類型1 方程(組)與不等式的應(yīng)用1. (2019淄博)“一帶一路”促進(jìn)了中歐貿(mào)易的發(fā)展，我市某機(jī)電公司生產(chǎn)的A，B兩種產(chǎn)品在歐洲市場(chǎng)熱銷. 今年第一季度這兩種產(chǎn)品的銷售總額為2 060萬(wàn)元，總利潤(rùn)為1 020萬(wàn)元(利潤(rùn)=售價(jià)-成本). 其每件產(chǎn)品的成本和售價(jià)信息如下表：
該公司這兩種產(chǎn)品的銷售件數(shù)分別是多少？
2. (2019赤峰)某校開(kāi)展校園藝術(shù)節(jié)系列活動(dòng)，派小明到文體超市購(gòu)買若干個(gè)文具袋作為獎(jiǎng)品. 這種文具袋標(biāo)價(jià)每個(gè)10元，請(qǐng)認(rèn)真閱讀結(jié)賬時(shí)老板與小明的對(duì)話(如圖2-6-1)：
(1)結(jié)合兩人的對(duì)話內(nèi)容,求小明原計(jì)劃購(gòu)買文具袋多少個(gè);(2)學(xué)校決定，再次購(gòu)買鋼筆和簽字筆共50支作為補(bǔ)充獎(jiǎng)品，這次購(gòu)買獎(jiǎng)品總支出不超過(guò)400元. 其中鋼筆標(biāo)價(jià)每支8元，簽字筆標(biāo)價(jià)每支6元.經(jīng)過(guò)溝通，這次老板給予8折優(yōu)惠，那么小明最多可購(gòu)買鋼筆多少支？
解：(1)設(shè)小明原計(jì)劃購(gòu)買文具袋x個(gè),則實(shí)際購(gòu)買了(x+1)個(gè).依題意，得10(x+1)×0.85＝10x-17. 解得x＝17. 答：小明原計(jì)劃購(gòu)買文具袋17個(gè). (2)設(shè)小明可購(gòu)買鋼筆y支，則購(gòu)買簽字筆(50-y)支.依題意，得［8y+6(50-y)］×80%≤400. 解得y≤100. 即y最大值＝100. 答：小明最多可購(gòu)買鋼筆100支.
3. (2019寧夏)某學(xué)校在“我和我的祖國(guó)”快閃拍攝活動(dòng)中,為學(xué)生化妝. 其中5名男生和3名女生共需化妝費(fèi)190元；3名男生的化妝費(fèi)用與2名女生的化妝費(fèi)用相同. (1)求每位男生和女生的化妝費(fèi)分別為多少元；(2)如果學(xué)校提供的化妝總費(fèi)用為2 000元，根據(jù)活動(dòng)需要至少應(yīng)有42名女生化妝，那么男生中最多有多少人化妝？
4. (2019沈陽(yáng))2019年3月12日是第41個(gè)植樹(shù)節(jié).某單位積極開(kāi)展植樹(shù)活動(dòng)，決定購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗，用800元購(gòu)買甲種樹(shù)苗的棵數(shù)與用680元購(gòu)買乙種樹(shù)苗的棵數(shù)相同，每棵乙種樹(shù)苗比每棵甲種樹(shù)苗便宜6元. (1)求甲種樹(shù)苗每棵多少元；(2)若準(zhǔn)備用3 800元購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共100棵，則至少要購(gòu)買乙種樹(shù)苗多少棵？
5. (2019玉林)某養(yǎng)殖場(chǎng)為了響應(yīng)黨中央的扶貧政策，今年起采用“場(chǎng)內(nèi)+農(nóng)戶”養(yǎng)殖模式，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)蛋雞的科學(xué)管理，蛋雞的產(chǎn)蛋率不斷提高，三月份和五月份的產(chǎn)蛋量分別是2.5萬(wàn)千克與3.6萬(wàn)千克，現(xiàn)假定該養(yǎng)殖場(chǎng)蛋雞產(chǎn)蛋量的月增長(zhǎng)率相同. (1)求該養(yǎng)殖場(chǎng)蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長(zhǎng)率；(2)假定當(dāng)月產(chǎn)的雞蛋當(dāng)月在各銷售點(diǎn)全部銷售出去，且每個(gè)銷售點(diǎn)每月平均銷售量最多為0.32萬(wàn)千克. 如果要完成六月份的雞蛋銷售任務(wù)，那么該養(yǎng)殖場(chǎng)需在五月份已有的銷售點(diǎn)的基礎(chǔ)上至少再增加多少個(gè)銷售點(diǎn)？
