2021-2022學年江蘇省邳州市宿羊山高級中學高一下學期第一次學情檢測數學試題 一、單選題1．下列說法正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則不是共線向量【答案】C【分析】A. 因為向量不能比較大小，所以該選項錯誤；B. 不一定相等，所以該選項錯誤；C. 若，則，所以該選項正確；D. 若，則也有可能是共線向量，所以該選項錯誤.【詳解】A. 因為向量不能比較大小，所以該選項錯誤；B. 若，則不一定相等，有可能它們方向不同，但是模相等，所以該選項錯誤；C. 若，則，所以該選項正確；D. 若，則也有可能是共線向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以該選項錯誤.故選：C2．（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據誘導公式將變形為，然后根據兩角和的余弦公式求解出結果.【詳解】由題意，，所以原式．故選：C．3．若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】先求得的值，根據數量積的運算法則求得以及的模，再根據向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故 ，，，故 ，由于 ，故，故選：C4．如圖，已知，，，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得：，，則：.本題選擇D選項.5．A． B． C． D．【答案】C【分析】由，利用兩角和的正弦公式以及特殊角的三角函數，化簡即可.【詳解】．故選C．【點睛】三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向．6．已知，是方程的兩根，且，，則的值為（    ）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由韋達定理得，即，得，再根據兩角和的正切公式解決即可.【詳解】由題知，，是方程的兩根，所以，即，因為，，所以，，所以， 因為，所以，故選：B7．如圖，正方形的邊長為2，為的中點，，則的值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】以點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，據此可得：，由平面向量數量積的坐標運算法則有：.本題選擇A選項.點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數量積的幾何意義．具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用．8．已知函數在時取得最大值，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡函數，利用正弦函數的性質可得到，然后用兩角和的余弦公式即可求解【詳解】因為在時取得最大值，所以，即，所以故選：C 二、多選題9．下列敘述中錯誤的是（    ）A．若，則B．已知非零向量與且，則與的方向相同或相反C．若，則D．對任一非零向量是一個單位向量【答案】AC【分析】根據向量不能比較大小可判斷A；根據共線向量的定義可判斷B；當時可判斷C；根據單位向量的定義可判斷D，進而可得答案.【詳解】對于A：因為向量不能比較大小，故選項A不正確；對于B：因為與是非零向量，若，則與的方向相同或相反，故選項B正確；對于C：當時，若，與是任意向量；故選項C不正確；對于D：對任一非零向量，表示與方向相同且模長為的向量，所以是的一個單位向量，故選項D正確；所以敘述中錯誤的是AC，故選：AC.10．已知向量，則下列結論不正確的是（    ）A． B．與可以作為基底C． D．與方向相同【答案】BD【分析】根據向量的坐標運算，共線向量定理和平面向量基本定理逐項分析即得.【詳解】由題意，向量，可得，所以，所以A正確，B錯誤；又由，所以C正確；因為，所以，所以與方向相反，所以D錯誤.故選：BD.11．下列說法正確的有（    ）A．，，使 B．，，有C．，，使 D．，，有【答案】ABC【分析】根據取特值法，易知A， C正確，D錯誤；根據兩角和與差的正弦公式展開可知B正確．【詳解】取，易知A正確D錯誤；取，，C正確；因為，故B正確，故選：ABC．【點睛】本題主要考查兩角和與差的正弦公式，余弦公式的理解和應用，屬于基礎題．12．下列四個等式其中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據利用兩角和與差的正切、正弦、二倍角公式進行三角恒等變換一一計算可得答案.【詳解】A選項， 所以正確；B選項，，，所以錯誤；C選項，    ，所以錯誤；D選項，所以正確.故選：AD.【點睛】本題考查三角恒等變換，兩角和與差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟練記憶是解本題的關鍵. 三、填空題13．設，是不共線向量，與共線，則實數為__________．【答案】##【分析】根據向量平行列出方程組，求出實數的值.【詳解】因為，是不共線向量，與共線，所以存在實數使得，所以，解得：.故答案為：14．已知，，則__________．【答案】【分析】先將兩式平方相加，再由平方關系及兩角差的余弦公式求解即可.【詳解】將兩式分別平方得，，，再相加得，，則.故答案為：.15．函數的最大值是_____.【答案】【分析】令，化簡函數得到，最大值為1【詳解】令，則.∴.∴.故答案為1【點睛】本題考查了三角函數的最大值問題，取可以簡化運算，是解題的關鍵.16．如圖，邊長為2的菱形的對角線相交于點，點在線段上運動，若，則的最小值為_______.【答案】【分析】以為原點建立平面直角坐標系，利用計算出兩點的坐標，設出點坐標，由此計算出的表達式，，進而求得最值.【詳解】以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，設，則①，由得②，由①②解得，故.設，則，當時取得最小值為.故填：.【點睛】本小題主要考查平面向量的坐標運算，考查向量數量積的坐標表示以及數量積求最值，考查二次函數的性質，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題. 四、解答題17．已知向量與的夾角，且，．（1）求，；（2）求與的夾角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用平面向量數量積的定義可計算得出的值，利用平面向量數量積的運算性質計算得出的值；（2）計算出的值，利用平面向量夾角的余弦公式可求得與的夾角的余弦值．【詳解】（1）由已知，得，；（2）設與的夾角為，則，因此，與的夾角的余弦值為.18．設向量 （1）若向量 與向量 平行，求 的值；    （2）若向量 與向量 互相垂直，求 的值.【答案】（1）；（2）1或.【分析】(1)根據平面向量的坐標運算，結合平行向量的判定定理求解即可；(2)根據平面向量的坐標運算，結合向量垂直的判定定理求解即可.【詳解】（1），   向量 與向量 平行，（2）因為 ， ，  因為 與 互相垂直，所以 ，      即 ，，解得 或 .19．已知，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據誘導公式和同角關系式求出，然后利用倍角公式可得結果；（2）先把目標式化簡，然后轉化為含有的式子，代入可求結果.【詳解】（1）（1），，∴，∴，.（2）（2）.20．已知函數．(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據二倍角的正弦公式、降冪公式以及兩角和的正弦公式化簡解析式，即可求得周期；（2）由的范圍得到的范圍，再根據正弦函數的圖象可得結果.【詳解】（1），所以的最小正周期.（2）∵，∴，當，即時，.21．如圖，在中，已知AB=2，AC=4，A=60°，D為線段BC中點，E為線段AD中點.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】通過余弦定理求出AC，再根據勾股定理得到AB⊥BC，進而建立平面直角坐標系，通過平面向量數量積的坐標運算求出答案.【詳解】在中，因為AB=2，AC=4，，由余弦定理：，所以，則，如圖建立平面直角坐標系，因為D為線段BC中點，E為線段AD中點，所以,,,,.（1），，所以.（2），，所以.22．如圖，在半徑為，圓心角為的扇形的弧上任取一點，作扇形的內接矩形，使點在上，點，在上，設矩形的面積為．（1）設，將表示成的函數關系式；（2）設，將表示成的函數關系式；并求出的最大值．【答案】（1）；（2），.【分析】（1）將用加以表示，再利用矩形的面積公式可求得表示成的函數關系式；（2）將、利用加以表示，并利用三角恒等變換思想化簡函數解析式，由求出的取值范圍，利用正弦型函數的基本性質可求得的最大值.【詳解】（1）因為，由，，由勾股定理可得，所以，所以；（2）當時，，則，又，所以，所以，，則，故當時，即當時，函數取得最大值，即.【點睛】方法點睛：求函數在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數的值域（或最值）. 

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