2022-2023學年河北省張家口市部分學校高二上學期期中數學試題 一、單選題1．已知直線l的斜率為，則其傾斜角為（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據斜率的定義及傾斜角的范圍可得答案.【詳解】設直線的傾斜角為，則，所以斜率.故選：C．2．圓的半徑等于（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】圓的一般方程配方成標準方程后可得半徑．【詳解】把圓化為標準方程得，圓，所以圓的半徑為．故選：B．3．已知直線與直線垂直，則（    ）．A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據直線與直線的位置關系列方程求解即可.【詳解】解：直線斜率為，直線斜率為，又兩直線垂直，故，解得．故選：C．4．已知直線恒過定點Q，Q點在直線l上，則l的方程可以是（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據直線過定點的求法求得，利用代入驗證法確定正確答案.【詳解】由題意知可化為，則直線l恒過定點，驗證選項得直線l的方程可以為．故選：B5．已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個公共點，則得實數等于（    ）．A．7 B．3 C．3或7 D．5【答案】C【分析】根據圓與圓的位置關系判斷即可得得實數得值.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為圓的圓心，半徑為所以，因為圓與圓有且僅有一個公共點，所以圓與圓相內切或外切，所以或，所以或或（舍）.故選：C．6．點關于直線的對稱點Q的坐標為（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中點和斜率來求得點坐標.【詳解】設點關于直線的對稱點的坐標為，則，解得．所以點Q的坐標為.故選：A7．如圖，在三棱錐中，平面，是正三角形，，，F是棱上一點，且滿足，則異面直線與所成角的余弦值是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】以D為坐標原點，，所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解【詳解】以D為坐標原點，，所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，易知，，，，，，設，則，已知，因為，，所以，可得，即，所以，所以，則，∴異面直線與所成角的余弦值為．故選：B．8．如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數的取值范圍是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題轉化為圓與圓相交，根據圓與圓位置關系判斷即可求實數的取值范圍.【詳解】解：如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2則圓和圓相交，又圓的圓心為，半徑為兩圓圓心距，由得，解得，即．故選：D． 二、多選題9．已知圓和圓的交點為A，B，則（    ）．A．兩圓的圓心距B．直線的方程為C．圓上存在兩點P和Q使得D．圓上的點到直線的最大距離為【答案】BD【分析】對于A，根據兩個圓的方程先得到兩個圓心坐標，然后利用兩點間距離公式即可求解；對于B，兩圓作差即可得公共弦的方程；對于C，根據直線經過圓的圓心即可判斷；對于D，圓上的點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑即可求解.【詳解】由圓和圓，可得圓和圓，則圓的圓心坐標為，半徑為2，圓的圓心坐標為，半徑為，對于A，兩圓的圓心距，故A錯誤；對于B，將兩圓方程作差可得，即得直線的方程為，故B正確；對于C，直線經過圓的圓心坐標，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長的弦，故C錯誤；對于D，圓的圓心坐標為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最大距離為，故D正確.故選：BD.10．已知直線，，和圓，下列說法正確的是（    ）．A．直線l恒過定點B．圓C被x軸截得的弦長為C．直線l被圓截得的弦長存在最大值，且最大值為D．直線l被圓截得的弦長存在最小值，且最小值為【答案】ABD【分析】求出直線l過的定點判斷A；求出圓C截x軸的弦長判斷B；求出l被圓C截得最長弦、最短弦判斷C，D作答.【詳解】對于A，由，得，由解得，因此無論m為何值，直線l恒過定點，A正確；對于B，在中，令，得，因此圓C截x軸所得弦長為，B正確；對于C，直線l恒過的定點在圓內，當直線l過圓心時，直線l被圓截得的弦長最大，最大值為圓C直徑4，C錯誤；對于D，直線l恒過的定點在圓內，當直線l與過點P的直徑垂直時，直線l被圓截得的弦長最短，最短弦長為，D正確．故選：ABD11．若直線，，不能構成三角形，則m的取值可能為（    ）．A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知可得出不能構成三角形的條件，分個討論即可得到.【詳解】因為直線，，不能構成三角形，所以存在，，過與的交點三種情況.顯然，.則直線的斜率分別為，，.當時，有，即，解得；當時，有，即，解得；當過與的交點時.先聯(lián)立，解得，則與的交點為，代入，得，解得．綜上：或或．故選：ABD．12．已知三棱錐，，且，，兩兩垂直，G是的重心，E，F分別為，上的點，且，則下列說法正確的是（    ）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據，，兩兩垂直，設，，，則是空間的一個正交基底，根據空間向量運算逐項判斷即可.【詳解】解：如圖，設，，，則是空間的一個正交基底，則，取的中點，連接，由于是的重心，則則，，又，則，，∴，則不平行于，故A不正確；，B正確；，C正確；，D正確．故選：BCD． 三、填空題13．若過兩點，的直線的斜率為，則直線的方程為__________．【答案】【分析】根據直線斜率求得m的值，利用直線的點斜式方程可得答案.