www.ks5u.com衡陽(yáng)市八中2021屆高三第三次月考數(shù)學(xué)試卷命題人：曾小權(quán)    審題人：肖中秋注意事項(xiàng)：本試卷滿分為150，時(shí)量為120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，則下列式子中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，，所以，,所以選項(xiàng)A正確，故選：A 2.在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項(xiàng)的和是（　?。?/span>．A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：利用等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得結(jié)果.詳解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，代入已知可得，即，故數(shù)列的前項(xiàng)之和．故選．3.我們將稱(chēng)為黃金分割數(shù)，亦可簡(jiǎn)稱(chēng)為黃金數(shù)，將離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線叫做黃金雙曲線，則（    ）A．黃金雙曲線的焦距是實(shí)軸與虛軸的等差中項(xiàng) B．黃金雙曲線的虛軸是實(shí)軸與焦距的等差中項(xiàng)C．黃金雙曲線的焦距是實(shí)軸與虛軸的等比中項(xiàng) D．黃金雙曲線的虛軸是實(shí)軸與焦距的等比中項(xiàng)【答案】D【解析】若雙曲線為黃金雙曲線，則滿足，即，，，，即虛軸是實(shí)軸與焦距的等比中項(xiàng).故選：D.4.函數(shù) 的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點(diǎn)（    ）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 【答案】A【解析】看圖可知周期滿足，故，，，，即，所以將向右平移個(gè)單位，得到.故選：A. 5.已知直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓心為C，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，聯(lián)立 可得：，即， 所以=又，所以圓的半徑故選：A 6.已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知：，設(shè)    以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：，，設(shè) 則， 當(dāng)時(shí)，的最小值為本題正確選項(xiàng)：  7.在三棱錐中，，，，，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，．因?yàn)?/span>，，，所以，所以．所以為棱錐外接球的球心，設(shè)半徑為，又，且，所以，，則．又由，且可證平面，所以，解得．所以外接球的表面積．故選：B．8.對(duì)于定義在上的函數(shù)，若存在正常數(shù)、，使得對(duì)一切均成立，則稱(chēng)是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”.在以下四個(gè)函數(shù)中：①；②；③；④.是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”的有（    ）個(gè)A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于①，可化為，即對(duì)一切恒成立，由函數(shù)的定義域?yàn)?/span>可知，不存在滿足條件的正常數(shù)、，所以，函數(shù)不是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”；對(duì)于②，若函數(shù)為“控制增長(zhǎng)函數(shù)”，則可化為，對(duì)一切恒成立，又，若成立，則，顯然，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，函數(shù)為“控制增長(zhǎng)函數(shù)”；對(duì)于③，，，當(dāng)且為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，恒成立，所以，函數(shù)是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”；對(duì)于④，若函數(shù)是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”，則恒成立，，若，即，所以，函數(shù)是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”.因此，是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”的序號(hào)是②③④.故選C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。 9．下列說(shuō)法中正確的是（    ）A．“”是真命題是“”為真命題的必要不充分條件B．命題“，”的否定是“，”C．若一個(gè)命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真D．在中，是的充要條件【答案】BCD【解析】對(duì)于A，“”是真命題，則“”一定為真命題，“”是真命題，則“”不一定為真命題，錯(cuò)誤；對(duì)于B，命題“，”的否定是“，”，正確；對(duì)于C，一個(gè)命題的逆命題與它的否命題互為逆否命題，同真假，正確；對(duì)于D，時(shí)單調(diào)遞減，，故D正確，故選：BCD10.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．平面B．四面體的體積是定值C．當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，直線AE與平面所成的角和直線AE與平面所成的角相等D．異面直線與所成角的正切值為【答案】AD【解析】對(duì)于A，在直三棱柱中，四邊形是矩形，因?yàn)?/span>，所以∥∥，所以平面，所以A正確；對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)?/span>，，，所以，因?yàn)?/span>∥，所以，所以，所以，所以，四面體的體積為，所以四面體的體積不是定值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，可直接判斷，顯然不對(duì)對(duì)于D，因?yàn)?/span>∥，所以異面直線與所成角為，在中，，所以，所以C正確；故選：AD11.已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)結(jié)論正確的是（    ）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．的一個(gè)周期是C．的最大值為2 D．是區(qū)間上的減函數(shù)【答案】BD【解析】由，對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，所以的最大值為，當(dāng)時(shí)，，取得最大值，所以的最大值為，故C不正確；對(duì)于D，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)，且，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故D正確；故選：BD12.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，面積為S，有以下四個(gè)命題中正確的是（    ）A．的最大值為B．當(dāng)，時(shí)，不可能是直角三角形C．當(dāng)，，A=2C時(shí)，的周長(zhǎng)為D．當(dāng)，，A=2C時(shí)，若O為的內(nèi)心，則的面積為【答案】ACD【解析】對(duì)于A， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令，故，因?yàn)?/span>，且，故可得點(diǎn)表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn)，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)的斜率，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即時(shí)，取得最小值，故可得， 又，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形為等邊三角形時(shí)，取得最大值.