概念：①整式方程； ②一元； ③二次.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
根的判別式及根與系數(shù)的關系
根的判別式： Δ=b2-4ac
平均變化率問題、利潤問題
（一）、一元二次方程的基本概念
1.定義： 只含有一個未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c為常數(shù)，a≠0)
3.項數(shù)和系數(shù)： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c為常數(shù)，a≠0)一次項： ax2 一次項系數(shù)：a二次項： bx 二次項系數(shù)：b常數(shù)項：c
注意事項(1)含有一個未知數(shù) (2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2；(3)二次項系數(shù)不為0；(4)整式方程．
（二）、解一元二次方程的方法
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
各種一元二次方程的解法及使用類型
（三）、一元二次方程在生活中的應用
列方程解應用題的一般步驟：
（1）審題：通過審題弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關系．（2）設元：就是設未知數(shù),分直接設與間接設,應根據(jù)實際需要恰當選取設元法．（3）列方程：就是建立已知量與未知量之間的等量關系．列方程這一環(huán)節(jié)最重要，決定著能否順利解決實際問題．（4）解方程：正確求出方程的解并注意檢驗其合理性．（5）作答：即寫出答語，遵循問什么答什么的原則寫清答語．
例1 若關于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（ ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本題考查了一元二次方程的定義，即方程中必須保證有二次項（二次項系數(shù)不為0），因此它的系數(shù)m-1≠0,即m≠1,故選A.
訓練 方程5x2-x-3=x2-3+x的二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 .
解析 根據(jù)一元二次方程根的定義可知將x=0代入原方程一定會使方程左右兩邊相等，故只要把x=0代入就可以得到以m為未知數(shù)的方程m2-1=0，解得m=±1的值.這里應填-1.這種題的解題方法我們稱之為“有根必代”.
例2 若關于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一個根為0,則m= .
易錯提示 求出m值有兩個1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，應引起注意.
訓練 一元二次方程x2+px-2=0的一個根為2，則p的值為 .
【易錯提示】(1)配方法的前提是二次項系數(shù)是1；（a-b)2與（a+b)2 要準確區(qū)分；（2）求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣
解析 (1)配方法的關鍵是配上一次項系數(shù)一半的平方；（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的兩根，再根據(jù)三角形的三邊關系定理，得到符合題意的邊，進而求得三角形周長．
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變?yōu)椋? ） A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=09(2) (易錯題）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長為（?。．13 B． 15 C．18 D．13或18
訓練 1.菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長是方程x2-7x+12=0的一個根，則菱形ABCD的周長為（ ） A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
易錯提示 應用根的判別式之前務必將方程化為一般形式，這樣能幫助我們正確確定a,b,c的值.
例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的兩根為m，n，則m2－mn＋n2＝ ．
解析 根據(jù)根與系數(shù)的關系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
例6 某機械公司經(jīng)銷一種零件，已知這種零件的成本為每件20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)當銷售價為24元，平均每天能售出32件，而當銷售價每上漲2元，平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的銷售價為x元，則每天的銷售量為多少？（2）如果物價部門規(guī)定這種零件的銷售價不得高于每件28元，該公司想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應當為多少元？
解析 本題為銷售中的利潤問題，其基本本數(shù)量關系用表析分如下： 設公司每天的銷售價為x元.
其等量關系是：總利潤=單件利潤×銷售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x;
（2）由題意可得(x-20)(80-2x)=150.解得 x1=25, x2=35.由題意x≤28, ∴x=25,即售價應當為25元.
【易錯提示】銷售量在正常銷售的基礎上進行減少.要注意驗根.
例7 菜農(nóng)小王種植的某種蔬菜，計劃以每千克5元的價格對外批發(fā)銷售.由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植，造成該種蔬菜滯銷.小王為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價格對外批發(fā)銷售.求平均每次下調(diào)的百分率是多少？
解：設平均每次下調(diào)的百分率是x，根據(jù)題意得 5（1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%.答：平均每次下調(diào)的百分率是20%.
例8 如圖1，在寬為20米，長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540平方米，求道路的寬.
解析 本題利用圖形的變換——平移，把零散的圖形面積集中化，再建立方程并求解.
解：設道路寬為x米，由平移得到圖2，則寬為(20-x)米，長為（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0.
解得 x1=50(舍去），x2=2.
方法歸納 解決有關面積問題時，除了對所學圖形面積公式熟悉外，還要會將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，并找出各部分圖形面積之間的關系，再列方程求解.
（注意：這里的橫堅斜小路的的寬度都相等）
二次項系數(shù)是含字母系數(shù)切記不要忽略a≠0.
用自己最熟練的方法就是最好的方法.
傳播問題，平均變化率問題，幾何面積問題，數(shù)字問題，握手問題與球賽問題必須熟練掌握.
1.要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設比賽組織者應邀請x個隊參賽，則x滿足的關系式為（?。? A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=282.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　?。〢．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
3.若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的兩個根分別是m+1與2m﹣4，則 =?。?br/>4.為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，他設計了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書之后，又邀請n個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，依此類推，已知經(jīng)過兩輪傳播后，共有111人參與了傳播活動，則n= .

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2.1 一元二次方程

版本： 湘教版

年級： 九年級上冊

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