2022-2023學年福建福州第三中學高一下學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知向量，，若與共線，則實數(shù)=（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用向量共線的坐標表示即可求解.【詳解】由題意，解得.故選：B2．已知為實數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則復數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)，列方程求出的值，進而可得復數(shù)的虛部.【詳解】由已知，解得，故，其虛部為，故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的概念，注意純虛數(shù)為實部為0，虛部不為0，是基礎題.3．用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點,要求精確度為時,所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由二分法中區(qū)間長度的變化，分析可得經(jīng)過次操作后，區(qū)間的長度為，據(jù)此可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：開區(qū)間的長度等于1 ,每經(jīng)過一次操作,區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/span>經(jīng)過此操作后,區(qū)間長度變?yōu)?/span>，用二分法求函數(shù)在區(qū)間上近似解,要求精確度為，，解得，故選：C.4．函數(shù)的圖像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】先判斷函數(shù)為偶函數(shù)排除D；再根據(jù)當時， ，排除AC得到答案.【詳解】，,所以為偶函數(shù)，排除D；當時， ，排除AC； 故選：B.5．設，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】，，，因為，故. 故，故選：C.6．已知sin= ，則cos的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知條件由誘導公式可化為，再由余弦的二倍角公式可解．【詳解】解：，，．故選：．7．在中，角、、所對的邊分別是、、，若，邊上的高為，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的面積公式可得出，利用余弦定理和基本不等式可得出，可得出，結(jié)合求出角的取值范圍，即可得解.【詳解】因為，則，由余弦定理可得，當且僅當時，等號成立，即，即，因為，則，整理可得，即，即，因為，則，可得，故的最大值為.故選：B.8．已知，將的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位，得到的圖象．若對，都有成立，則（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡，再求出變換后的函數(shù)的解析式，根據(jù)條件結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)列方程求出，從而可計算出答案.【詳解】，將的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位，，所以對，都有成立，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，所以，則，所以.故選：A. 二、多選題9．（多選題）已知集合，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】根據(jù)集合求出集合內(nèi)部的元素，再對四個選項依次化簡即可得出選項.【詳解】根據(jù)題意，中，時，；時，；時，；時，，.選項A中，；選項B中，；選項C中，；選項D中，.故選：BC.【點睛】此題考查復數(shù)的基本運算，涉及復數(shù)的乘方和乘法除法運算，準確計算才能得解.10．如圖，平行四邊形中，，為的中點，與交于，則（    ）A．在方向上的投影向量為 B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)投影向量、向量線性運算、向量數(shù)量積、向量的模等知識對選項進行分析，由此確定正確選項．【詳解】解：平行四邊形中，，所以，則，所以，為的中點，與交于，所以在方向上的投影為0，即在方向上的投影向量為，所以A正確；因為，所以，則，故，，所以B正確；，所以C不正確；，即，所以D不正確．故選：AB．11．函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)在單調(diào)遞減B．函數(shù)圖象關(guān)于中心對稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象D．若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為【答案】AD【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)整體法或代入法可判AB的正誤，利用圖像變換可 判斷C的正誤，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D的正誤.【詳解】由圖象可得，且，故即，而，故，因為，故，故，對于A，當，，而在上為減函數(shù)，故在為減函數(shù)，故A正確.對于B，，故為函數(shù)圖象的對稱軸，故B錯誤.對于C，將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，故C錯誤.對于D，當時，，因為函數(shù)的值域為，故，故，故D正確.故選：AD.12．已知函數(shù)，若方程有四個不同的實數(shù)解，它們從小到大依次記為，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】將方程的實數(shù)解個數(shù)問題轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)的交點問題，即可求出k的取值范圍，并得到，，，之間的關(guān)系，其中，是方程的實數(shù)根，根據(jù)二元一次方程和韋達定理即可找到關(guān)系；，滿足等式.【詳解】當時，，在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞增，；當時，，在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞增，，若有四個不同的實數(shù)解，則，A正確；因為，所以，，所以，B錯誤；，根據(jù)韋達定理可知中，C正確；，，所以，D正確.故選：ACD 三、填空題13．已知i是虛數(shù)單位，設平行四邊形ABCD在復平面內(nèi)，A為原點，B，D兩點對應的復數(shù)分別是，，則點C對應的復數(shù)是________.【答案】【解析】分別得出點，點，點的坐標，再由四邊形ABCD是平行四邊形得出計算即可.【詳解】依題意得，，，，，四邊形ABCD是平行四邊形，，故點C對應的復數(shù)為.故答案為：【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于常考題.14．已知點在冪函數(shù)的圖象上，若，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，可求得a值，代入點坐標，可求得b值，根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性，化簡整理，即可得答案.