2022-2023學(xué)年江西省部分學(xué)校高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在等比數(shù)列中，若，，則（    ）A． B．9 C．15 D．7【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】.故選：A.2．已知，則（    ）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義式以及極限的性質(zhì)可求答案.【詳解】.故選：D.3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件作出切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率的定義即可求解.【詳解】依次作出函數(shù)在處的切線，如圖所示根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，．故選：B.4．已知為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率的最小值為（    ）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?/span>.，故曲線在點(diǎn)處的切線的斜率的最小值為2.故選：C.5．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出、，代值計(jì)算可得出函數(shù)的圖象在處的曲率.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，所以，，所以.故選：D.6．已知，則（    ）A．1 B．9 C．18 D．【答案】D【分析】兩邊求導(dǎo)，再利用賦值法，即可求解.【詳解】對等式兩邊求導(dǎo)，可得.令，可得.故選：D.7．若函數(shù)滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】易得，再將兩邊同時求導(dǎo)即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以為偶函數(shù)，將兩邊同時求導(dǎo)得，所以.故選：B.8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出和，從而求出，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，①所以，，②①-②得，，所以，故故，.故選：C. 二、多選題9．下列求導(dǎo)正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得答案.【詳解】若，則，故A錯誤；若，則，故B正確；若，則，故C正確；若，則，故D正確；故選：BCD.10．過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)求出，即可得解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得或，故切線方程為或.故選：BC.11．已知曲線在處的切線與曲線在處的切線重合，則（    ）A． B．C． D．曲線在處的切線方程為【答案】ACD【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】由題意可得，曲線在處的切線方程為.令，則，即，A正確.，曲線在處的切線方程為，即，所以解得，，B錯誤，C正確.曲線在處的切線方程為，D正確.故選：ACD.12．在如圖所示的數(shù)表中，第1行是從1開始的正整數(shù)，從第2行開始每個數(shù)是它肩上兩個數(shù)之和，則（    ）1   2   3   4   5    6   …3   5   7   9   11  …8  12  16   20  ……A．第2023行第1個數(shù)為B．第2023行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為的等差數(shù)列C．第2023行第2023個數(shù)為D．?dāng)?shù)表中小于50的數(shù)有89個【答案】ACD【分析】由表中數(shù)據(jù)可知，每行是等差數(shù)列，第行的公差為，每一行的第一個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，結(jié)合遞推關(guān)系得，進(jìn)而依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】數(shù)表中，每行是等差數(shù)列，且第一行的公差為1，第二行的公差為2，第三行的公差為4，第行的公差為.設(shè)每一行的第一個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，由數(shù)表可得，即所以，，，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以，第2023行第1個數(shù)為，A正確.第2023行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，B錯誤.第2023行第2023個數(shù)為，C正確.第1行小于50的數(shù)有49個；第2行的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，則第2行小于50的數(shù)字有24個；第3行的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，則第3行小于50的數(shù)有11個；第4行的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，則第4行小于50的數(shù)有4個；第5行的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，則第5行小于50的數(shù)有1個.故數(shù)表中小于50的數(shù)有89個，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于建立等差數(shù)列模型，進(jìn)而根據(jù)每一行的第一個數(shù)構(gòu)成數(shù)列的遞推關(guān)系求解的通項(xiàng)公式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題解決. 三、填空題13．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為______.【答案】  【分析】根據(jù)平均變化率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故答案為：14．已知函數(shù)，則________.【答案】/-0.5【分析】將作為常量對求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，再將作為未知量求解即可.【詳解】由解析式知：，即，解得.故答案為：. 四、雙空題15．一個裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯內(nèi)放入一個圓柱形鐵塊后，水面剛好和鐵塊的上底面齊平，如圖所示．已知該水杯的底面圓半徑為6 cm，鐵塊底面圓半徑為3 cm，放入鐵塊后的水面高度為6 cm，若從時刻開始，將鐵塊以1 cm/s的速度豎直向上勻速提起，在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面將______（填“勻速”或“非勻速”）下降；在時刻，水面下降的速度為______ cm/s．【答案】     勻速     【分析】由圓柱形鐵塊豎直向上勻速提起，可得水面勻速下降；根據(jù)已知得出水面高度H與時刻的函數(shù)關(guān)系，通過導(dǎo)數(shù)求瞬時速度.【詳解】設(shè)在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面高度為H，鐵塊離開水面的高度為h，則水和鐵塊的體積為，即①．鐵塊距離杯底的高度為②．由①②可得．令函數(shù)，則．故水面將勻速下降，下降的速度為．故答案為：勻速；. 五、填空題16．已知數(shù)列滿足，，若對任意，，不等式恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【分析】將兩邊同除，即可得到，從而得到為常數(shù)數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，則，原題等價于對任意恒成立，令，則，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，所以，所以為常數(shù)數(shù)列，即，可得，所以，所以原題等價于對任意恒成立，令，，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為： 六、解答題17．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用商的求導(dǎo)法則可得答案；（2）利用積的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得答案.【詳解】（1）；（2）.18．設(shè)某高山滑雪運(yùn)動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程（單位：m）與時間（單位：s）滿足關(guān)系式.(1)當(dāng)時，求該運(yùn)動員的滑雪速度；(2)當(dāng)該運(yùn)動員的滑雪路程為37m時，求此時的滑雪速度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)路程與時間關(guān)系，求解即可得答案；（2）解方程得，再求即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時，該運(yùn)動員的滑雪速度為.（2）解：由題意得，解得或（舍去）.因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)運(yùn)動員的滑雪路程為37m時，此時的滑雪速度為.19．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）當(dāng)時，由結(jié)合變形可得出，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出，可求得數(shù)列的表達(dá)式，可得出，求出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：當(dāng)時，，即.當(dāng)時，，得（舍去），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（2）證明：由（1）得.因?yàn)?/span>，所以，..20．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，曲線在處的切線與軸平行.(1)求，的值.(2)試問曲線上任一點(diǎn)處的切線與軸和直線所圍成的三角形的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，2 【分析】（1）由可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即可求出a、b；（2）由（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，令求出切線與軸的交點(diǎn)B坐標(biāo)，切線方程聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)C坐標(biāo)，再求出直線與y軸的交點(diǎn)D，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.，因?yàn)榍€在處的切線與軸平行，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故；（2）由（1）可得，.在曲線上任取一點(diǎn)，則曲線在處的切線方程為.令，可得，所以切線與軸交于點(diǎn).聯(lián)立解得所以切線與直線交于點(diǎn)直線與軸交于點(diǎn)，則，所以.故曲線上任一點(diǎn)處的切線與軸和直線所圍成的三角形的面積為定值2.21．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程.(2)若，是否存在直線與曲線和都相切？若存在，求出直線的方程（若直線的方程含參數(shù)，則用表示）；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，或 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得方程；（2）先求兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用公切線建立等量關(guān)系，求解方程可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，，.曲線在處的切線方程為，即.（2）設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，，.曲線在點(diǎn)A處的切線為，與曲線相切于點(diǎn)，則且（*），由，則，代入（*）得，解得或.當(dāng)時，直線.當(dāng)時，，直線.故存在直線與曲線和都相切，直線的方程為或.22．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，若對于任意恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法可求得的表達(dá)式，由參變量分離法可得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列最小項(xiàng)的值，即可出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，整理得，解得，所以.（2）解：因?yàn)?/span>，所以，所以，，兩式相減得，所以，因?yàn)?/span>對于恒成立，所以，即，令函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，，所以，.故的取值范圍為. 

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