2022-2023學(xué)年湖南省益陽(yáng)市南縣立達(dá)中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量滿足，，則A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【詳解】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因?yàn)?/span>所以選B.點(diǎn)睛：向量加減乘： 2．若，則A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.【詳解】．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取運(yùn)算法則法，利用方程思想解題．3．已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)即得．【詳解】∵，，且與的夾角為，∴，∴，∴．故選：A.4．已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍?/span>，則圓柱的表面積與球的表面積之比為（    ）A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】利用圓柱的軸截面信息求出圓柱的底面半徑與高的關(guān)系，再結(jié)合圓柱與外接球的關(guān)系求得對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，設(shè)圓柱底面圓的半徑為，其高，其外接球的半徑，則圓柱的表面積，球的表面積，則圓柱的表面積與球的表面積之比為，故選：.5．已知△是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且，設(shè)AD與BE交于點(diǎn)P，則（    ）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合線段間的幾何關(guān)系易得，即可求值.【詳解】由題意，如下圖示：∵，而，∴，又△是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)，∴.故選：C6．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．7．已知A，B，C是表面積為的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，根據(jù)題意求出，再根據(jù)球心到的距離，即三棱錐的高，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，在中，由，，則得，所以，因?yàn)榍?/span>O的表面積為，則，解得，所以球心到的距離，即三棱錐的高為，，所以三棱錐的體積.故選：C.8．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選：． 二、多選題9．已知與是共軛虛數(shù)，以下四個(gè)命題一定正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)與是共軛虛數(shù)，設(shè)、，且，則，當(dāng)時(shí)，由于復(fù)數(shù)不能比較大小，∴A選項(xiàng)不一定正確，又由、，∴，∴B選項(xiàng)一定正確；由，∴C選項(xiàng)一定正確，由不一定是實(shí)數(shù)，∴D選項(xiàng)不一定正確.故選：BC.10．如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，是中邊上的一點(diǎn)，且，又軸，那么原的、、三條線段中（    ）A．最長(zhǎng)的是B．最長(zhǎng)的是C．最短的是D．最短的是【答案】AD【分析】通過斜二測(cè)畫法將直觀圖還原，利用題干所給出的限制條件進(jìn)行判斷.【詳解】由題意得到原的平面圖為：其中，，，∴，∴的、、三條線段中最長(zhǎng)的是，最短的是，故選：AD. 三、單選題11．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（    ）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】A【分析】由正弦定理化邊為角變形判斷AB，舉特例判斷C，由余弦定理及銳角三角形的定義判斷D．【詳解】由正弦定理，若，則，為三角形內(nèi)角，所以，三角形是等邊三角形，A正確；若，由正弦定理得，即，，則或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；例如，，，滿足，但此時(shí)不是等腰三角形，C錯(cuò)；時(shí)，由余弦定理可得，即為銳角，但是否都是銳角，不能保證，因此該三角形不一定是銳角三角形，D錯(cuò)．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查三角形形狀的判斷，解題時(shí)利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換后再進(jìn)行變形判斷是常用方法，解題時(shí)注意三角函數(shù)性質(zhì)的正確應(yīng)用，如選項(xiàng)B，在由得結(jié)論時(shí)不能直接得出，否則會(huì)出現(xiàn)漏解，在判斷三角形形狀時(shí)，銳角三角形需要三個(gè)內(nèi)角都是銳角，直角三角形只有一個(gè)角是直角，鈍角三角形只有一個(gè)角是鈍角，它們判斷方法有一些區(qū)別，這些是易錯(cuò)點(diǎn)． 四、多選題12．如圖，在正方體中，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（　　）A．直線AM與是相交直線B．直線BN與是異面直線C．AM與BN平行D．直線與BN共面【答案】BD【分析】根據(jù)異面直線的定義，結(jié)合三角形中位線定理、正方體的性質(zhì)、共面的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A選項(xiàng)，∵四點(diǎn)不共面，∴根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與是異面直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，∵四點(diǎn)不共面，∴根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與是異面直線，故選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)E，連接AE、EN，則有，所以四邊形是平行四邊形，所以，∵AM與AE交于點(diǎn)A，∴AM與AE 不平行，則AM與BN不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，連接，因?yàn)?