明德中學(xué)2023年上學(xué)期期中考試高一年級(jí)  數(shù)學(xué)試卷2023年4月時(shí)量：120分鐘    滿分：150分 一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則x的值為（       ）A．2 B．4 C．6 D．82．已知集合{2，3，5}，且M中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合M共有（       ）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)3．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（       ）A． B．1 C． D．4．（       ）A． B． C． D．5．已知m，n是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（       ）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則6．若，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（       ）A． B． C． D．7．已知O是△ABC外接圓的圓心，若，，則（       ）A．10 B．20 C．?20 D．?108．已知圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1，A，B分別為圓、圓上的點(diǎn)，若AB=2，則異面直線，所成的角為（       ）A． B． C． D． 二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中為真命題的是（       ）A．  B．C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根10．下列說法正確的是（       ）A．若，則或B．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C．D．若，則在方向上的投影向量的模為11．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，有下列判斷，其中正確的是（       ）A．異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是B．三棱錐D1?APC的體積不變C．平面PB1D⊥平面ACD1D．若AB=1，則CP+PD1的最小值為12．己知函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，且對(duì)于任意，都有，則（       ）A．  B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù) 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為________．14．已知，，，則________．15．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是________．16．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是3，E是DD1上的動(dòng)點(diǎn)，P、F是上、下兩底面上的動(dòng)點(diǎn)，Q是EF中點(diǎn)，EF=2，則PB1+PQ的最小值是________． 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，O是底面圓心，AB是底面圓的直徑，PB=5，OB=3．（1）求圓錐的表面積；（2）經(jīng)過圓錐的高PO的中點(diǎn)O'作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺(tái)的體積．           18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， 且．（1）求C的大小；（2）已知，求△ABC的面積的最大值．               19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，ACBD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，點(diǎn)E在棱PD上，且CE⊥PD．（1）證明：平面PBD⊥平面ACE；（2）求二面角P?AC?E的余弦值．             20．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分別為AD，AA1的中點(diǎn)，Q是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（）．（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面BEF∥平面A1DQ；（2）是否存在，使得BD⊥FQ？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。        21．“方艙醫(yī)院”原為解放軍野戰(zhàn)機(jī)動(dòng)醫(yī)療系統(tǒng)中的一種，是可以移動(dòng)的模塊化衛(wèi)生醫(yī)療平臺(tái)，一般由醫(yī)療功能區(qū)、病房區(qū)等部分構(gòu)成，具有緊急救治、外科處置、臨床檢驗(yàn)等多方面功能．某市有一塊扇形地塊，因疫情所需，當(dāng)?shù)卣F(xiàn)緊急劃撥該地塊為方艙醫(yī)院建設(shè)用地．如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域擬建成病房區(qū)，陰影區(qū)域擬建成醫(yī)療功能區(qū)，點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段OA和線段OB上，且OA=90米，．記．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）請(qǐng)寫出病房區(qū)OMPN的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，S取得最大值．        22．已知定義域不為R的函數(shù)（k為常數(shù)）為奇函數(shù)。（1）求實(shí)數(shù)k的值：（2）若函數(shù)（），（），是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．      