所以A正確； 對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A=2C，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>，所以化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>，所以，所以，則，所以，所以，，，因?yàn)?/span>，所以，所以的周長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D，由C可知，為直角三角形，且，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以D正確，故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知為整數(shù)，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則_____．【答案】【解析】復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，又a為整數(shù)，則a=0,故答案為14.已知，則            【答案】【解析】，，即，， . 15.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，且滿足，則______．【答案】解：由題可知：拋物線，準(zhǔn)線方程，則，有，，拋物線方程為：，，作準(zhǔn)線，交于點(diǎn),由拋物線的性質(zhì)得：，，設(shè)，則，，在三角形ABC中，由余弦定理可解得 16.設(shè)，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則這三個(gè)根之和為            ；若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍為__________．【答案】6，【解析】解：第一空：6第二空：∵時(shí)，，∴在與上的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，作出圖象如下：不防令，可得，，∴．∴，，，∴，，令，則原式化為：，，其對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上，故在遞增，∴，∴的取值范圍是．故答案為：．  四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．問(wèn)題：設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，______________，求的通項(xiàng)公式，并判斷是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】選①，，存在最大值，且最大值為4；選②，，存在最大值，且最大值為50；選③，，不存在最大值，理由見(jiàn)解析．【解析】解：選①：因?yàn)?/span>，，所以是首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列．所以．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)?/span>隨著的增大而減小，所以此時(shí)的最大值為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且，綜上，存在最大值，且最大值為4．選②：因?yàn)?/span>，，所以是首項(xiàng)為4，公差為的等差數(shù)列．所以， 由于，得，所以存在最大值，且最大值為或，因?yàn)?/span>，所以的最大值為50．選③：因?yàn)?/span>，所以，所以，，…，，所以，又，所以， 當(dāng)時(shí)，，故不存在最大值．18.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1，設(shè)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)（1）證明：BC⊥AM；（2）設(shè)平面MAB與平面FCB所成銳二面角為θ，求θ的最小值．【解析】（1）證明：在梯形ABCD中，因?yàn)?/span>AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°所以AB＝2，所以AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos60°＝3，所以AB2＝AC2+BC2，所以BC⊥AC．因?yàn)槠矫?/span>ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，因?yàn)?/span>BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．所以BC⊥平面AM（2）解：由（1）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則C（0，0，0），，B（0，1，0），M（λ，0，1）．∴，．設(shè)（x，y，z）為平面MAB的一個(gè)法向量，由得，取x＝1，則(1，，)，∵(1，0，0)是平面FCB的一個(gè)法向量∴cosθ∵，∴當(dāng)時(shí)，cosθ有最大值，θ的最小值為19.某市規(guī)劃一個(gè)平面示意圖為如下圖五邊形的一條自行車(chē)賽道，，，，，為賽道（不考慮寬度），為賽道內(nèi)的一條服務(wù)通道，，，.（1）求服務(wù)通道的長(zhǎng)度；（2）求折線段賽道的長(zhǎng)度的取值范圍.【答案】（1）5（2）見(jiàn)解析【解析】（1）連接，在中，由余弦定理得：，.，，又，，在中，.（2）在中，，.由余弦定理得，即，故，從而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即設(shè)計(jì)為時(shí)，折線段賽道最長(zhǎng).所以折線段賽道的長(zhǎng)度的取值范圍是20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，軸上方的點(diǎn)在拋物線上，且，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，與不重合），設(shè)直線，的斜率分別為，.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）已知，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）由拋物線的定義可以，,拋物線的方程為. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)，將直線與拋物線聯(lián)立得：又，即，，，將①代入得，即得或 當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過(guò);當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過(guò)（舍去）所以21.已知數(shù)列滿足：，；數(shù)列是等比數(shù)列，并滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和是，數(shù)列滿足，求證：.【解析】（1）由已知，，所以是常數(shù)列，，故設(shè)的公比是，由已知得，所以所以，故（2）累加得：所以，得證. 22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，其右焦點(diǎn)F到直線的距離為1，離心率為，A，B分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且不與x軸重合的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，直線與交于點(diǎn)Q.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）若三點(diǎn)不共線，直線的斜率存在，求證：【解析】（1）解：由題意可知，所以，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：因?yàn)橹本€l不與x軸重合，所以斜率不為0.因?yàn)?/span>l過(guò)點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為.由，得.設(shè)，，則，，則因?yàn)?/span>，所以，得，所以，所以直線l的方程為（3）證明：即證在中令得，所以.而直線的方程為，直線的方程為.由此得到.不妨設(shè)，則①，②，所以③.將①②③代入式，得， 所以

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