湖北省武漢市2022屆高三下學(xué)期四月調(diào)研數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（       ）A． B．1 C． D．2．已知，則（       ）A． B．C． D．3．若橢圓的離心率為，則的值為（       ）A． B． C．或 D．或4．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，以其各面中心為頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體為正八面體，則該正八面體的體積為（       ） A． B． C． D．5．設(shè)，則（       ）A． B． C． D．6．已知直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，則的最小值為（       ）A． B． C． D．7．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，則下列是周期函數(shù)的是（       ）A． B．C． D．8．某同學(xué)在課外閱讀時(shí)了解到概率統(tǒng)計(jì)中的切比雪夫不等式，該不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量的期望和方差存在但其分布末知的情況下，對(duì)事件“”的概率作出上限估計(jì)，其中為任意正實(shí)數(shù).切比雪夫不等式的形式為：，其中是關(guān)于和的表達(dá)式.由于記憶模糊，該同學(xué)只能確定的具體形式是下列四個(gè)選項(xiàng)中的某一種.請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)相關(guān)知識(shí)，確定該形式是（       ）A． B． C． D．二、多選題9．已知集合，若，則的取值可以是（       ）A．2 B．3 C．4 D．510．在研究某種產(chǎn)品的零售價(jià)（單位：元）與銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)件）之間的關(guān)系時(shí)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)得到如下所示的對(duì)應(yīng)表：12141618201716141311 利用最小二乘法計(jì)算數(shù)據(jù)，得到的回歸直線(xiàn)方程為，則下列說(shuō)法中正確的是（       ）A．與的樣本相關(guān)系數(shù)B．回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)C．D．若該產(chǎn)品的零售價(jià)定為22元，可預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量是萬(wàn)件11．函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可以是（       ）A． B．C． D．12．?dāng)?shù)列共有項(xiàng)（常數(shù)為大于5的正整數(shù)），對(duì)任意正整數(shù)，有，且當(dāng)時(shí)，.記的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法中正確的有（       ）A．若，則B．中可能出現(xiàn)連續(xù)五項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列C．對(duì)任意小于的正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得D．對(duì)中任意一項(xiàng)，必存在，使得按照一定順序排列可以構(gòu)成等差數(shù)列三、填空題13．若平面向量滿(mǎn)足，則___________.14．若一個(gè)偶函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則這個(gè)函數(shù)的解析式可以是___________.15．如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為70米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑25米，塔底部塔口半徑為米，則該雙曲線(xiàn)的離心率為___________.四、雙空題16．三棱錐的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側(cè)棱長(zhǎng)均為3，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則到平面的距離為___________；設(shè)到平面的距離為到直線(xiàn)的距離為，則的最小值為___________.五、解答題17．公差不為零的等差數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記的前項(xiàng)和為，求使成立的最大正整數(shù).18．某公司采購(gòu)部需要采購(gòu)一箱電子元件，供貨商對(duì)該電子元件整箱出售，每箱10個(gè).在采購(gòu)時(shí)，隨機(jī)選擇一箱并從中隨機(jī)抽取3個(gè)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn).若其中沒(méi)有次品，則直接購(gòu)買(mǎi)該箱電子元件；否則，不購(gòu)買(mǎi)該箱電子元件.(1)若某箱電子元件中恰有一個(gè)次品，求該箱電子元件能被直接購(gòu)買(mǎi)的概率；(2)若某箱電子元件中恰有兩個(gè)次品，記對(duì)隨機(jī)抽取的3個(gè)電子元件進(jìn)行檢測(cè)的次數(shù)為，求的分布列及期望.19．如圖，圓臺(tái)上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為為圓臺(tái)下底面的一條直徑，圓上點(diǎn)滿(mǎn)足是圓臺(tái)上底面的一條半徑，點(diǎn)在平面的同側(cè)，且.(1)證明：平面平面；(2)若圓臺(tái)的高為2，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20．如圖，內(nèi)一點(diǎn)滿(mǎn)足.(1)若，求的值；(2)若，求的長(zhǎng).21．已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于其到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.(1)求的方程；(2)設(shè)為圓的一條不垂直于軸的直徑，分別延長(zhǎng)交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.22．定義在上的函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；(2)將的所有極值點(diǎn)按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，若，求的值.
