)①如圖1所示：   ∵令y=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴C(﹣1，0)．∴BC=4，AB=5．∵D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC．∴=1．∴PQ=DO=2．∵PQ⊥BC，QN⊥AB，∴∠PQN＋∠NQB=90°，∠NQB＋∠QBN=90°．∴∠PQN=∠QBN．∴當(dāng)或時(shí)，△PQN與△ABC相似．∵當(dāng)時(shí)，，解得；QN=．∵=，∴QB=QN=×=2．∴OQ=3﹣2=1．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)．當(dāng)時(shí)，，解得；QN=2.5．∵=，∴QB=QN=×=．∴OB﹣BQ=﹣．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣，2)．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(﹣，2)．②如圖2所示：∵PQ=QN，PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°．∵由(2)可知OA=4，AB=5，∴sin∠ABO=．∴，解得；QB=．∴OQ=OB﹣QB=3﹣=．∴P(，2)． 3.解：(1)把A(1，0)和C(0，3)代入y＝x2＋bx＋c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x＋3；(2)令y＝0，則x2﹣4x＋3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B(3，0)，∴BC＝3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP＝CB時(shí)，PC＝3，∴OP＝OC＋PC＝3＋3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1(0，3＋3)，P2(0，3﹣3)；②當(dāng)BP＝BC時(shí)，OP＝OB＝3，∴P3(0，﹣3)；③當(dāng)PB＝PC時(shí)，∵OC＝OB＝3[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]∴此時(shí)P與O重合，∴P4(0，0)；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0，3＋3)或(0，3﹣3)或(0，﹣3)或(0，0)；(3)如圖2，設(shè)A運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，則DN＝2t，∴S△MNB＝×(2﹣t)×2t＝﹣t2＋2t＝﹣(t﹣1)2＋1，即當(dāng)M(2，0)、N(2，2)或(2，﹣2)時(shí)△MNB面積最大，最大面積是1. 4.解：(1)把點(diǎn)A(3，1)，點(diǎn)C(0，4)代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣(x﹣1)2+5，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，5)；(2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A(3，1)，C(0，4)代入得，解得∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F   把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3，則點(diǎn)E坐標(biāo)為(1，3)，點(diǎn)F坐標(biāo)為(1，1)∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；(3)連接MC，作MG⊥y軸并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)G坐標(biāo)為(0，5)∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC=，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，則點(diǎn)N坐標(biāo)為(﹣1，5)，∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若點(diǎn)P在AC上，則∠MCP=90°，則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)①若有△PCM∽△BDC，則有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，作PH⊥y軸，∵∠PCH=45°，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1(,)；同理可得，若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2(﹣,)；②若有△PCM∽△CDB，則有∴CP==3∴PH=3÷=3，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3(3，1)；P4(﹣3，7)．∴所有符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)有4個(gè)，分別為P1(,)，P2(﹣,)，P3(3，1)，P4(﹣3，7)． 5.解：(1)將A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2.(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2﹣x+2=2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2).∵拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1.連接AC，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，如圖1所示.∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱(chēng)，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此時(shí)△MBC的周長(zhǎng)取最小值.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，∴AC=，BC=，直線AC的解析式為y=x+2(可用待定系數(shù)法求出來(lái)).