湖北省十堰市2023屆高三下學(xué)期四月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B．2 C． D．2．若集合，，則（    ）．A． B． C． D．3．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（    ）．A． B． C．－30 D．304．已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得最小值，則m的取值范圍為（    ）．A． B． C． D．5．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)，且的面積為2，若Q是拋物線C上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（    ）．A． B． C． D．6．已知A，B，C，D是球O的球面上的四個(gè)點(diǎn)，圓為的外接圓．若圓的面積為π，，則四面體ABCD體積的最大值為（    ）．A． B． C． D．7．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：．該數(shù)列的特點(diǎn)為前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它的前面兩個(gè)數(shù)的和，即，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則（    ）．A．-2024 B．2024 C．-1 D．18．若，，，則（    ）．A． B． C． D． 二、多選題9．《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（    ）．A．B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量在向量上的投影向量為10．已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，點(diǎn)在的圖象上，則（    ）．A． B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（    ）．A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)C．，當(dāng)時(shí)，D．，12．橢圓曲線是代數(shù)幾何中一類重要的研究對(duì)象．關(guān)于橢圓曲線W：，下列結(jié)論正確的有（    ）．A．曲線W關(guān)于直線對(duì)稱B．曲線W關(guān)于直線對(duì)稱C．曲線W上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為D．曲線W上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為 三、填空題13．已知向量，，若，則________．14．若直線l：與圓C：有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍為________． 四、雙空題15．已知是雙曲線上一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，則________，的面積為________． 五、填空題16．甲、乙兩位同學(xué)玩游戲：給定實(shí)數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)，由甲擲一枚骸子，若朝上的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，則，若朝上的點(diǎn)數(shù)為4，則，若朝上的點(diǎn)數(shù)為5，6，則．對(duì)實(shí)數(shù)重復(fù)上述操作，得到新的實(shí)數(shù)，若，則甲獲勝，否則乙獲勝，那么甲獲勝的概率為________． 六、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求面積的最大值；(2)若，求的周長(zhǎng)．19．現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中4個(gè)球．(1)求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率．(2)已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，記交換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為X，X的數(shù)學(xué)期望為．證明：．20．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體．該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．在如圖所示的“曲池”中，平面，記弧AB、弧DC的長(zhǎng)度分別為，，已知，，E為弧的中點(diǎn)．(1)證明：．(2)若，求直線CE與平面所成角的正弦值．21．已知是橢圓C：的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在x軸的上方），直線PA，PB分別與直線相交于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)A為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，．(1)求橢圓C的方程；(2)若，且，求k的取值范圍．22．已知函數(shù)．(1)若在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證在上只有一個(gè)零點(diǎn)，且．
參考答案：1．A【分析】利用復(fù)數(shù)得乘除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)虛部得定義即可得解.【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)的虛部為-2.故選：A.2．C【分析】根據(jù)二次根式的意義求出集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，結(jié)合集合間的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以．故選：C.3．A【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式分析運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?/span>的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，可得的系數(shù)是．故選：A.4．B【分析】通過(guò)分段函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，取得最小值，從而可得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，繼而可求出結(jié)論.【詳解】由題可知解得．故選：B.5．B【分析】由的面積求出，為定值，的周長(zhǎng)最小，需最小，即最小，此時(shí)MQ垂直于拋物線C的準(zhǔn)線，求值即可.【詳解】由題可知，的面積為，則．則有,準(zhǔn)線方程為，，Q點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，的周長(zhǎng)最小，需最小，即最小，所以當(dāng)MQ垂直于拋物線C的準(zhǔn)線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，且最小值為．故選：B6．B【分析】由圓的面積為π，得圓的半徑為1，從而求得球O的半徑，從而可得出四面體ABCD體積的最大值.【詳解】因?yàn)閳A的面積為π，所以圓的半徑為1，，則球O的半徑，則四面體ABCD體積的最大值為．故選：B.7．C【分析】根據(jù)，證得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為-1的等比數(shù)列，通過(guò)運(yùn)算從而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，所以．又，所以是首項(xiàng)為1，公比為-1的等比數(shù)列，則，故．故選：C.8．A【分析】由題意得，構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)，討論得知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．故，計(jì)算可比較大小,從而可得出結(jié)論.【詳解】令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從而．因?yàn)?/span>，所以，故．故選：A.9．BD【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可判定A、B選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判定C、D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，故A不正確，B正確．如圖所示，故D作DU垂直BC，過(guò)U作VU垂直AB，UW垂直AC，故向量在向量上的投影向量為,向量在向量上的投影向量為，由題意易得故，C不正確． ，D正確．故選：BD10．ACD【分析】由可得，對(duì)稱中心，即可求得，從而知函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以．