一、輔助線添加策略3
策略1 按定義添輔助線3
策略2 按基本模型添輔助線3
二、添加輔助線的方法及舉例4
方法1 求角思想及模型4
第一類：方程思想求角度4
第二類：轉(zhuǎn)化思想求角度4
第三類：整體思想求角度5
第四類：數(shù)學模型—角平分線模型6
第五類：數(shù)學模型—對頂三角形模型6
第六類：分類討論思想求角度7
方法2 關(guān)于中點的輔助線7
第一類：已知中點7
第二類：證中點8
方法3 截長補短法9
方法4 作垂線構(gòu)造全等求點的坐標10
方法5 關(guān)于角平分線的輔助線11
第一類：角平分線上的點向兩邊作垂線11
第二類：過邊上的點向兩邊作垂線12
第三類：過平分線上的點作一條邊平行線構(gòu)造等腰三角形13
第四類：利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長補短13
方法6 等腰三角形的輔助線14
第一類：分類討論思想14
第二類：“三線合一”作輔助線15
第三類：構(gòu)造等腰三角形16
方法7 等邊三角形的輔助線19
第一類：構(gòu)造30°的直角三角形19
第二類：作平行線構(gòu)造等邊三角形20
第三類：共頂點的等邊三角形21
一、輔助線添加策略
三角形是基礎幾何圖形，是一切幾何圖形證明的基礎。在求證幾何圖形時，往往需要添加輔助線構(gòu)成新圖形，進而形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題去解決，則是三角形證明中的常規(guī)策略。
添加輔助線有二種常見策略：按定義添加輔助線、按基本模型添加輔助線。
策略1 按定義添輔助線
（1）角平分線性質(zhì)：角平分線上的點到兩邊的距離相等。
利用這個性質(zhì)，常見輔助線為：取角平分線上一點，向角的兩邊作垂線。
（2）垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。
利用這個性質(zhì)，常見輔助線為：取垂直平分線上一點，連接該點與線段的兩個端點。
策略2 按基本模型添輔助線
幾何圖形的學習，主要是模型的積累的過程。幾何模型比較多，例如中線模型、等腰三角形模型、角平分線模型、等邊三角形模型等，具體分析見下文。每一種模型，因其獨有的特性，往往有比較確定的幾種輔助線方法。在解決幾何問題的過程中，我們要抓住圖形的關(guān)鍵特征，確定圖形的基本模型，然后借助該模型的輔助線的方法，按照規(guī)律添加合適的輔助線，切勿亂添線。
二、添加輔助線的方法及舉例
方法1 求角思想及模型
第一類：方程思想求角度
性質(zhì)：（1）三角形內(nèi)角和=180°；
（2）對頂角相等，鄰補角互補；
（3）三角形外角=不相鄰兩個內(nèi)角和。
解題技巧：若圖形中角比較多，用設未知數(shù)方法，利用上述3條性質(zhì)，將圖形角度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的形式求解。
例1.在△ABC中，∠A－∠B=30°，∠C=4∠B，求∠C的度數(shù)。
例2.如圖，△ABC中，D是BC上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù)。
例3.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠1=∠A，∠2=∠C，求∠A的度數(shù)。
第二類：轉(zhuǎn)化思想求角度
解題技巧：求解多個角度和問題時，先利用三角形角度間的基本性質(zhì)，將不規(guī)則圖形中的角度轉(zhuǎn)化到同一個三角形（多邊形）中；再利用三角形（多邊形）內(nèi)角和性質(zhì)求解角度。
例1.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)。
例2.如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，證明AF∥CD。
例3.如圖，△ABC的外角平分線BP、CP交于點P，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∠A=70°，求∠FPB+∠EPC的度數(shù)。
第三類：整體思想求角度
解題技巧：根據(jù)題干特點，有時單一的看待某個角度，難以解出題目要求的角度。這時，需要將2個角或多個角看成一個整體，在利用三角形內(nèi)角和等性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解。
例1.如圖，點D在△ABC內(nèi)，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，求∠A。
例2.如圖，將△ABC沿EF折疊，使點C落在點D處，求∠1，∠2與∠C的數(shù)量關(guān)系。
第四類：數(shù)學模型—角平分線模型
性質(zhì)：角平分線將一個角平分為相等的兩部分
解題技巧：此類題型，往往會告知多個角平分線，要求求解某一特定角。建議設平分后的角為未知數(shù)，利用方程的思想，轉(zhuǎn)化為求解方程的形式來求解特定的角。
例1.已知△ABC中，點P為∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點，證明∠P=
例2.如圖，在四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC。
求∠B+∠C與∠AED。
第五類：數(shù)學模型—對頂三角形模型
性質(zhì)：若兩個三角形有一個對頂角，則這兩個對頂角相等，那么這兩個三角形剩下的兩個角的和相等。
解題技巧：利用對頂三角形另兩個角的和相等的性質(zhì)，列寫對頂三角形另兩個角之和相等的等式，通過轉(zhuǎn)化，求解出題干要求的角度。
