2023屆湖北省武漢市高三下學(xué)期四月調(diào)研數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出集合，根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，故選：C．2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用除法運算化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的特征，即可判斷.【詳解】，則，有.故選：A3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.【詳解】.故選：D4．正六邊形ABCDEF中，用和表示，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運算，即可求解.【詳解】設(shè)邊長為2，如圖，設(shè)交于點，有，，則，故選：B5．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于同余的問題．現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（    ）A．55 B．49 C．43 D．37【答案】A【分析】由條件寫出通項公式，即可求解.【詳解】正整數(shù)中既能被3除余1且被2除余1的數(shù)，即被6除余1，那么，有.故選：A6．設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為，則（    ）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)幾何圖形，結(jié)合拋物線的定義的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】依題意，，，，又，，則為等邊三角形，有，故選：B7．閱讀下段文字：“已知為無理數(shù)，若為有理數(shù)，則存在無理數(shù)，使得為有理數(shù)；若為無理數(shù)，則取無理數(shù)，，此時為有理數(shù)．”依據(jù)這段文字可以證明的結(jié)論是（    ）A．是有理數(shù) B．是無理數(shù)C．存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù) D．對任意無理數(shù)a，b，都有為無理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)給定的條件，提取文字信息即可判斷作答.【詳解】這段文字中，沒有證明是有理數(shù)條件，也沒有證明是無理數(shù)的條件，AB錯誤；這段文字的兩句話中，都說明了結(jié)論“存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù)”，因此這段文字可以證明此結(jié)論，C正確；這段文字中只提及存在無理數(shù)a，b，不涉及對任意無理數(shù)a，b，都成立的問題，D錯誤.故選：C8．已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點坐標(biāo)，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對進行放縮即可求得所求范圍.【詳解】對于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設(shè)對應(yīng)的切點為，，，設(shè)對應(yīng)的切點為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠采用特殊值的方式，考慮不含變量的函數(shù)的情況，采用構(gòu)造函數(shù)的方式對所求式子進行放縮，從而求得的范圍. 二、多選題9．某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．招商引資后，工資性收入較前一年增加B．招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C．招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的D．招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件及扇形圖的特點即可求解.【詳解】設(shè)招商引資前經(jīng)濟收入為，而招商引資后經(jīng)濟收入為，則對于A，招商引資前工資性收入為，而招商引資后的工資性收入為，所以工資性收入增加了，故A正確；對于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的倍，故B錯誤；對于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟收入的，故C錯誤；對于D，招商引資前經(jīng)營凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.故選：AD.10．橢圓的一個焦點和一個頂點在圓上，則該橢圓的離心率的可能取值有（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】首先求圓與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，再分情況，求橢圓的離心率的取值.【詳解】，圓與軸的交點坐標(biāo)為或，與軸的交點為，而橢圓的焦點在軸，當(dāng)焦點是，右頂點，此時，離心率，當(dāng)焦點是，上頂點，此時，那么，離心率，當(dāng)焦點是，上頂點，此時，那么，離心率故選：BCD11．函數(shù)的圖像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分類討論函數(shù)的單調(diào)性及極值點判斷各個選項即可. 【詳解】，當(dāng)時, ,A選項正確；，，,時, 有兩個根,且時,根據(jù)極值點判斷，故C選項正確,D選項錯誤；當(dāng)時, 有兩個根,且此時,故B選項正確.故選：ABC．12．三棱錐中，，，，直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，則下列說法中正確的有（    ）A．三棱錐體積的最小值為B．三棱錐體積的最大值為C．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為銳角D．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為鈍角【答案】ACD【分析】作平面，由題意得到，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求得點的軌跡方程為，結(jié)合圓的性質(zhì)求得，利用體積公式，可判定A正確，B錯誤；再化簡得到結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，得到H在外部，可判定C、D正確．【詳解】如圖（1）所示，作平面，連接，因為直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，所以，即所以，即，以所在的直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖（2）平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則，整理得，可得圓心，半徑，設(shè)點圓與軸的交點分別為，可得，因為，所以又由且， 所以，則，，所以A正確，B錯誤；因為，可設(shè)，設(shè)與平面所成角為，且，可得，且，又由，令，根據(jù)斜率的結(jié)合意義，可得表示圓與定點連線的斜率，又由與圓相切時，可得，解得或，即，當(dāng)時，此時取得最小值，即最小時，此時H在外部， 如圖（3）所示，此時二面角的平面角為銳角，的平面角為鈍角，所以C、D正確．故選：ACD． 三、填空題13．的展開式中含項的系數(shù)為______．【答案】【分析】利用二項式定理即可求解.【詳解】的通項公式為，所以的展開式中含項為，所以展開式中含項的系數(shù)為．故答案為：.14．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為______．【答案】【分析】利用棱柱及棱錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)棱長為2，則所以原正方體的體積為，所以二十四等邊體為，所以二十四等邊體與原正方體的體積之比為．故答案為：. 四、雙空題15．直線：和：與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：______和______．【答案】          （答案不唯一）【分析】根據(jù)給定條件，按等腰三角形底邊所在直線分類，結(jié)合斜率的意義及二倍角的正切求解作答.【詳解】令直線的傾斜角分別為，則，當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，，；當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，，整理得，而，解得；當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，所以k的兩個可能取值，.