2022-2023學(xué)年湖南省長沙市明德中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時量：120分鐘滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，則x的值為（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的定義運(yùn)算求解.
詳解】∵，則.
故選：D.
2. 已知集合M?{2，3，5}，且M中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合M共有（）
A. 5個B. 6個
C. 7個D. 8個
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合子集的概念及題意一一列舉即可.
【詳解】若M有一個元素，則；
若M有兩個元素，則；
若M有三個元素，則
∴滿足題意的集合M的個數(shù)為6個.
故選：B.
3. 若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）
A. B. 1C. -1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求出虛部.
【詳解】，故，的虛部為1.
故選：B
4. （）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角的正弦值進(jìn)行求解即可.
【詳解】.
故選：C
5. 已知是兩條不重合直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】在A中，與相交或平行；在B中，與相交或平行；在C中，與相交或平行；在D中，由線面垂直，線線平行的性質(zhì)得．
【詳解】，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，知：
在A中，若，，，，則與相交或平行，故A錯誤；
在B中，若，，，則與相交或平行，故B錯誤；
在C中，若，，，則與相交或平行，故C錯誤；
在D中，若，，，則由線面垂直，線線平行的性質(zhì)可得，故D正確．
故選：D．
6. 若，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為，使成立，求的最小值即可.
【詳解】因為，使得不等式成立，
所以，使得不等式成立，
令，，
因為對稱軸為，，
所以，
所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
7. 已知O是△ABC外接圓的圓心?若，，則（）
A. 10B. 20C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】，后結(jié)合圖形及向量投影可得答案.
【詳解】，設(shè)中點(diǎn)為D，BA中點(diǎn)E，因O是△ABC外接圓的圓心，則在方向上的投影向量為,在方向上的投影向量為，
則，.
故.
故選：C
8. 已知圓柱的底面半徑和母線長均為分別為圓?圓上的點(diǎn)，若，則異面直線所成的角為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在圓的投影為，連接，計算，根據(jù)余弦定理得到，得到答案.
【詳解】如圖所示：在圓的投影為，連接，易知，
在直角中，，
在中，根據(jù)余弦定理，，
，故，
故異面直線所成的角為.
故選：C.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.
9. 下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題，其中為真命題的是（）
A. |z|＝B. z2＝2i
C. z的共軛復(fù)數(shù)為D. z是關(guān)于x的方程的一個根
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行計算求解.
【詳解】因為，所以，故A正確；
因為，故B正確；
因為z的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯誤；
因為方程，所以，
所以方程的根為，故D正確.
故選：ABD.
10. 下列說法正確的是（）
A. 若，則或
B. 是函數(shù)的一條對稱軸
C.
D. 若，則在方向上的投影向量的模為
【答案】CD
【解析】
【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及平面向量向量積的運(yùn)算，逐項判斷即可得到本題答案.
【詳解】對于選項A，因為，所以或，或者，故A錯誤；
對于選項B，因為函數(shù)的對稱軸方程為，且，所以不是函數(shù)的對稱軸，故B錯誤；
對于選項C，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以，故C正確；
對于選項D，設(shè)的夾角為，因為，所以，所以在方向上的投影向量，它的模，故D正確.
故選：CD
11. 如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，有下列判斷，其中正確的是（）
A. 異面直線與所成角的取值范圍是
B. 三棱錐的體積不變
C. 平面平面
D. 若，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)為中點(diǎn)時，異面直線與所成角為判斷A；根據(jù)判斷B；證明平面即可判斷C；將平面沿展開使其與平面重合時，再求的距離即可判斷D.
