2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】C【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用差比較法證明正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，如，而，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，如，而，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，則，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，如，而，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C2．等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故選：B.3．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【分析】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，我們可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．【詳解】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，x2﹣ax+3a＞0且函數(shù)f（x）=x2﹣ax+3a為增函數(shù)即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．4．設(shè)函數(shù)f（x）=log2x+2x-3，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（　　）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以f（1）==﹣1＜0，f（2）==2＞0，所以根據(jù)根的存在性定理可知在區(qū)間（1，2）內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn)．故選：B．點(diǎn)睛：一是嚴(yán)格把握零點(diǎn)存在性定理的條件；二是連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分條件，而不是必要條件；三是函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)且f(a)f(b)＜0，則f(x)在[a，b]上只有一個(gè)零點(diǎn).5．已知集合，．若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合、，分析可知?，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?/span>，或，因?yàn)?/span>是的充分不必要條件，則?，則或，解得或.故選：D.6．設(shè)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，且.若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.7．設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)偶函數(shù)可得，，再根據(jù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】是偶函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，且，，.故選：B.8．若，則A． B． C． D．【答案】C【分析】由及即可得解.【詳解】由，可得.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題. 二、多選題9．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值不可以為（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)可得出或，解出的值，然后對(duì)集合中的元素是否滿足互異性進(jìn)行檢驗(yàn)，綜合可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?/span>，且，則或，解得.當(dāng)時(shí)，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時(shí)，，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時(shí)，，合乎題意.綜上所述，.故選：ACD.10．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義以及指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A： 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，故是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是奇函數(shù)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)增，所以在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.11．心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為和，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)值．記某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓，t為時(shí)間，其函數(shù)圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（    ）．A． B．收縮壓為C．舒張壓為 D．每分鐘心跳80次【答案】BCD【分析】由正弦型函數(shù)的圖像，即可求出周期與最值，進(jìn)而求出頻率，即可判斷正誤.【詳解】由題圖知，，所以，可得，故選項(xiàng)A不正確；所以，由題圖知在一個(gè)周期內(nèi)最大值為120，最小值為70，所以收縮壓為，舒張壓為，故選項(xiàng)BC正確；每分鐘心跳數(shù)為頻率，故選項(xiàng)D正確. 故選：BCD.12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．的最小正周期是πB．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象D．若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】AD【分析】利用三角函數(shù)的知識(shí)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以的最小正周期是，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故D正確故選：AD 三、填空題13．若，則__________．【答案】【詳解】14．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)簡(jiǎn)稱“北京—張家口冬奧會(huì)”，將于2022.2.4～2022.2.20在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行.某公司為迎接冬奧會(huì)的到來(lái)，設(shè)計(jì)了一款扇形的紀(jì)念品，扇形圓心角為2，弧長(zhǎng)為12cm，則扇形的面積為______.【答案】36【分析】首先根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意、 cm，所以，即 cm，所以；故答案為：15．函數(shù)的最小值是__________．【答案】1【分析】化簡(jiǎn)可得，根據(jù)的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的最小值.【詳解】，因?yàn)椋?/span>，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為.故答案為：1.16．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，若關(guān)于x的不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________；【答案】【分析】先對(duì)不等式左邊進(jìn)行因式分解，再結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類討論，分，和三種情況，求出符合要求的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】可變形為，因?yàn)?/span>，所以，其中，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口朝下，不合題意；當(dāng)時(shí)，，解得：，所以不滿足整數(shù)解有且僅有3個(gè)，舍去；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口朝上，因?yàn)?/span>，所以不等式解集為，此時(shí)要想不等式解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)解為0，-1，-2，則必有，所以，結(jié)合，所以，所以，綜上：故答案為：. 四、解答題17．計(jì)算(1)(2)，，【答案】(1)1；(2). 【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，化簡(jiǎn)求解即可得出答案；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求解即可得出答案.【詳解】（1）.（2）.18．已知函數(shù)f（x）=log2（x+1）–2．（1）若f（x）>0，求x的取值范圍；（2）若x∈（–1，3]，求f（x）的值域．【答案】（1）x>3．（2）f（x）的值域?yàn)椋?/span>–∞，0]．【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式得結(jié)果，(2) 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)值域.【詳解】（1）函數(shù)f（x）=log2（x+1）–2，∵f（x）>0，即log2（x+1）–2>0，∴l(xiāng)og2（x+1）>2，∴l(xiāng)og2（x+1）>log24，∴x+1>4，∴x>3．（2）∵x∈（–1，3]，∴x+1∈（0，4]，∴l(xiāng)og2（x+1）∈（–∞，2]，∴l(xiāng)og2（x+1）–2∈（–∞，0]．∴f（x）的值域?yàn)椋?/span>–∞，0]．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及值域，考查基本求解能力.19．已知是銳角，且．（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求的值，【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得，從而得，進(jìn)而求得結(jié)果【詳解】（1）．（2），∴，∴，．【點(diǎn)睛】此題考查誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題20．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)當(dāng)時(shí)，求解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解即可；（2）先判斷函數(shù)在上的增減性，再由奇函數(shù)性質(zhì)得到，根據(jù)單調(diào)性解抽象不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，， 所以，因?yàn)?/span>，所以，故當(dāng)時(shí)， .（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，易知此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，也單調(diào)遞增，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，即，又因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)若，，求的值.【答案】(1)最大值為，最小值為(2) 【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化簡(jiǎn)得，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求得的最值；（2）先利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，再利用倍角公式求得，進(jìn)而利用正弦的和差公式求得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，又，所以，故，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2）因?yàn)?/span>，，所以，所以，，所以.22．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，．(1)若不等式有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若對(duì)于，，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由條件先求出的值，由不等式有解，分離參數(shù)可得，再求出的最大值即可.（2）由題意，得,然后分別求出的最大值即可.【詳解】（1）∵為上的奇函數(shù)，∴，又，∴，，∴．∵，∴為上的奇函數(shù)，，滿足題意，即．∵，即，∴．又∵，∴．（2）由題意，得．易知是增函數(shù)，是減函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，∴．，．設(shè)，設(shè)．①當(dāng)時(shí)，，得，又，∴．②當(dāng)時(shí)，，得或，∴．③當(dāng)時(shí)，，無(wú)解．綜上可得，． 

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