2022-2023學(xué)年黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0解出不等式，并結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，令，得或，又函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：C2．已知是等比數(shù)列，若，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得公比，由求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，解得：，.故選：B.3．日常生活中的飲用水是經(jīng)過凈化的，隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知將水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）約為，則凈化到純凈度為98%左右時(shí)凈化費(fèi)用的變化率，大約是凈化到純凈度為92%左右時(shí)凈化費(fèi)用變化率的（    ）A．16倍 B．20倍 C．25倍 D．32倍【答案】A【分析】先求出，再求出的值即得解.【詳解】解：由題意可知，凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為，，，，即凈化到純凈度為左右時(shí)凈化費(fèi)用的變化率，大約是凈化到純凈度為左右時(shí)凈化費(fèi)用變化率的16倍，故選：A．4．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，又由特殊點(diǎn)，可解此題.【詳解】由題意可得，令，得，可得在和上，，在上，，所以函數(shù)在和上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以C正確.故選：C5．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B6．若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．1 B．或 C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得，解出的值之后驗(yàn)證函數(shù)在處取得極大值.【詳解】函數(shù)，，函數(shù)在處有極大值，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處有極小值，不合題意.當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處有極大值，符合題意.綜上可得，.故選：D7．函數(shù)，若存在，對任意，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知，函數(shù)存在最大值，利用導(dǎo)數(shù)求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，函數(shù)在上存在最大值，令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，.①若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在最大值；②若，則當(dāng)時(shí)，存在使得，此時(shí)函數(shù)無最大值.綜上所述，.故選：A.8．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，， 由在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求得a的范圍，進(jìn)而再根據(jù)，得到的范圍，再由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，， 所以函數(shù)在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得，因?yàn)?/span>，且，，所以，且，所以，．令函數(shù)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍為．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，由在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求得a的范圍，進(jìn)而再根據(jù)，得到的范圍而得解. 二、多選題9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（    ）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)，或17時(shí)，取得最大值 D．【答案】BC【分析】根據(jù)，利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，求得通項(xiàng)公式后，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，所以兩式相減得，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，因?yàn)?/span>，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，由，解得，且所以當(dāng)或17時(shí)，取得最大值，所以，，.故選：BC10．若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如231?354等都是“凸數(shù)”，用這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（    ）A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為30B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為36C．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為24D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為20【答案】BD【分析】根據(jù)位置特殊限制的排列問題和“凸數(shù)”的概念分析，結(jié)合選項(xiàng)依次求解即可.【詳解】A：5個(gè)數(shù)組成無重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故A錯(cuò)誤；B：奇數(shù)為個(gè)位數(shù)是1，3，5的三位數(shù)，個(gè)數(shù)為，故B正確；C：“凸數(shù)”分為3類，①十位數(shù)為5，則有個(gè)；②十位數(shù)為4，則有個(gè)；③十位數(shù)為3，則有個(gè)，所以共有個(gè)，故C錯(cuò)誤；D：由選項(xiàng)C的分析可知，D正確；故選：BD.11．關(guān)于函數(shù)，有如下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（    ）A．函數(shù)有極小值也有最小值B．函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根D．若時(shí)，，則t的最小值為2【答案】ABD【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再由函數(shù)的變化趨勢，畫出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】由，得，令，解得：，令，解得：或，故在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：故的極小值是函數(shù)的最小值，故A選項(xiàng)正確；函數(shù)存在2個(gè)不同的零點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，只有兩個(gè)根，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若時(shí)，，則，所以的最小值為2，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（    ）A．有最小值 B．有最小值C． D．【答案】ACD【分析】對選項(xiàng)逐一判斷，首先對求導(dǎo)得到，再對進(jìn)行求導(dǎo)，得出的單調(diào)性及零點(diǎn)，即可得出，最值及單調(diào)性，即可判斷AB的正誤，由的增減性可知的凹凸性，由此可知的大小，即可判斷C的正誤，再構(gòu)造，同理可判斷D的正誤.【詳解】由于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則，又得其導(dǎo)函數(shù)為，故在定義域為單調(diào)遞增函數(shù)，知無最小值，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，但是指數(shù)函數(shù)始終增長的最快，故；又因?yàn)?/span>故一定存在，使得，所以在時(shí)為單調(diào)遞減，在時(shí)為單調(diào)遞增，故在處取得最小值，故A正確；又在定義域為單調(diào)遞增函數(shù)，可知在為凹函數(shù)，可得，即，故C正確；令，易知故，得其導(dǎo)函數(shù)故在定義域為單調(diào)遞增函數(shù)；故則，故D正確.故選：A C D 三、填空題13．若，則x的值為_______【答案】4【分析】利用排列組合公式，將方程化為關(guān)于x的一元二次方程求解，注意x的范圍.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，可得或，又，故.故答案為：414．某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負(fù)責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，每個(gè)數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有______種．【答案】240【分析】先把5名學(xué)生分成人數(shù)為的四組, 再把四組學(xué)生分給宋元數(shù)學(xué)四大家講述,根據(jù)等量分組及排列計(jì)算即可得到.【詳解】先把5名學(xué)生分成人數(shù)為的四組,共有種分法,再把四組學(xué)生分給宋元數(shù)學(xué)四大家講述則有種分法,所以分配方案有種.