又，所以．因?yàn)?/span>圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，所以，則．又，所以，則，A正確．，則直線不是圖象的一條對(duì)稱軸，B不正確．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，C正確．，是奇函數(shù)，D正確．故選：ACD.11．ABD【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)奇偶性的定義分析判斷；對(duì)于C：構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，分析判斷；對(duì)于D：構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的最值，分析判斷.【詳解】對(duì)于A、B：因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>R，且，，所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故A，B正確；對(duì)于B：構(gòu)建，則，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故即在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，不妨令，則，即，整理得，且，則，C不正確；對(duì)于D：構(gòu)建，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故在上單調(diào)遞增，則，D正確．故選：ABD.12．BD【分析】由特殊值結(jié)合對(duì)稱性判斷A；設(shè)點(diǎn)在曲線W上，證明點(diǎn)在曲線W上，從而判斷B；，解不等式判斷CD.【詳解】由，得．對(duì)于A：因?yàn)?/span>，所以曲線W不關(guān)于直線對(duì)稱，A不正確．對(duì)于B：設(shè)點(diǎn)在曲線W上，則，，所以點(diǎn)在曲線W上，所以曲線W關(guān)于直線對(duì)稱，B正確．對(duì)于CD：由，得，解得或，C不正確，D正確．故選：BD.13．13【分析】由解出的值，利用模的坐標(biāo)公式求.【詳解】已知向量，，因?yàn)?/span>，所以，解得，則，．故答案為：1314．【分析】聯(lián)立方程，結(jié)合判別式分析運(yùn)算.【詳解】聯(lián)立方程，消去y得，由題意可得：，故k的取值范圍為．故答案為：.15．          【分析】設(shè)設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，利用雙曲線的定義以及的周長(zhǎng)可求得、，利用余弦定理可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】在雙曲線中，，，則，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則．因?yàn)?/span>，的周長(zhǎng)為，所以，所以，．在中，，則，所以，的面積為．故答案為：；.16．【分析】列出如下樹(shù)形圖，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】列出如下樹(shù)形圖，可知甲獲勝的概率為．故答案為：.17．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意可得，有，由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可求解.【詳解】（1）由題意得，，．所以，故是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則．當(dāng)時(shí)，由，得，則，對(duì)也成立，故．（2）由（1）可知，，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.18．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由同角的三角函數(shù)關(guān)系可得，利用余弦定理可得，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，解得，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則．故，即面積的最大值為．（2）由余弦定理，，，得，即．由，得，整理得，分解得，解得，故的周長(zhǎng)為．19．(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)超幾何分布，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，X的取值可能是2，3，4；當(dāng)時(shí)，X的取值可能是0，1，2，利用超幾何分布分布求出對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式分布計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題可知，甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率．（2）當(dāng)時(shí)，X的取值可能是2，3，4，且，，，則．當(dāng)時(shí)，X的取值可能是0，1，2，且，，，則．故．20．(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）延長(zhǎng)，并相交于點(diǎn)，證明，再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值作答.【詳解】（1）延長(zhǎng)，并相交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，則，，連接，，因?yàn)?/span>E為弧的中點(diǎn)，則，為正三角形，于是，因?yàn)?/span>平面，，則有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令直線CE與平面所成角為，則，直線CE與平面所成角的正弦值為．21．(1)(2) 【分析】（1）由題意可得，利用兩點(diǎn)求斜率公式求得，即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)l的方程為()，，,聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示、，進(jìn)而可得直線AP的方程，求出，同理可得，對(duì)化簡(jiǎn)計(jì)算，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由題可知，．當(dāng)A為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，，解得，故橢圓C的方程為．（2）依題意可設(shè)直線l的方程為，，，．聯(lián)立方程組消去x整理得，則，．直線AP的方程為，令，得．同理可得，則.因?yàn)?/span>，且，所以，，又，故．22．(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)的單調(diào)性可得即在R上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)求出即可求解；（2）由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得，使得,進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合、即可證明函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；由得，將不等式變形為，則證明即可，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合分析法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以．由在R上單調(diào)遞減，得，即在R上恒成立．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．故，解得，即a的取值范圍為．（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞減，且，，故，使得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>，，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)?/span>，所以要證，即證，即證．因?yàn)?/span>，得，所以，故需證即可．令，，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．故．即，原不等式即證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，不論哪種方法，其核心步驟都是構(gòu)造函數(shù).利用已知的函數(shù)或已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，重新構(gòu)造函數(shù)模型，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)模型的單調(diào)性、極值或最值等達(dá)到解決問(wèn)題的目的. 

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