參考答案：1．C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)求出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以的虛部為.故選：C.2．B【解析】【分析】利用中間值結(jié)合單調(diào)性判斷兩數(shù)的大?。?/span>【詳解】∵，， ，∴．故選：B3．C【解析】【分析】分和，利用離心率的定義求解.【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，則，解得；當(dāng)，即時(shí)，則，解得，綜上：的值為或，故選：C4．B【解析】【分析】正八面體是由兩個(gè)同底的正四棱錐組成，正四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，棱錐的高為，由體積公式計(jì)算可得答案.【詳解】該正八面體是由兩個(gè)同底的正四棱錐組成，且正四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，棱錐的高為，所以該正八面體的體積為.故選：B.5．A【解析】【分析】化切為弦，通分，再利用平方關(guān)系及倍角公式即可得解.【詳解】解：.故選：A.6．A【解析】【分析】由圓的方程確定圓心，代入直線(xiàn)方程可得，由，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由圓的方程知：圓心；直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，；（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：A.7．D【解析】【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合周期函數(shù)的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，所以，所以是周期為的周期函數(shù).故選：D8．D【解析】【分析】由題知，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】切比雪夫不等式的形式為：，由題知，則的具體形式為.故選：D.9．AB【解析】【分析】根據(jù)并集的結(jié)果可得?，即可得到的取值；【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以?，所以或；故選：AB10．BCD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式的特點(diǎn)即可求解；對(duì)于B，C，根據(jù)已知條件，求出變量與的均值，再利用線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程過(guò)樣本中心，即可得出回歸方程，進(jìn)而可以求解；對(duì)于D，將代入該線(xiàn)性回歸方程中即可求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，，對(duì)于A，根據(jù)相關(guān)性系數(shù)的公式為，故相關(guān)系數(shù)的正負(fù)取決分子故A不正確；對(duì)于B,C，由變量與的均值，得樣本點(diǎn)的中心為，所以樣本點(diǎn)的中心必過(guò)線(xiàn)性回歸方程，故B正確；將代入中，得，解得，所以，故C正確；因?yàn)?/span>，所以回歸直線(xiàn)方程為，當(dāng)時(shí)，，所以該產(chǎn)品的零售價(jià)定為22元，可預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量是萬(wàn)件，故D正確.故選：BCD.11．AC【解析】【分析】由函數(shù)，利用平移變換判斷.【詳解】函數(shù)，其中，因?yàn)?/span>，所以，即，又函數(shù)是由向左或向右平移個(gè)單位得到的，AC符合題意，故選：AC12．BCD【解析】【分析】根據(jù)題中的條件可得數(shù)列具有對(duì)稱(chēng)性，故通過(guò)對(duì)稱(chēng)性及根據(jù)對(duì)稱(chēng)性舉例來(lái)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)條件可知，數(shù)列具有性質(zhì)為，首尾對(duì)稱(chēng)性?xún)蓚€(gè)數(shù)互為相反數(shù)，如果中間數(shù)為1個(gè)，則必為0.下面對(duì)討論.當(dāng)為偶數(shù)（數(shù)列各個(gè)數(shù)非零），，得，所以.當(dāng)為奇數(shù)（數(shù)列），，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然滿(mǎn)足，如，故B正確；對(duì)于C，通過(guò)數(shù)列具有對(duì)稱(chēng)性知，對(duì)任意小于的正整數(shù)有，的值是該數(shù)列中的一項(xiàng)或兩項(xiàng)，當(dāng)值為一項(xiàng)時(shí)，因?yàn)槿我庑∮?/span>正整數(shù)，故該項(xiàng)必定為中間項(xiàng)，數(shù)列剛好具備相鄰兩項(xiàng)差為該數(shù)列的某一項(xiàng)；如果為兩項(xiàng)，顯然直接找出其兩項(xiàng)即可，故C正確；對(duì)于D，考慮到數(shù)列，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性，也成立，例：.故選：BCD【關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵一是對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用，二是通過(guò)舉例來(lái)判斷選項(xiàng)，三是分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.13．0【解析】【分析】由題意得，代入坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，又，，∴，即，故答案為：．14．（答案不唯一，其它正確答案同樣給分）【解析】【分析】取，驗(yàn)證函數(shù)為偶函數(shù)且值域?yàn)?/span>即可.【詳解】取，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，所以函數(shù)為偶函數(shù).，即所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>.故答案為：（答案不唯一，其它正確答案同樣給分）.15．【解析】【分析】以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線(xiàn)為軸，垂直平分線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，由題意求出可得答案.