故答案為: 240.15．某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本萬元，當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬件時(shí)，（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬件時(shí)，（萬元）.已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，若該同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年全部售完，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大值是______（萬元）.（注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動(dòng)成本）【答案】5【分析】根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式,寫出分段函數(shù)的形式，結(jié)合函數(shù)解析式分別求出函數(shù)的最大值，比較即可得到結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，年利潤，當(dāng)時(shí)，年利潤，所以年利潤,當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），當(dāng)時(shí)，年利潤，所以，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，故答案為：.16．已知函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【分析】首先將不等式整理為，分別構(gòu)造函數(shù)與，然后利用導(dǎo)數(shù)研究的函數(shù)性質(zhì)并將作出其圖象，進(jìn)而將原問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】已知，即，令，，，則，易知在上單調(diào)遞增，又，，所以存在實(shí)數(shù)，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，又，是過定點(diǎn)的直線，所以畫出函數(shù)和的大致圖象如圖所示，令，，，由圖可知若存在唯一整數(shù)，使得成立，則需，而，所以，因?yàn)?/span>，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是將不等式變形為，并構(gòu)造函數(shù)與，將原問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)畫出與的大致圖像，通過數(shù)形結(jié)合的方法求出參數(shù)的取值范圍，該方法是解決函數(shù)整數(shù)解問題或者零點(diǎn)問題的一種重要手段. 四、解答題17．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解；（2）求商的導(dǎo)數(shù)，，由復(fù)合函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.（2）.18．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【答案】(1)；(2)，． 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)在曲線上，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，由題意可知，，，，所以，解得，，，所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以；（2）由（1）知，令，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取的極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，又，，所以，．19．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，已知．(1)求；(2)在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)選①：選②： 【分析】（1）利用與的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；（2）求出的通項(xiàng)公式，利用分組求和求得.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由,    可得,兩式相減，可得:，整理得，又，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.（2）選①：由(1)可得，.則.選②：由(1)可得，則.20．設(shè)函數(shù)，，其中，(1)若的圖象恒在圖象的上方，求m的取值范圍；(2)討論關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)題意將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可；（2）將方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為，仍令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>的圖象恒在圖象的上方，所以對一切恒成立，則恒成立，令，則，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以m的取值范圍；（2）方程等價(jià)于分離參數(shù)后的方程，仍令，則由（1）知：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即直線軸和是函數(shù)圖象的兩條漸近線，所以的大致圖象如圖所示，觀察圖象可知：當(dāng)或時(shí)根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為0.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．已知，.(1)若函數(shù)，在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求整數(shù)a的最小值.【答案】(1)(2)2 【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)恒成立，令，得到，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得；（2）轉(zhuǎn)化原不等式為在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意知：，則，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，則，而.因?yàn)?/span>，所以.所以（此時(shí)），所以.（2）由題意得，整理得，因?yàn)?/span>，所以原命題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，則，令，易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，，故存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也即為最大值，，故，又，故，又a為整數(shù)，故a的最小整數(shù)值為2.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．已知函數(shù)．(1)討論在上的單調(diào)性；(2)若時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）令，原不等式即證，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)通過單調(diào)性證明.【詳解】（1）由題意得．因?yàn)?/span>，所以．當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，則．①若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；②若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：方程，即，因?yàn)?/span>，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠?/span>有兩個(gè)實(shí)根，，令，，則關(guān)于t的方程也有兩個(gè)實(shí)根，，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，整理可得，不妨設(shè)，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1. 導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效. 

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這是一份黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含解析），共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2022-2023學(xué)年黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析，共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高二下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（普通班）含解析：

這是一份2022-2023學(xué)年黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高二下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（普通班）含解析，共14頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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