當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=x+2=，∴當(dāng)△MBC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1，)，△MBC的周長(zhǎng)為+.(3)∵以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)B，P的縱坐標(biāo)為0，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2或﹣2，如圖2所示.當(dāng)y=2時(shí)，﹣x2﹣x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2，2)；當(dāng)y=﹣2時(shí)，﹣x2﹣x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).∴在拋物線上存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2). 6.解：(1)將點(diǎn)A(3，﹣1)，點(diǎn)C(0，﹣4)代入y＝x2＋bx＋c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣4，∵y＝x2﹣2x﹣4＝(x﹣1)2﹣5，∴頂點(diǎn)M(1，﹣5)；(2)由題可得平移后的函數(shù)解析式為y＝(x﹣1)2﹣5＋m，∴拋物線的頂點(diǎn)為(1，m﹣5)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝x﹣4，當(dāng)頂點(diǎn)在直線AC上時(shí)，m﹣5＝﹣3，∴m＝2，∵AB∥x軸，∴B(﹣1，﹣1)，當(dāng)M點(diǎn)在AB上時(shí)，m﹣5＝﹣1，∴m＝4，∴2＜m＜4；(3)存在一點(diǎn)Q，使以C、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：設(shè)E(0，t)，P(p，p﹣4)，Q(q，q2﹣2q﹣4)，∵點(diǎn)E在點(diǎn)C下方，∴t＜﹣4，∵Q點(diǎn)在第四象限，∴0＜q＜＋1，①當(dāng)CE為菱形對(duì)角線時(shí)，CP＝CQ，∴，解得(舍)或，∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；②當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，CE＝CQ，∴，解得，∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，不符合題意；③當(dāng)CQ為菱形對(duì)角線時(shí)，CE＝CP，∴，解得(舍)或，∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為3﹣；綜上所述：Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為1或3﹣． 7.解：(1)將點(diǎn)A(－1，1)，B(4，6)代入y=ax2＋bx中，，解得，∴拋物線的解析式為y=x2－x；(2)證明：∵A(－1，1)，F(xiàn)(0，m)∴直線AF的解析式為：y=(m－1)x＋m.聯(lián)立，得x2－(m－)x－m=0.∵A、G為直線AF與拋物線的交點(diǎn)，∴xA＋xG=－=2m－1，∴xG=2m－1－(－1)=2m，∴H(2m，0)，∴直線HF的解析式為：y=－x＋m.由拋物線解析式易得E(1，0)，又A(－1，1)，∴直線AE的解析式為：y=－x＋，∵直線HF與直線AE的斜率相等，∴HF∥AE；(3)t的值為或或或.由題意知直線AB解析式為y=x＋2，∴C(－2，0)，D(0，2)，P(t－2，t)，Q(t，0)．∴直線PQ的解析式為y=－x＋，設(shè)M(x0，y0)，由QM=2PM可得：|t－x0|=2|x0－t＋2|，解得：x0=t－或x0=t－4.(i)當(dāng)x0=t－時(shí)，代入直線PQ解析式得y0=t.∴M(t－，t)，代入y=x2－x中得：(t－)2－(t－)=t，解得t1=，t2=； (ii)當(dāng)x0=t－4時(shí)，y0=2t.∴M(t－4，2t)，代入y=x2－x中得：(t－4)2－(t－4)=2t，解得：t3=，t4=.綜上所述，t的值為或或或. 8. (1)證明：當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，得2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n，化簡(jiǎn)為：2x2＋(m﹣2)x﹣m＝0，△＝(m﹣2)2＋8m＝(m＋2)2≥0，∴方程2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n有解，∴y1，y2的圖象必有交點(diǎn)；(2)解：當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n，化簡(jiǎn)為：2x2＋(m﹣2)x﹣m＝0，(2x＋m)(x﹣1)＝0，∵m＞0，x1＜x2，∴x1＝﹣m，x2＝1，∴b＝2＋m＋n，當(dāng)y＝2＋m＋n時(shí)，y2＝x(2x＋m)＋n＝2＋m＋n，化簡(jiǎn)為：2x2＋mx﹣m﹣2＝0，2x2﹣2＋mx﹣m＝0，2(x＋1)(x﹣1)＋m(x﹣1)＝0，(2x＋m＋2)(x﹣1)＝0，解得，x＝1(等于x2)，或x＝﹣m﹣1，∴x3＝﹣m﹣1，∴x3﹣x1＝﹣1；(3)解：∵點(diǎn)D(x1＋2，c)在y2的圖象上，∴c＝(x1＋2)[2(x1＋2)＋m]＋n＝2(x1＋2)2＋m(x1＋2)＋n．∵點(diǎn)A(x1，a)在y2的圖象上，∴a＝x1(2x1＋m)＋n．∵a＞c，∴a﹣c＞0，∴x1(2x1＋m)＋n﹣2(x1＋2)2﹣m(x1＋2)﹣n＞0，化簡(jiǎn)得4x1＋4＋m＜0，由(2)得x1＝﹣m，∴4×(﹣m)＋4＋m＜0，﹣2m＋4＋m＜0，﹣m＋4＜0，m＞4，∴m的取值范圍為m＞4．  

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中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)九（含答案）

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中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)八（含答案）

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