明德中學(xué)2023年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)  參考答案 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案DBBCDDCC 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9101112ABDCDBCDBCD 三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置） 13．0  14． 15．3  16． 四、解答題：（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)）17．【分析】（1）由題意可知，該圓錐的底面半徑r=3，母線l=5，從而可求出錐的表面積，（2）先求出大圓錐的高，從而可求出小圓錐的高，進(jìn)而可得圓臺(tái)的體積等于大圓錐的體積減去小圓錐的體積【解析】（1）由題意可知，該圓錐的底面半徑r=3，母線l=5．∴該圓錐的表面積S=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π． （2）在Rt△POB中，，∵O'是PO的中點(diǎn)，∴PO'=2．∴小圓錐的高h′=2，小圓錐的底面半徑，∴截得的圓臺(tái)的體積． 18．（1）  （2）  19．【分析】法一：（1）推導(dǎo)出PO⊥AC，AC⊥BD，從而AC⊥面PBD，由此能證明面ACE⊥面PBD．（2）連接OE，則CE在面PBD內(nèi)的射影為OE，∠POE是二面角P﹣AC﹣E的平面角，由此能求出二面角P﹣AC﹣E的余弦值．法二：（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明面ACE⊥面PBD．（2）求出平面PAC的一個(gè)法向量和平面ACE的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AC﹣E的余弦值．【解析】解法一：證明：（1）∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥AC，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，且BD∩PO＝O，∴AC⊥面PBD………（4分）故面ACE⊥面PBD………（6分）解：（2）連接OE，則OE＝面ACE∩面PBD，故CE在面PBD內(nèi)的射影為OE，∵CE⊥PD，∴OE⊥PD，………（8分）又由（1）可得，AC⊥OE，AC⊥OP，故∠POE是二面角P﹣AC﹣E的平面角，………（10分）菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，∴，，又PO＝2，∴，∴，∴即二面角P﹣AC﹣E的余弦值為………（12分）解法二：證明：（1）菱形ABCD中，AC⊥BD，又PO⊥面ABCD，故可以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，………（1分）由AB＝2，∠ABC＝60°可知相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)如下：………（3分）則平面PBD的一個(gè)法向量為………（4分）因?yàn)?/span>所以故AC⊥面PBD………（5分）從而面ACE⊥面PBD………（6分）（2）設(shè)，則∵CE⊥PD，∴，故，可得：，………（8分）平面PAC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量，則，取z＝2，得，………（10分）∴，………（11分）即二面角P﹣AC﹣E的余弦值為．………（12分） 20．【分析】（1）λ＝1時(shí)，推導(dǎo)出四邊形BEDQ是平行四邊形，從而BE∥QD，進(jìn)而BE∥平面A1DQ．再推導(dǎo)出EF∥平面A1DQ．由此能證明平面BEF∥平面A1DQ．（2）連接AQ，BD與FQ，推導(dǎo)出BD⊥平面A1AQ．從而AQ⊥BD．由AQ⊥BD，得AB2＝AD?BQ．由AB＝1，AD＝2，求出．【解析】（1）λ＝1時(shí)，Q為BC中點(diǎn)，因?yàn)?/span>E是AD的中點(diǎn)，所以ED＝BQ，ED∥BQ，則四邊形BEDQ是平行四邊形，所以BE∥QD．又BE?平面A1DQ，DQ?平面A1DQ，所以BE∥平面A1DQ．又F是A1A中點(diǎn)，所以EF∥A1D，因?yàn)?/span>BF?平面A1DQ，A1D?平面A1DQ，所以EF∥平面A1DQ．因?yàn)?/span>BE∩EF＝E，EF?平面BEF，BE?平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ．（2）連接AQ，BD與FQ，因?yàn)?/span>A1A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以A1A⊥BD．若BD⊥FQ，A1A，FQ?平面A1AQ，所以BD⊥平面A1AQ．因?yàn)?/span>AQ?平面A1AQ，所以AQ⊥BD．在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB∽△DBA，所以，AB2＝AD?BQ．又AB＝1，AD＝2，所以，，則，即． 21．【分析】（1）△OPM中利用正弦定理求出PM、OM，再由數(shù)量積的定義計(jì)算即可；（2）△OPM中由正弦定理用θ表示PM、OM，利用面積公式求出△OPM的面積，再計(jì)算平行四邊形OMPN的面積，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出S取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的θ值．【解析】（1）根據(jù)題意，在△OPM中，∠MOP＝﹣＝，∠PMO＝π﹣＝，∠MPO＝π﹣﹣＝，又OP＝90，由正弦定理得＝＝，即＝＝，解得PM＝15（﹣），OM＝30，所以ON＝PM＝15（﹣），所以?＝OM×ON×cos∠AOB＝30×15（﹣）×＝1350（﹣1）；（2）由題意知，△PMO中，OP＝90，∠PMO＝，∠MPO＝θ，∠MOP＝?θ，由正弦定理得＝＝，即＝＝，解得OM＝60sinθ，PM＝60sin（?θ），所以△PMO的面積為S△PMO＝PM?OM?sin∠PMO＝×60sin（﹣θ）×60sinθ×sin＝2700sinθsin（﹣θ）＝2700×（sinθcosθ﹣sin2θ）＝2700×（sin2θ+cos2θ?）＝2700×[sin（2θ+）﹣]＝1350sin（2θ+）?675，（0＜θ＜），所以平行四邊形OMPN的面積為S＝2S△PMO＝2700sin（2θ+）﹣1350，（0＜θ＜），當(dāng)θ＝時(shí)，sin（2θ+）＝1，此時(shí)S取得最大值．  22．（1）  （2）

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