【詳解】如圖，以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線(xiàn)為軸，垂直平分線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，由題意知，所以，，，所以，解得，所以，所以.故答案為：.16．     ##     ##【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，通過(guò)得出平面可求出到平面的距離，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，利用向量關(guān)系表示出，求導(dǎo)可求出最小值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，，所以，且，因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，所以，且，又，滿(mǎn)足，所以，因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以到平面的距離為；如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則，則，設(shè)，則可得，則，則，所以，所以,所以,設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，則，所以，所以，令，解得，又，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故答案為：；.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）由等差數(shù)列求和公式可求得，由可構(gòu)造不等式組求得的范圍，由此可得結(jié)果.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.(2)由（1）得：，若，，即，解得：；成立的最大正整數(shù).18．(1)；(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】【分析】（1）依題意，利用古典概型的公式計(jì)算求解；（2）利用概率的乘法計(jì)算每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率，再求數(shù)學(xué)期望.(1)設(shè)某箱電子元件有一個(gè)次品能被直接購(gòu)買(mǎi)為事件A.則；(2)可能取值為，則；，故的分布列是 故19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，從而得到，根據(jù)平面可得平面，從而得到需求證的面面垂直.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的法向量后可求線(xiàn)面角的正弦值.(1)取中點(diǎn)，由題意，，又，故.又，故，所以四邊形為平行四邊形，則.由平面，故平面，又面，故平面平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有：，故設(shè)平面的法向量而，故，令，得設(shè)所求角的大小為，則.所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出 ，再利用余弦定理求出 ，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，最后利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可（2）設(shè) ，在與采用余弦定理與正弦定理，然后利用與的關(guān)系列出關(guān)于 的方程，解出 即可(1)，此時(shí).在中，，又，故所以(2)設(shè)，在中，.在中，，代入得：.又，故.即，解得：，所以.21．(1)(2)16【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，，即可列式求；（2）首先設(shè)直線(xiàn)的方程為：，分別與圓的方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式求，再利用，求，最后表示四邊形的面積，再通過(guò)換元，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.(1)設(shè)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，由題意，故，解得：.故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意，直線(xiàn)斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立得：，由，得，聯(lián)立得：，由，得因?yàn)?/span>，用代替，得.故四邊形面積.令.設(shè)函數(shù)，故單調(diào)遞增.故當(dāng)，即時(shí)，取到最小值16，所以四邊形面積的最小值是16.22．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式，再結(jié)合三角形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件及正切函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值及函數(shù)存在性定理，再根據(jù)零點(diǎn)范圍及三角函數(shù)相等的角的關(guān)系即可求解.(1)當(dāng)時(shí)，，故.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，令.所以切線(xiàn)與軸的交點(diǎn).此時(shí)所求三角形的面積為.(2)當(dāng)時(shí)，.由函數(shù)在區(qū)間上遞增，且值域?yàn)?/span>，故存在唯一，使得.此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此.同理，存在唯一，使得.此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此.由.同理：.由，整理得：.又，故，則有由，故或.又，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足，舍去.所以，即，則.綜上所述，.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵，第一問(wèn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及三角形的面積公式即可；第二問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟，但此時(shí)無(wú)法解決導(dǎo)數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)，只能通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得出，再結(jié)合已知條件及零點(diǎn)范圍及三角函數(shù)相等角的關(guān)系即可. 

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