【詳解】解：對于A選項，由正方體的性質(zhì)易知，為等邊三角形，
所以，當(dāng)為中點(diǎn)時，，
所以，此時，異面直線與所成角為，故A選項錯誤；
對于B選項，由正方體的性質(zhì)易知平面，平面，側(cè)面為正方形，
所以，，由于平面，
所以平面
設(shè)到平面的距離為，則，
因為，
所以，三棱錐的體積，故正確；
對于C選項，由正方體的性質(zhì)易知平面，平面，
所以，，由于，平面，
所以平面，平面，
所以，同理證得，
由于，平面，
所以平面，因為平面，
所以平面平面，故C選項正確；
對于D選項，根據(jù)題意，將平面沿展開使其與平面重合時，如圖，
因為，所以，，
所以，故正確；
故選：BCD
12. 已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且對于任意，都有，則（）
A. B.
C. 為偶函數(shù)D. 為奇函數(shù)
【答案】BCD
【解析】
【分析】由題意可得，結(jié)合為奇函數(shù)可得，從而可判斷選項A；由，得，在中，令可判斷選項B；由，可判斷選項C；由，可判斷選項D.
【詳解】由為奇函數(shù)，可得，即，
又因為，所以，即,
所以，所以，故選項A錯誤；
由，得，由，得，
所以，故選項B正確；
由，，得，
所以為偶函數(shù)，故選項C正確；
由，，可得，
所以，
即，故為奇函數(shù)，故選項D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)為________
【答案】0
【解析】
【分析】令，求得函數(shù)的零點(diǎn).
【詳解】令，得，
解得.
故答案為：0
14. 已知，，，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用，展開計算即可求得答案.
【詳解】由，，，
可得，
故答案為：
15. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可求得的最小值.
【詳解】因為，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.
故答案為：.
16. 如圖正方體的棱長是3，E是上的動點(diǎn)，P、F是上、下兩底面上的動點(diǎn)，Q是EF中點(diǎn)，，則的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】以為頂點(diǎn)構(gòu)造棱長為2的正方體，利用對稱性將轉(zhuǎn)化為，由圖形得到四點(diǎn)共線時取最小值，進(jìn)而求解.
【詳解】以為頂點(diǎn)構(gòu)造棱長為2的正方體，
由對稱得，，
因為是上的動點(diǎn)，是下兩底面上的動點(diǎn)，
則是直角三角形，是中點(diǎn)，且，故，
所以取最小值時，四點(diǎn)共線，
則，此時．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】在平面解析幾何中求直線上一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)（在直線同一側(cè)）的距離之和的最小值時，通常將其中一定點(diǎn)對稱到直線的另一邊，利用三點(diǎn)共線時距離之和最小，在立體幾何中也有類似的方程，此題中作正方體的目的就是為了找出關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，從而將轉(zhuǎn)化為求最小值.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，O是底面圓心，AB是底面圓的直徑，，．
（1）求圓錐的表面積；
（2）經(jīng)過圓錐的高PO的中點(diǎn)作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺的體積．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由題意可知，該圓錐的底面半徑，母線，從而可求出錐的表面積，
（2）先求出大圓錐的高，從而可求出小圓錐的高，進(jìn)而可得圓臺的體積等于大圓錐的體積減去小圓錐的體積
【詳解】解：（1）由題意可知，該圓錐的底面半徑，母線．
∴該圓錐的表面積．
（2）在中，，
∵是PO的中點(diǎn)，∴．
∴小圓錐的高，小圓錐的底面半徑，
∴截得的圓臺的體積．
18. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求C的大?。?br>（2）已知a+b＝8，求△ABC的面積的最大值．
【答案】（1）C
（2）．
【解析】
【分析】（1）先把題給條件化為，再利用余弦定理即可求解C的值．
（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面積公式即可求得△ABC的面積的最大值．
【小問1詳解】
∵，
∴，
∴，∴，
∴csC，
又∵C∈（0，π），∴C．
【小問2詳解】
∵（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時取等號），∴ab≤16，
∴S△ABC 的最大值為16×sin．
19. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且.
（1）證明：平面平面ACE；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：由已知可推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可證平面PBD，由此能證明平面平面ACE；法二：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面平面ACE.