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以，解得a=2所以，又在上，代入解得，所以，為奇函數(shù)因為，所以，因為在R上為單調(diào)增函數(shù)，所以，解得，故答案為：15．《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，若如圖所示的角，且小正方形與大正方形的面積之比為，則的值為______.【答案】【分析】將面積之比表示關(guān)于的三角函數(shù)，從而可求的值.【詳解】大正方形的邊長為，則小正方形的邊長為，故，故即，故，所以即，故或，因為，故，所以，故答案為：.16．已知函數(shù)，若至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】當時，易知必滿足題意；當時，根據(jù)可得，由最大值點的個數(shù)可構(gòu)造不等式組，結(jié)合確定具體范圍.【詳解】至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，當，即時，必存在兩個不相等的實數(shù)滿足題意；當，即時，，，；當時，解集為，不合題意；令，則；令，則；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)最值點的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠采用整體對應的方式，根據(jù)的范圍所需滿足的條件來構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果. 四、解答題17．已知向量，，.（1）求的值；（2）若，，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合平面向量減法以及模長的坐標公式可得，進而通過兩邊同時平方以及同角的平方關(guān)系以及兩角差的余弦公式的逆用即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合角范圍以及同角的平方關(guān)系求出和的值，進而利用兩角和的正弦公式湊角即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為向量，，所以，又因為，所以，，即，所以；（2）因為，，所以，所以，又因為，所以所以.18．已知集合，.(1)若，求；(2)求實數(shù)的取值范圍，使___________成立.從①，②，③中選擇一個填入橫線處求解.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)；(2)選，或選，或；選，. 【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合A，根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合B，結(jié)合并集的概念和運算即可得出結(jié)果；(1)根據(jù)(1)和補集的概念和運算求出和，利用集合間的包含關(guān)系和交并補的運算即可求出對應條件的參數(shù).【詳解】（1），，當時，，所以；（2）由(1)知，，，所以或，或，若選①，，則或，解得或，所以的取值范圍為或；若選②，，則或，解得或，所以的取值范圍為或；若選③，，則，解得，所以的取值范圍為.19．設虛數(shù)z滿足.（1）求證：為定值；（2）是否存在實數(shù)k，使為實數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）存在，.【解析】（1）設（x，，），代入已知條件可得結(jié)果；（2）假設存在實數(shù)k，使得為實數(shù)，利用復數(shù)的模的性質(zhì)將化為，從而，繼而可求得k的值.【詳解】（1）依題意，設（x，，），代入，得，整理得，即，所以為定值；（2）假設存在實數(shù)k，使得為實數(shù)，即：為實數(shù)，，，，故存在實數(shù)k，使為實數(shù)，此時.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查復數(shù)的基本概念，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于中檔題.20．如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若的面積為.(1)求的值;(2)求的最小值.【答案】(1);(2)【解析】（1）建立如圖所示直角坐標系，設，，求出，的坐標，可知由，，三點共線，即，列方程即可求出的值；（2）由(1)得，由面積可得，利用基本不等式可得最小值.【詳解】(1)建立如圖所示直角坐標系，設，，則，，由得，故，由得，所以，因為，，三點共線，所以，所以，解得.(2)由(1)得，因為，所以，所以，所以，當且僅當，時取得等號.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查三角形面積公式，屬于中檔題.21．如圖，在中，，D為AC邊上一點且，.（1）若，求的面積；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，利用正弦定理求得，進而通過二角和差公式求出，再通過面積公式得到答案；（2）由正弦定理求出、的表達式，求出的代數(shù)式，在運用角的關(guān)系和范圍求的取值范圍.【詳解】（1），，，在中，，解得：，；（2）在中，得：，在中，得：，，，，，整理得：，，，，故的取值范圍為.【點睛】思路點睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.22．若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，，則稱函數(shù)為定義域上的“階局部奇函數(shù)”．（1）若函數(shù)，判斷是否為上的“二階局部奇函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是上的“一階局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）對于任意的實數(shù)，函數(shù)恒為上的“階局部奇函數(shù)”，求的取值集合．【答案】（1）是上的“二階局部奇函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）．【解析】（1）當時，解方程，即可得出結(jié)論；（2）由可得出在上有解，再結(jié)合對數(shù)的真數(shù)恒為正數(shù)可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍；（3）由可得出在上有解，然后分和兩種情況討論，在時驗證即可，在時可得出，綜合可解得實數(shù)的取值范圍，再由可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，，即，由，可得且，得，，．所以，是上的“二階局部奇函數(shù)”；（2）由題意得，，所以，，可得在時有解，當時，，即；，，可得；，，可得.所以，，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（3）由題意得，在上有解，可知有解，即有解，當時，，滿足題意；當時，對于任意的實數(shù)，，，由，故．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的新定義“階局部奇函數(shù)”，解本題的關(guān)鍵就是利用新定義將問題轉(zhuǎn)化為方程在對應區(qū)間上有解的問題來處理，解決本題的第（2）問時要注意對數(shù)的真數(shù)在所給區(qū)間上恒成立，第（3）問在求解時要注意對變系數(shù)的二次方程的首項系數(shù)進行分類討論，結(jié)合進行求解. 

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