6. (2018貴陽(yáng))某青春黨支部在精準(zhǔn)扶貧活動(dòng)中，給結(jié)對(duì)幫扶的貧困家庭贈(zèng)送甲、乙兩種樹(shù)苗讓其栽種. 已知乙種樹(shù)苗的價(jià)格比甲種樹(shù)苗貴10元，用480元購(gòu)買乙種樹(shù)苗的棵數(shù)恰好與用360元購(gòu)買甲種樹(shù)苗的棵數(shù)相同. (1)求甲、乙兩種樹(shù)苗每棵的價(jià)格各是多少元；(2)在實(shí)際幫扶中，他們決定再次購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共50棵.此時(shí)，甲種樹(shù)苗的售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)降低了10%，乙種樹(shù)苗的售價(jià)不變.如果再次購(gòu)買兩種樹(shù)苗的總費(fèi)用不超過(guò)1 500元，那么他們最多可購(gòu)買多少棵乙種樹(shù)苗？
類型2 解直角三角形的應(yīng)用1. (2019懷化)如圖2-6-2，為測(cè)量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B處測(cè)得對(duì)岸A處一棵柳樹(shù)位于北偏東60°方向.他以每秒1.5 m的速度沿著河岸向東步行40秒后到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得柳樹(shù)位于北偏東30°方向，試計(jì)算此段河面的寬度.
解：如答圖2-6-1，作AD⊥BC于點(diǎn)D.由題意可知BC=1.5×40=60(m),∠ABD=30°,∠ACD=60°.
2. (2019海南)如圖2-6-3所示是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測(cè)站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C，小島C在觀測(cè)站B的北偏西15°方向上，碼頭A到小島C的距離AC為10海里. (1)填空：∠BAC＝______度，∠C＝______度；(2)求觀測(cè)站B到AC的距離BP.(結(jié)果保留根號(hào))
4. (2018黃岡)如圖2-6-5，在大樓AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，樓高AB=60 m，在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A，C，E在同一直線上. (1)求坡底C點(diǎn)到大樓的距離AC的值；(2)求斜坡CD的長(zhǎng)度.
類型3 統(tǒng)計(jì)圖表綜合題1. (2019衡陽(yáng))某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，開(kāi)展了“第二課堂”的活動(dòng)，推出了以下四種選修課程：A. 繪畫(huà)；B. 唱歌；C. 演講；D. 十字繡.學(xué)校規(guī)定：每個(gè)學(xué)生都必須報(bào)名且只能選擇其中的一個(gè)課程.學(xué)校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，對(duì)他們選擇的課程情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成如圖2-6-6所示兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖. 請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息解決下列問(wèn)題：
(1)這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是______人；(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)如果該校共有1 000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校報(bào)D課程的學(xué)生約有多少人.
解：(2)選擇C課程的人數(shù)為40-12-14-4=10(人)，補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖如答圖2-6-4.
2. (2019長(zhǎng)沙)某學(xué)校開(kāi)展了主題為“垃圾分類，綠色生活新時(shí)尚”的宣傳活動(dòng). 為了解學(xué)生對(duì)垃圾分類知識(shí)的掌握情況,該校環(huán)保社團(tuán)成員在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的得分按優(yōu)秀、良好、合格、待合格四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖(如圖2-6-7).
