2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市第二中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】計(jì)算得到，得到答案.【詳解】，則.故復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一象限.故選：A.2．已知，，，則向量與向量的夾角為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，得到，再根據(jù)向量的夾角公式，得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以得到，記向量與向量的夾角為，且，，所以，而所以，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的計(jì)算，通過(guò)向量夾角公式求向量的夾角，屬于簡(jiǎn)單題.3．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（ ）A．16cm B．cmC．8cm D．cm【答案】A【分析】由直觀圖確定原圖形中平行四邊形中線段的長(zhǎng)度與關(guān)系，然后計(jì)算可得．【詳解】由斜二測(cè)畫法，原圖形是平行四邊形，，又，，，所以，周長(zhǎng)為．故選：A．4．在中，下列各式正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用正弦定理、余弦定理以及誘導(dǎo)公式判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由正弦定理有，故，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，由余弦定理得；故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由正弦定理可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：，即，故選項(xiàng)D正確；故選：D5．已知在正方體中，交于點(diǎn)，則（    ）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【分析】由線面平行的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】作出圖形如圖所示，連接，因?yàn)?/span>，所以平面平面，故平面，其他三個(gè)選項(xiàng)易知是錯(cuò)誤的.故選：C.6．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”．如圖，四棱錐P﹣ABCD為陽(yáng)馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點(diǎn)，則直線CE與平面PAD所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明平面，找出線面角，再解三角形即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>平面平面，故可得，又平面，故可得平面.連接.故即為所求直線CE與平面PAD所成角.不妨設(shè)PA＝AB＝AD，故在直角三角形中，，故可得.則.則直線CE與平面PAD所成角的正弦值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求解，注意線面垂直的證明，屬綜合基礎(chǔ)題.7．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，若最長(zhǎng)邊為，則最短邊長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先結(jié)合角的范圍利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得角的正余弦，再利用三角形內(nèi)角和為和誘導(dǎo)公式計(jì)算角的正余弦，判斷c為最大邊，為最短邊，利用正弦定理求出即可.【詳解】由知，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得，，由知，得，，∴，，即為鈍角，為最大角，故c為最大邊，有，由知，最短邊為，于是由正弦定理，即求得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于通過(guò)計(jì)算內(nèi)角的正余弦值判斷c為最大邊，為最短邊，才能再利用已知條件和正弦定理計(jì)算突破答案.8．已知O是銳角三角形ABC的外接圓圓心，若，則m的值是（    ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，結(jié)合以及正弦定理求得，進(jìn)而求得正確選項(xiàng).【詳解】依題意，為銳角.，.取的中點(diǎn)，則代入可得：，由于，所以，由兩邊乘以得：，，由正弦定理得，即，由于，兩邊除以得，所以.故選：A 二、多選題9．已知，表示兩條不同直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】BC【分析】采用逐一驗(yàn)證，根據(jù)線線、線面相關(guān)的判定定理以及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，，則與可能相交?平行或異面，A錯(cuò)誤；由直線與平面垂直的性質(zhì)得選項(xiàng)B正確；依據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理得C正確；選項(xiàng)D中可能與平面平行?垂直?斜交或在平面內(nèi).故選：BC10．若復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B．z的實(shí)部為1 C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式以及除法運(yùn)算可得，進(jìn)而可判斷A,B,根據(jù)共軛復(fù)數(shù)可判斷C，根據(jù)乘方運(yùn)算，可判斷D.【詳解】由得：，因此A錯(cuò)誤，實(shí)部為1，則B正確，，故C錯(cuò)誤，，故D正確.故選:BD11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M，N分別為接CD，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面內(nèi)部（不含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則（   ）A．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面MNQ截正方體所得的多邊形可能為四邊形、五邊形或六邊形B．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，均有平面MNQ⊥平面C．當(dāng)點(diǎn)Q為的中點(diǎn)時(shí)，直線平面MNQD．當(dāng)點(diǎn)Q為的中點(diǎn)時(shí)，平面MNQ故正方體的外接球所得截面的面積為【答案】BCD【分析】點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面MNO截正方體所得的多邊形可能為五邊形成六邊形判斷A，根據(jù)線面垂直即可判斷B，根據(jù)線線平行可判斷C，根據(jù)幾何體外接球的性質(zhì)可計(jì)算長(zhǎng)度求解半徑即可判斷D.