（2）法一：由題意可推出CE在平面PBD內(nèi)的射影為OE，是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值；法二：求出平面PAC的一個法向量和平面ACE的一個法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AC﹣E的余弦值.
【小問1詳解】
解法一：
證明：平面ABCD，，
又底面ABCD是菱形，，
而，平面，
平面PBD，
而平面ACE，
所以平面平面ACE.
解法二：
證明：已知底面ABCD是菱形，，
又平面ABCD，所以BO，CO，PO互相垂直，
故可以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
由，，可知相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)如下：
，，，，，
易知平面PBD的一個法向量為，
因為，所以，
故平面PBD，
從而平面平面ACE.
【小問2詳解】
解法一：
觀察圖可知平面平面PBD，
故CE在面PBD內(nèi)的射影為OE，
，，
又由（1）可得，，，
故是二面角的平面角，
菱形ABCD中，，，
∴，，
又，∴，
∴，
∴，
即二面角的余弦值為.
解法二：
設(shè)，則，
，∴，故，
可得，
易知平面PAC的一個法向量為，
設(shè)平面ACE的一個法向量，
則，取，得，
∴，
即二面角的余弦值為.
20. 如圖，在長方體中，分別為的中點(diǎn)，是上一個動點(diǎn)，且.
（1）當(dāng)時，求證：平面平面；
（2）是否存在，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.
【解析】
【詳解】(1)當(dāng)時，為中點(diǎn)，
因為是的中點(diǎn)，所以,
則四邊形是平行四邊形，所以.
又平面平面，所以平面.
因為分別是中點(diǎn)，所以.
因為平面平面，所以平面.
因平面平面，所以平面平面.
(2)如圖，連接與,
因為平面平面，所以.
若又平面，且，所以平面.
因為平面，所以.
在矩形中，由，得,
所以.
又，所以,
則，即.
21. “方艙醫(yī)院”原為解放軍野戰(zhàn)機(jī)動醫(yī)療系統(tǒng)中的一種，是可以移動的模塊化衛(wèi)生醫(yī)療平臺，一般由醫(yī)療功能區(qū)、病房區(qū)等部分構(gòu)成，具有緊急救治、外科處置、臨床檢驗等多方面功能．某市有一塊扇形地塊，因疫情所需，當(dāng)?shù)卣F(xiàn)緊急劃撥該地塊為方艙醫(yī)院建設(shè)用地．如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域擬建成病房區(qū)，陰影區(qū)域擬建成醫(yī)療功能區(qū)，點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段OA和線段OB上，且米，．記．
（1）當(dāng)時，求；
（2）請寫出病房區(qū)OMPN的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時，S取得最大值．
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求出，再利用數(shù)量積的定義求解作答.
（2）利用正弦定理用表示出，再利用三角形面積公式、結(jié)合三角恒等變換求解作答.
【小問1詳解】
四邊形是平行四邊形，
在中，，，
，
由正弦定理得：，即，
于是，，
所以.
【小問2詳解】
四邊形是平行四邊形，
在中，，，
由正弦定理得：，即，
因此，
從而
，，
顯然，因此當(dāng)，即時，，取得最大值，
所以，當(dāng)時，取得最大值.
22. 已知定義域不為的函數(shù)（為常數(shù)）為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義，代入計算即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，得到函數(shù)的值域，然后根據(jù)函數(shù)與的單調(diào)性進(jìn)行討論，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可得，，則
化簡得，
因為，所以，即
當(dāng)時，，其定義域為，不符合題意；
當(dāng)時，，其定義域為，滿足題意
所以，
【小問2詳解】
因為，所以在上恒成立，
則必有時，，當(dāng)時，，則，
所以，
，
因為，所以，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，
即
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，先增后減，在或處取得最小值，且，，
，其中為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，又，故
綜上，
因為在遞減，在遞增，
當(dāng)時，令，則其單調(diào)遞增，且，
則存在，使得，又，故，
所以
當(dāng)時，，不符合要求；
當(dāng)時，令
所以，綜上，存在

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