【詳解】因為直線經過兩點、且直線的斜率是，所以，解得,所以點A的坐標為，所以直線的方程為，化簡可得,故答案為：．14．已知圓C的圓心在直線上，且過點，，則圓C的一般方程為__________．【答案】【分析】設出圓的標準方程，代入點的坐標，結合圓心在上，列出方程組，求出圓心和半徑，寫出圓的標準方程，化為一般方程.【詳解】設所求圓的標準方程為，由題意得：，解得：，故所求圓的方程為，即．故答案為：．15．已知圓，若圓C與y軸交于M，N兩點，且，則__________．【答案】2【分析】首先通過的關系，得，然后根據圓的垂徑定理構造關于的方程，解方程即可求出半徑.【詳解】由題意知的圓心，半徑為r，圓心到y軸的距離為1，因為圓C與y軸交于M，N兩點，且，，所以，由垂徑定理得，，即，解得．故答案為：2．16．球O為正四面體的內切球，，是球O的直徑，點M在正四面體的表面運動，則的最大值為__________．【答案】##【分析】先求出正四面體的高以及內切圓半徑，再把分解到上可得答案.【詳解】如圖，為中點，為中心，平面，設球O的半徑為r，，正四面體中，易求得所以正四面體的高為，所以根據體積公式得：，解得，因為點M在正四面體的表面運動，所以，所以．故答案為：． 四、解答題17．已知的頂點，，．(1)直線l過點B且與直線平行，求直線l的方程；(2)若垂足為D，求D的坐標．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由直線平行求得，從而利用點斜式即可求得直線l的方程；（2）先由點斜式得到的方程，從而得到，再由得到，聯(lián)立方程解之，即可得到.【詳解】（1）由題意可知，則，所以直線l方程為，即．（2）設，由題意得，，D在直線上，因為，所以直線方程為，，又D在直線上，所以，聯(lián)立，解得，所以．18．如圖，正方體的棱長為2，點E，F為棱，的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)2 【分析】對于（1），在平面內找到一直線與直線CF平行即可；對于（2），以A點為原點建立空間直角坐標系，求出平面ACF法向量，利用公式求得答案.【詳解】（1）證明：如圖取的中點M，連接，．∵F，M分別是，的中點，∴，．又，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面；（2）如圖，連接，以A為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，．設平面的法向量為，則.令，得，∴到平面的距離為．19．已知直線．(1)求證：直線l恒過定點；(2)已知兩點，，過點A的直線l與線段有公共點，求直線l的傾斜角的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）直線方程整理為關于的方程，由恒等式知識可得定點坐標；（2）求出直線的傾斜角，直線介于直線之間，由此可得結論．【詳解】（1）證明：由，得．由直線方程的點斜式可知，直線恒過定點．（2）由題意可知，，由題意可知直線l的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，又的傾斜角是，的傾斜角是，點橫坐標在兩點橫坐標之間，因此直線可能與軸垂直，傾斜角可以是，∴的取值范圍是．20．已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的動點，．(1)證明：平面；(2)當為何值時，平面與平面所成的夾角最??？【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)先證明平面，由此建立空間直角坐標系，利用向量方法證明，，由線面垂直判定定理證明平面；(2)求平面與平面的法向量，結合向量夾角公式求兩平面的夾角余弦，再求其最小值可得的取值.【詳解】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面，所以．因為，，平面，平面，所以平面．所以，，兩兩垂直．以B為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，所以，，，，，，因為，，，所以，，所以，，因為，，平面，所以平面．（2）由題設．設平面的法向量為，因為，，所以，即．令，則．因為平面的法向量為，設平面與平面所成的夾角為，則，當時，取最小值為，此時取最大值為，此時，符合題意．故當時，面與面所成的夾角最?。?/span>21．已知圓．(1)求過點與圓O相切的直線方程；(2)點在直線上，若在圓O上存在兩個不同的點A，B，使，求的取值范圍．【答案】(1)和；(2). 【分析】（1）根據給定條件，利用點到直線的距離公式，并按切線斜率存在和不存在分別討論作答.（2）利用給定的向量關系，結合切線長定理可得OP與AB互相垂直平分，再利用點與圓的位置關系列出不等式求解作答.【詳解】（1）當切線斜率不存在時，直線與圓相切，此時切線方程為，當切線斜率存在時，設切線斜率為k，直線方程為，即，因此有，解得，此時直線方程為，所以過點與圓O相切的直線方程為和．（2）如圖，，故四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為菱形，故與互相垂直平分，則線段OP的中點在圓O內，因此，即，又，即，因此，解得，所以實數的取值范圍是．22．已知圓，P是圓C上動點，Q為圓C與x軸負半軸交點，E是中點．(1)求點E的軌跡方程；(2)過點的直線與點E的軌跡交于A，B兩點（A在x軸上方），問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；點N為 【分析】（1）根據相關點法求出點E的軌跡方程即可；（2）斜率不存在時顯然成立；斜率存在時，設直線的方程為，，，，將若x軸平分，轉化為，再通過聯(lián)立方程結合韋達定理將轉化為含與的等式即可求解.【詳解】（1）設，因為P是圓C上動點，所以，因為Q為圓C與x軸負半軸交點，所以，設，因為E是中點，所以，即，所以，即，所以點E的軌跡方程為.（2）當直線軸時，x軸平分.當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，，由，得，所以，．若x軸平分，則，∴，∴，∴，∴，所以當點N為時，能使得x軸平分總成立 

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