例1.如圖，AC，BD相交于點O，BP，CP分別平分∠ABD，∠ACD，且交于點P。若BP、CP分別為∠ABD、∠ACD的外角平分線，求∠P與∠A、∠D的關(guān)系。
第六類：分類討論思想求角度
解題技巧：當題目中未出現(xiàn)圖形時，往往有多解情況，需要分類討論。
（1）等腰三角形中，腰和底的討論
銳角、直角、鈍角三角形高的討論
例1.在等腰△ABC中，∠A=80°，求∠B。
例2.在等腰△ABC中，∠A=60°，求∠B。
例3.已知AD為△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度數(shù)。
方法2 關(guān)于中點的輔助線
第一類：已知中點
（1）中線倍長法：將中點處的線段延長一倍。
目的： = 1 \* GB3 ①構(gòu)造出一組全等三角形； = 2 \* GB3 ②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中去。
例1.如圖，△ABC中，D為BC的中點
（1）求證：AB+AC＞2AD；
（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍。
例2.如圖，AD是△ABC的中線，點E在BC的延長線上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求證：AE=2AD。
（2）向中線作垂線：過線段兩端點向終點處的線段作垂線。
目的：構(gòu)造出一組全等三角形
輔助線技巧：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。
例1.已知AC=BC，AC⊥BC，過C點任作直線l，過點A、B分別作l的垂線AD、BE，垂足分別為D，E。若AD=2，BE=4，求DE的長。
例2.如圖，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延長線交DE于F。求證：點F是ED的中點；
第二類：證中點
（1）過端點作另一邊的平行線：
目的：構(gòu)造出一組全等三角形
特點：中線倍長的反向應用
例1.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分別是AC和AC的延長線上的點，連接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求證：D是AC的中點。
例2.如圖，AB⊥AE，AB=AE，AC⊥AD，AC=AD，AH⊥DE于點H，延長AH交BC于點M。求證：M是BC的中點。
（2）兩端點向中線作垂線：
目的：構(gòu)造出一組全等三角形
特點：與已知中點時向中線作垂線方法一致
例1.如圖，AB⊥AC，AB=AC，D是AB上一點，CE⊥CD，CE=CD，連接BE交AC于點F，求證：F是BE的中點。
例2.如圖，A、B、C三點共線，D、C、E三點共線，∠A=∠DBC，EF⊥AC于點F，AE=BD。
（1）求證：C是DE的中點；
（2）求證：AB=2CF
方法3 截長補短法
截長補短法使用范圍：線段和差的證明
（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。
例：如圖，求證BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；
= 2 \* GB3 ②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE
（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等
例：如圖，求證BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；
= 2 \* GB3 ②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE
（3）旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等。
注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個圖形的短邊共線）
例：如圖，已知AB=AC，∠ABM=CAN=90°，求證BM+CN=MN
方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE=MN
例1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且∠EBF=60°，求證：EF=AE+CF。
方法4 作垂線構(gòu)造全等求點的坐標
方法：求點P的坐標，過點P作橫縱坐標的垂線，將求坐標轉(zhuǎn)化為線段。利用直角三角形和題干中的特殊條件求證全等三角形，進而求解線段長度。
例1．如圖，△ACB為等腰直角三角形，AC=BC，AC⊥BC，A（0,3），C（1,0），求B點的坐標。
例2．如圖，△ACB為等腰三角形，A（－1,0），C（1,3），AC⊥BC，求B點的坐標。
方法5 關(guān)于角平分線的輔助線
第一類：角平分線上的點向兩邊作垂線
方法：利用角平分線性質(zhì)，取角平分線上一點，向被平分的角的兩邊作垂線
注：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。
目的：構(gòu)造一組全等三角形
例1.如圖，在△ABC中，CD是角平分線，AC=3，BC=5，求的值。
例2.如圖，PA=PB，∠1+∠2=180°，求證：OP平分∠AOB。
例3.如圖，在四邊形ABCD中AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，∠B+∠ADC=180°。求證：BC=CD；
第二類：過邊上的點向兩邊作垂線
方法：取被平分角邊上一點，向角平分線作垂線，并延長至與另一個邊相交