/span>，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知：，所以，∴四點(diǎn)共面，∴直線與BN共面，故選項(xiàng)D正確．故選：BD． 五、填空題13．化簡(jiǎn)______.【答案】【解析】根據(jù)向量加減法法則計(jì)算化簡(jiǎn)．【詳解】．故答案為：．14．已知向量，，．若，則________．【答案】【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】由題可得 ,即故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是_______.【答案】6【詳解】分析：先找到復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，再求的最大值.詳解：設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（3,4）為圓心半徑為1的圓，所以的最大值是.故答案為6點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)中的軌跡問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)表示以點(diǎn)(a,b)為圓心r為半徑的圓,不要死記硬背，直接化成直角坐標(biāo)，就一目了然.16．直三棱柱所有頂點(diǎn)都在球的表面上，且，，，則球的表面積為________． 【答案】【分析】直接利用三棱柱和外接球的關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)一步利用球的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，且，，，∴，設(shè)為外接圓的圓心為，，所以，設(shè)外接球的球心為，設(shè)球的半徑為，所以，故．故答案為：． 六、解答題17．實(shí)數(shù)取怎樣的值時(shí)，復(fù)數(shù)是：（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【答案】（1）或；（2）且；（3）.【分析】根據(jù)實(shí)部和虛部的不同取值決定何時(shí)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù).【詳解】（1）若，則為實(shí)數(shù)，此時(shí)或者.（2）若，則為虛數(shù)，此時(shí)且.（3）若 ，則為純虛數(shù)，此時(shí).【點(diǎn)睛】對(duì)于復(fù)數(shù)，（1）若，則為實(shí)數(shù)；（2）若，則為虛數(shù)，特別地，如果，則為純虛數(shù)，解題中注意合理分類．18．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，過頂點(diǎn)、、截下一個(gè)三棱錐.(1)求剩余部分的體積；(2)求三棱錐的高.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出三棱錐的體積，再用正方體的體積減去三棱錐的體積，即可求得剩余部分的體積，（2）利用等體積法求解即可【詳解】（1）因?yàn)?/span>所以剩余部分的體積，（2）由（1）知，設(shè)三棱錐的高為，由正方體的性質(zhì)可知為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，則，所以，解得.所以三棱錐的高為19．已知非零向量、，滿足，，且．(1)求向量、的夾角；(2)求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)結(jié)合可得，然后利用結(jié)合數(shù)量積的定義可求得答案，（2）先求出，然后平方可得結(jié)果【詳解】（1）∵，∴，即，                        又，∴，設(shè)向量、的夾角為，∵，∴，∴，∵，∴，即向量、的夾角為；（2）∵∴．20．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足acosC－b－=0.(1)求A；(2)若a=求b+2c的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用余弦定理得到，進(jìn)而即得；（2）利用正弦定理可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）由余弦定理可得：，即所以，又，所以；（2）由題意，則，則，由，得，則，故b+2c的取值范圍為.21．如圖，在中，，，，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將用和表示，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計(jì)算出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）將利用和表示，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計(jì)算出的值．【詳解】（1），，，，，，.；（2），，，.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量模與數(shù)量積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底將題中所涉及的向量表示出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，D為邊上一點(diǎn)，.（1）若，求；（2）若的面積為，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接由正弦定理求得；（2）利用面積公式求出，利用向量中線公式求出，用數(shù)量積求出模長(zhǎng)即可.【詳解】解：（1）依題意得，則，在中，由正弦定理得：，即，所以.（2）因?yàn)?/span>，所以，由可得，，則，所以.【點(diǎn)睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來(lái)選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來(lái)選擇． 

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