【詳解】如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面MNO截正方體所得的多邊形可能為五邊形成六邊形，故A錯(cuò)誤；由于平面,所以平面,由于,故直線MN⊥平面，平面MNQ，平面MNQ⊥平面，故B正確；如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)Q為中點(diǎn)時(shí)，截面MNSER為五邊形，直線MN與直線AC交于點(diǎn)T，易得：，又在平面中，易得，所以，平面MNQ,平面MNQ ,則直線平面MNQ，故C正確；如圖4所示，由C選項(xiàng)可知，，所以球心O到平面MNQ的距離等于點(diǎn)A到平面MNQ距離的三分之一，又由B選項(xiàng)可知，點(diǎn)A到直線ET的距離即是點(diǎn)A到平面MNQ的距離，利用等面積法可得該距離為，所以球心O到平面MNQ的距離，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故D正確，故選:BCD．【點(diǎn)睛】三、填空題12．已知向量，，且，則_________．【答案】【分析】先計(jì)算出，再由得出的值.【詳解】，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.13．設(shè)分別為內(nèi)角的對(duì)邊.已知， ，則______.【答案】【分析】利用正弦定理邊角互化可得，結(jié)合利用余弦定理，化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】由題意知，則，因?yàn)?/span>,則，故，則由可得，即，故，故答案為：14．在中，，，為的重心，則________．【答案】6【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為，以及，再求數(shù)量積.【詳解】如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為的重心，，，所以 故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積，重心，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.15．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，且球心О在PC上，，，，則該鞠（球）的表面積為__________.【答案】【分析】畫出圖形，做出輔助線，利用勾股定理求出球的半徑，求出球的表面積.【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MP，由得：連接CM并延長(zhǎng)，交球O于點(diǎn)H，連接PH，因?yàn)?/span>PC球O的直徑，設(shè)球的半徑為R，則球的表面積為故答案為：. 四、解答題16．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，與共線，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐標(biāo)計(jì)算出模；（2）求出，再由共線列出式子即可計(jì)算.【詳解】(1)， 所以；(2)， 因?yàn)?/span>與共線，所以，解得m＝4.17．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.(1)求角A的大??；(2)若是角平分線，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，利用展開化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由，由正弦定理可得，因?yàn)?/span>，可得，所以，即，又因?yàn)?/span>，可得.（2）因?yàn)?/span>是角平分線，且，所以，所以，可得，可得，所以，所以，即.18．如圖，四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)M、N分別為直線上的點(diǎn)，且滿足．（1）求證：平面；（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接BD，由已知條件得到MN∥BD，進(jìn)而使用線面平行的判定定理證明；（2）利用等體積法轉(zhuǎn)化求解.【詳解】（1）連接BD，∵，∴MN∥BD，∵MN平面ABCD，BD平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（2）設(shè)N點(diǎn)到平面PBC的距離為d1，D點(diǎn)到平面PBC的距離為d2，∵，∴,依題可得VD-PBC=VP-DBC,又PA⊥平面ABCD，∴VP-DBC=SΔBCD·PA=,∴VD-PBC=SΔPBC·d2=,∵四邊形ABCD為正方形，∴CB⊥AB，又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，依題可得SΔPBC=,∴,∴,即點(diǎn)N到平面PBC的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，線面垂直的判定，等體積法求點(diǎn)到平面的距離，屬基礎(chǔ)題，19．已知函數(shù).（Ⅰ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)實(shí)數(shù)取最小值時(shí)，討論函數(shù)在時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由可知，區(qū)間是不等式解集的子集，由此可得出實(shí)數(shù)的不等式，解出即可；（Ⅱ）由題意可知，，則，令，可得出，令，對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，先討論方程的根的個(gè)數(shù)及根的范圍，進(jìn)而得出方程的根個(gè)數(shù)，由此可得出結(jié)論.【詳解】（Ⅰ），，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒有成立，則區(qū)間是不等式解集的子集，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（Ⅱ），由題意可知，，，令，得，令，則，作出函數(shù)和函數(shù)在時(shí)的圖象如下圖所示：作出函數(shù)在時(shí)的圖象如下圖所示：①當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程的根為，而方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程有兩根、，且，，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程有兩根分別為、，方程在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)根，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根，且，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；⑥當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根，方程在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用二次不等式求參數(shù)，同時(shí)也考查了復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的分類討論，解題時(shí)要將函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)來(lái)分析，考查數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題. 

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