(1)本次調(diào)查隨機(jī)抽取了______名學(xué)生；表中m＝______,n＝______；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)若全校有2 000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校掌握垃圾分類知識(shí)達(dá)到“優(yōu)秀”和“良好”等級(jí)的學(xué)生共有多少人.
3. (2019河南)某校為了解七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)“防溺水”安全知識(shí)的掌握情況，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)成績(jī)(百分制)進(jìn)行整理、描述和分析. 部分信息如下：a. 七年級(jí)學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖(如圖2-6-8)：
b. 七年級(jí)學(xué)生成績(jī)?cè)?0≤x＜80這一組的如下：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c. 七、八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：(1)在這次測(cè)試中，七年級(jí)在80分以上(含80分)的有_____人；(2)表中m的值為_(kāi)_____；
(3)在這次測(cè)試中，七年級(jí)學(xué)生甲與八年級(jí)學(xué)生乙的成績(jī)都是78分，請(qǐng)判斷兩位學(xué)生在各自年級(jí)的排名誰(shuí)更靠前，并說(shuō)明理由；(4)該校七年級(jí)學(xué)生有400人，假設(shè)全部參加此次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)成績(jī)超過(guò)平均數(shù)76.9分的人數(shù).
4. (2019天門)為了解某地七年級(jí)學(xué)生身高情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，測(cè)得他們的身高(單位： cm)，并繪制了如圖2-6-9所示兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題. (1)填空：樣本容量為_(kāi)_____，a＝______；(2)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；(3)若從該地隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于160 cm的概率.
解：(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如答圖2-6-6.
類型4 求事件的概率1. (2019蘇州)在一個(gè)不透明的盒子中裝有4張卡片，4張卡片的正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，這些卡片除數(shù)字外都相同，將卡片攪勻. (1)從盒子中任意抽取一張卡片，恰好抽到標(biāo)有奇數(shù)卡片的概率是______；(2)先從盒子中任意抽取一張卡片，再?gòu)挠嘞碌?張卡片中任意抽取一張卡片，求抽取的2張卡片標(biāo)有數(shù)字之和大于4的概率. (請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求解)
解：(2)根據(jù)題意列表，得
2. (2019南京)某校計(jì)劃在暑假第二周的星期一至星期四開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每位學(xué)生選擇兩天參加活動(dòng). (1)甲同學(xué)隨機(jī)選擇兩天,其中有一天是星期二的概率是多少?(2)乙同學(xué)隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，其中有一天是星期二的概率是______.
3. (2019淮安)在三張大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫(xiě)一個(gè)數(shù)字，分別為5,8,8.現(xiàn)將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后從中任意摸出一張，記下數(shù)字后放回，攪勻后再任意摸出一張，記下數(shù)字. (1)用樹(shù)狀圖或列表的方法列出所有可能結(jié)果；(2)求兩次摸到不同數(shù)字的概率.
4. (2019黃石)將正面分別寫(xiě)著數(shù)字1，2，3的三張卡片(注：這三張卡片的形狀、大小、質(zhì)地、顏色等其他方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，這三張卡片看上去無(wú)任何差別)洗勻后，背面朝上放在桌面上.甲從中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為m，然后放回洗勻，背面朝上放在桌面上，再由乙從中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為n，組成一數(shù)對(duì)(m，n). (1)請(qǐng)寫(xiě)出(m，n)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：按上述要求，兩人各抽一次卡片，卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)則甲贏，數(shù)字之和為偶數(shù)則乙贏. 你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
類型5 三角形的計(jì)算與證明1. (2019溫州)如圖2-6-10，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1)求證：△BDE≌△CDF;(2)當(dāng)AD⊥BC，AE=1，CF=2時(shí)，求AC的長(zhǎng).
(1)證明：∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD.∴△BDE≌△CDF(AAS).(2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2.∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.
