長(zhǎng)郡中學(xué)2023年上學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)命題人：饒金偉  審題人：李典芳時(shí)量：120分鐘  滿分：150分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（    ）A. B. C. D.2.定義：若，則稱復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的平方根.根據(jù)定義，復(fù)數(shù)的平方根為（    ）A.，  B.，C.，  D.，★3.與向量垂直的單位向量為（    ）A.  B.或C.  D.或★4.一個(gè)球的外切正方體的表面積等于，則此球的體積為（    ）A. B. C. D.5.在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球半徑為（    ）A.3 B. C. D.66.下列命題正確的為（    ）①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于P、Q，R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；②若三條直線a，b、c互相平行且分別交直線于A、B、C三點(diǎn)，則這四條直線共面；③已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面；④已知a，b，c為三條直線，若，，則.A.①③ B.②③ C.②④ D.①②★7.如圖，在中，已知，，，、邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為（    ）A. B. C. D.8.如圖，某人用長(zhǎng)的繩索，施力，把重物沿著坡度為30°的斜面向上拖了，拖拉點(diǎn)在豎直方向距離斜面的高度為，則此人對(duì)該物體所做的功為（    ）A. B. C. D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知為復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列命題一定正確的是（    ）A.若為純虛數(shù)，則 B.若，則C.若，則的最大值為2 D.★10.關(guān)于直線，與平面，，下列命題正確的是（    ）A.若，，且，則B.若，，且，則C.若，，且，則D.若，，且，則11.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是（    ）A.  B.與所成的角為60°C.與是異面直線 D.平面12.已知兩個(gè)不相等的非零向量、，兩組向量、、、、和、、、、均由2個(gè)和3個(gè)排列而成.記，表示所有可能取值中的最小值.則下列命題中真命題為（    ）A.可能有5個(gè)不同的值B.若，則與無(wú)關(guān)C.若，則D.若，，則與的夾角為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）★13.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體沿著相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐，則此棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比是______.14.已知向量，，則向量的模的最大值是______.★15.在復(fù)平面內(nèi)，為原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，將繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且將向量的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得向量，此時(shí)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.現(xiàn)有一平行四邊形，如圖，，，，，則點(diǎn)直角坐標(biāo)為______.16.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是______.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）已知復(fù)數(shù)，，其中是實(shí)數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是純虛數(shù)，是正實(shí)數(shù)，求.18.（12分）某校學(xué)生利用解三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).處有一棟大樓，某學(xué)生選，兩處作為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得的距離為，，，在處測(cè)得大樓樓頂的仰角為75°.（1）求兩點(diǎn)間的距離；（2）求大樓的高度.19.（12分）已知在直角三角形中，，，.（1）若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積；（2）一只螞蟻在問(wèn)題（1）形成的幾何體上從點(diǎn)繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離.20.（12分）在銳角中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知邊，且.（1）若，求的面積；（2）記邊的中點(diǎn)為，求的最大值，并說(shuō)明理由.21.（12分）如圖所示，點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，并且滿足，已知，，.（1）若是的外心，求、的值；（2）如果是的平分線上某點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，求的值.22.（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，，底面，，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 長(zhǎng)郡中學(xué)2023年上學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號(hào)12345678答案DCBCCDAB1.D  【解析】若向量與向量共線，則存在實(shí)數(shù)，使，∴，∴解得.2.C  【解析】設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，則，化簡(jiǎn)得，所以，，解得，或，，即復(fù)數(shù)的平方根為或.5.C  【解析】由正弦定理得，外接圓直徑為，得.設(shè)球心到平面的距離為，則.∴三棱錐的外接球半徑為.6.D  【解析】對(duì)于①，設(shè)平面平面，因?yàn)?/span>，平面，所以，同理，，故、、三點(diǎn)共線，①正確；對(duì)于②，因?yàn)?/span>，所以，可以確定一個(gè)平面，因?yàn)?/span>，，，，所以，所以，又，所以，因?yàn)?/span>，所以或，又，所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以②正確；對(duì)于③，直線、異面，、異面，則，可能平行、相交或異面，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，，則，可能平行、相交或異面，所以④錯(cuò)誤.7.A  【解析】即為向量與的夾角，設(shè)，，且，則，，所以，，所以，故.8.B  【解析】在中，由正弦定理，，∴.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)9101112答案BCDBCACDBC9.BCD  【解析】對(duì)于A，為純虛數(shù)，所以即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?/span>，所以，從而，所以B正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，所以C正確；對(duì)于D，，所以D正確.11.ACD  【解析】如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：，，故，A正確，B錯(cuò)誤；與是異面直線，C正確；平面平面，平面，平面，D正確.故選ACD.12.BC  【解析】根據(jù)題意得的取值依據(jù)所含的個(gè)數(shù)，分三類：有0個(gè)、有1個(gè)、有2個(gè)，記，分別得的取值為：，，，則至多有3個(gè)不同的值，A錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)，，，又，為非零向量，則，與無(wú)關(guān)，B對(duì)；若，則，，，則，C對(duì)；若，則，，，∵，，∴，解得，∴，D錯(cuò)誤.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.14.  【解析】∵，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，且為.15.16.  【解析】如圖，在棱上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接，，，由于，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，，故四邊形為平行四邊形，進(jìn)而，又因?yàn)?/span>，分別是，的中點(diǎn)，所以，所以，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.設(shè)，則.，.從而，，，，故，故異面直線與所成角的余弦值是.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.【解析】（1）∵，，，∴，從而解得；……（5分）（2）依題意得：，因?yàn)?/span>是純虛數(shù)，所以從而或；……（7分）又因?yàn)?/span>是正實(shí)數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，，……（8分）因?yàn)?/span>，，，，…，，，，，，所以，所以.……（10分）18.【解析】（1）因?yàn)?/span>，在中，因?yàn)?/span>，，所以；……（6分）（2）在中，因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>，所以.……（12分）19.【解析】（1）在直角三角形中，由，，即，得，若以為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，則，其表面積為；……（6分）（2）由問(wèn)題（1）的圓錐，要使螞蟻爬行的距離最短，則沿點(diǎn)的母線把圓錐側(cè)面展開(kāi)為平面圖形，最短距離就是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，，在中，由余弦定理得.……（12分）20.【解析】（1）在中，，∴，則由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，當(dāng)時(shí)，為正三角形，，∴；……（6分）（2）由余弦定理可知：，∵，，∴，∵邊的中點(diǎn)為，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.……（12分）21.【解析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，顯然，，由，設(shè)的中點(diǎn)為，顯然，，由，即，；……（6分）（2）因?yàn)?/span>是的平分線上某點(diǎn)，所以，所以由，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，所以，所以.……（12分）22.【解析】（1）∵平面，平面，∴，∵在荾形中，，且，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；……（6分）（2）連接，則平面平面，由（1）知平面，則，，，故是二面角的平面角.∵，，、平面，∴平面，∴.在荾形中，，，則是等邊三角形，則易知，又，∴，故，∴，即二面角的余弦值為.……（12分）  

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