故答案為：； 五、填空題16．在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)m的最大值為______．【答案】【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.【詳解】，令，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立，故，則．故答案為：【點睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進行求解. 六、解答題17．記數(shù)列的前n項和為，對任意，有．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由條件轉(zhuǎn)化為，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項的不等式，即可求解.【詳解】（1）因為①，則②①－②可得，故為等差數(shù)列．（2）若當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，則有,得則，，故的取值范圍為．18．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，且有．(1)求角A；(2)若BC邊上的高，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和、正弦定理和三角恒等變換化簡可得.（2）利用三角形面積公式和正弦定理可得.【詳解】（1）（1）由題意得：，則，有，即，因為所以．（2）（2）由，則，所以，有，則，又，則．19．如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F分別為邊AB，AC的中點．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點．(1)證明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取的中點Q，可得四邊形EFPQ為平行四邊形，則，由直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）取EF中點O，BC中點G，可得平面EFCB，兩兩垂直，以O為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出與平面BFP的法向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式求解.【詳解】（1）取的中點Q，連接,則有，且，又，且，故，且，則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．（2）取EF中點O，BC中點G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時，兩兩垂直，以O為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，，，由P為中點，故，則，，，設(shè)平面BFP的法向量，則，即，故取，故所求角的正弦值為， 所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．20．中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結(jié)果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復(fù)試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；(2)若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，根據(jù)對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等可得答案；（2）分①出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)；②出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)；③出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，由對稱性可得答案．【詳解】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，，由對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等，故；（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為；③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，由對稱性可知，故，而由，可得．21．過點的動直線與雙曲線交于兩點，當(dāng)與軸平行時，，當(dāng)與軸平行時，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點是直線上一定點，設(shè)直線的斜率分別為，若為定值，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)與坐標(biāo)軸平行的情況可得雙曲線上的點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可求得結(jié)果；（2）方法一：由三點共線可整理得到，代入雙曲線方程可整理得到，結(jié)合兩點連線斜率公式可化簡得到，根據(jù)為常數(shù)可構(gòu)造方程求得，進而得到點坐標(biāo)，驗證可知符合題意；方法二：設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立可得一元二次方程，根據(jù)該方程的根可化簡得到，同理可得，由此可化簡得到，由為常數(shù)可構(gòu)造方程求得點坐標(biāo)，驗證可知當(dāng)直線斜率為和斜率不存在時依然滿足題意，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知：雙曲線過點，，將其代入方程可得：，解得：，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）方法一：設(shè)，點與三點共線，，（其中，），，，又，整理可得：，當(dāng)時，，，不合題意；當(dāng)時，由得：，設(shè)，則，，若為定值，則根據(jù)約分可得：且，解得：；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，為定值.方法二：設(shè)，直線，由得：，為方程的兩根，，則，由得：，由可得：，同理可得：，則，若為定值，則必有，解得：或或，又點在直線上，點坐標(biāo)為；當(dāng)直線斜率為時，坐標(biāo)為，若，此時；當(dāng)直線斜率不存在時，坐標(biāo)為，若，此時；綜上所述：當(dāng)時，為定值.【點睛】思路點睛：本題考查直線與雙曲線中的定點定值問題的求解，本題求解的基本思路是能夠利用直線與雙曲線相交的位置關(guān)系確定兩交點橫縱坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系，進而通過等量關(guān)系化簡所求的，根據(jù)為常數(shù)來構(gòu)造方程求得定點的坐標(biāo).22．已知函數(shù)，其中．(1)證明：恒有唯一零點；(2)記（1）中的零點為，當(dāng)時，證明：圖像上存在關(guān)于點對稱的兩點．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）令，對函數(shù)求導(dǎo)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性進行證明即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性進行證明即可.【詳解】（1），又，令，則，遞增，令，則，遞減，而時，，時，有，，可得恒有唯一零點．（2）因為，故，要證圖像上存在關(guān)于點對稱的兩點，即證方程有解；，令，，令，則，令，當(dāng)時，，則，遞增，當(dāng)時，，則，遞減，故，因為，故，又時，，時，，故先負(fù)后正再負(fù)，則先減再增再減，又，且時，，時，，故先正后負(fù)再正再負(fù)，則先增再減再增再減，又時，，時，，而，故在區(qū)間存在兩個零點，則原題得證！【點睛】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度相當(dāng)大，主要考向有以下幾點：1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性；2、求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；3、求函數(shù)的極值（最值）；4、求函數(shù)的零點（零點個數(shù)），或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍；5、證明不等式；解決方法：對函數(shù)進行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決. 

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