2. 如圖2-6-11，△ABC為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，且DE=CD，連接CE.(1)求證：△CDE為等邊三角形；(2)連接BE，若AB=4，求BE的長(zhǎng).
3. (2017蘇州)如圖2-6-12，∠A=∠B，AE=BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O. (1)求證：△AEC≌△BED；(2)若∠1=42°，求∠BDE的度數(shù).
4. (2019臨沂)如圖2-6-13，在△ABC中，∠ACB＝120°, BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，求△ABC的面積.
解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°.∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°.延長(zhǎng)CD到點(diǎn)H使DH＝CD，連接AH，如答圖2-6-10.
類型6 四邊形的計(jì)算與證明1. (2019本溪)如圖2-6-14，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE＝DA，連接AE. (1)求證：AE＝BC；(2)若AB＝3，CD＝1，求四邊形ABCE的面積.
(1)證明：∵AB∥CD，∠B＝45°，∴∠C+∠B＝180.∴∠C＝135°.∵DE＝DA，AD⊥CD,∴∠E＝45°.∴∠E+∠C＝180°. ∴AE∥BC.又∵AB∥CD，∴四邊形ABCE是平行四邊形.∴AE＝BC.(2)解：∵四邊形ABCE是平行四邊形，∴AB＝CE＝3.∴AD＝DE＝AB-CD＝2.∴四邊形ABCE的面積＝3×2＝6.
2. (2019鄂州)如圖2-6-15，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，CD邊于點(diǎn)E，F(xiàn). (1)求證：四邊形DEBF是平行四邊形；(2)當(dāng)DE＝DF時(shí)，求EF的長(zhǎng).
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠DFO＝∠BEO.又∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS).∴DF＝BE.又∵DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形.(2)解：∵DE＝DF，四邊形BEDF是平行四邊形,∴四邊形BEDF是菱形.∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF.設(shè)AE＝x，則DE＝BE＝8-x.
3. (2019連云港)如圖2-6-16，在△ABC中，AB=AC. 將△ABC沿著B(niǎo)C方向平移得到△DEF，其中點(diǎn)E在邊BC上，DE與AC相交于點(diǎn)O. (1)求證：△OEC為等腰三角形；(2)連接AE,DC,AD，當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形AECD為矩形?并說(shuō)明理由.
(1)證明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE.∴∠B=∠DEC. ∴∠ACB=∠DEC，∴OE=OC，即△OEC為等腰三角形.(2)解：當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECD是矩形.理由如下.∵AB=AC，E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，BE=EC.∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE=AD.∴AD∥EC，AD=EC.∴四邊形AECD是平行四邊形.∵AE⊥BC，∴四邊形AECD是矩形.
(1)證明：連接BD，BD與AC相交于點(diǎn)O，如答圖2-6-11.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD,OB＝OD.∵BE＝DF，∴AB∶BE＝AD∶DF.∴EF∥BD. ∴AC⊥EF.
5. (2019內(nèi)江)如圖2-6-18，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BE＝DF，連接AE,AF,EF. (1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng).
6. (2019濰坊)如圖2-6-19，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過(guò)點(diǎn)A作AH∥DG，交BG于點(diǎn)H. 連接HF，AF，其中AF交EC于點(diǎn)M. (1)求證：△AHF為等腰直角三角形;(2)若AB=3，EC=5，求EM的長(zhǎng).
(1)證明：∵四邊形ABCD，四邊形ECGF都是正方形，∴DA∥BC，AD=CD，F(xiàn)G=CG，∠B=∠CGF=90°.∵AD∥BC，AH∥DG，∴四邊形AHGD是平行四邊形.∴AH=DG，AD=HG=CD.∵CD=HG，∠DCG=∠HGF=90°，CG=GF，∴△DCG≌△HGF(SAS).∴DG=HF，∠HFG=∠HGD.∴AH=HF. ∵∠HGD+∠DGF=90°，∴∠HFG+∠DGF=90°. ∴DG⊥HF.

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