適用條件：往往題干中已有線段與角平分線垂直，只需延長垂線段即可
目的：構(gòu)造一組關(guān)于角平分線對稱的全等直角三角形
例1.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，探究∠ACE，∠B，∠ECD之間的數(shù)量關(guān)系。
例2.如圖，在△ABC中，AB＜BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于點P，連接PC，若△ABC的面積為14，求△BPC的面積。
例3.如圖，在△ABC中，AO=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交AO于點D，AE⊥BD交BD延長線于點E。求證：BD=2AE。
第三類：過平分線上的點作一條邊平行線構(gòu)造等腰三角形
方法： = 1 \* GB3 ①有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。如下圖1
= 2 \* GB3 ②通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如下2圖
例1. 如圖，△ABC中，∠A=36°AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，求圖中等腰三角形的個數(shù)。
例2.如圖，在△ABC中CE是角平分線，EG∥BC，交AC邊于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分線與G。求證：EF=FG。
第四類：利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長補短
方法：在角的兩邊上實施截長或補短
目的：構(gòu)造出已角平分線為對稱軸的全等三角形
例1.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。
例2.如圖，已知AC⊥BC，PA⊥PB，且PC平分∠ACB，求證：PA=PB。
方法6 等腰三角形的輔助線
第一類：分類討論思想
一、腰和底（頂角和底角）的討論
（1）腰和底的討論
方法：已知等腰三角形的兩條邊a，b，求另一條邊c時，要分2種情況討論：
= 1 \* GB3 ①設a為腰，b為底，則c=a；
= 2 \* GB3 ②設a為底，b為腰，則c=b
注：分類討論后，還需利用三角形邊的關(guān)系判定每種假設是否成立
例1. 等腰三角形兩邊的長度分別為5和6，求周長。
例2.等腰三角形兩邊的長度分別為4和9，求其周長。
（2）頂角和底角的討論
方法：已知等腰三角形的一個角A，求另外兩個角B和C，要分2種情況討論：
= 1 \* GB3 ①設∠A為底角，則∠B=∠A，∠C=180°－2∠A；
= 2 \* GB3 ②設∠A為頂角，則∠B=∠C=
例1. 等腰三角形一個角為70°，求其頂角的度數(shù)。
例2.等腰三角形的一個角為100°，求其頂角的度數(shù)。
二、銳角三角形、鈍角三角形的討論
方法：當題干中未告知圖形，我們往往將三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論。因為銳角三角形（高在三角形內(nèi)部）和鈍角三角形（高在三角形外部）的高位置不同，會導致圖形不同，最終導致不同結(jié)果。
例1.已知△ABC中，CA=CB，AD⊥BC于點D，∠CAD=50°，求∠B的度數(shù)。
例2.已知△ABC的高AD，BE所在的直線交于點F，若BF=AC，求∠ABC的度數(shù)。
三、等腰三角形個數(shù)的討論
方法：此類題型往往已知2個點（A和B）或者1條邊，求另一個點，使之能構(gòu)成等腰三角形。分2類討論：
（1）已知直線為底，另一個點在這條直線的垂直平分線上（AB左右兩側(cè)皆可），即以點C為頂點；
（2）已知直線為腰，以點A為頂點，AB長度作弧，另一點在圓弧上；或以點B為頂點，BA長度作弧，另一點在圓弧上（AB左右兩側(cè)皆可）。
例1.平面直角坐標系中，已知A（2,2），B（4,0），若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，求滿足條件的點C的個數(shù)。
第二類：“三線合一”作輔助線
方法：利用等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高、中線和角平分線三線合一。已知三角形為等腰三角形時，我們往往作底邊的高（或中線或角平分線），則此線段既是三角形的高，又是三角形的中線和角平分線。
例1.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且AE=AF，求證DE=DF。
例2.如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點O為AB的中點，OE⊥OF交AC，BC于E，F(xiàn)。求證：OE=OF
例3.如圖，點D，E在△ABC的邊AB上，CA=CB，CD=CE，求證：AD=BE
第三類：構(gòu)造等腰三角形
一、作平行線
圖1 圖2 圖3 圖4 圖5
（1）作腰的平行線
方法：常見方法有2種。
= 1 \* GB3 ①如圖1，在腰AC上任取一點D，作DE∥BC，則構(gòu)造出等腰三角形ADE
= 2 \* GB3 ②如圖2，在底AB的延長線上取一點D，作DE∥BC交AC延長線于點E，則構(gòu)造出等腰三角形ADE
例1.如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AB上，點E在AC的延長線上，且BD=CE，DE交BC于F，求證：DF=EF。
例2.如圖，AB=CE，且∠A+∠ACE=180°，求證：BM=EM。
（2）作底的平行線
方法：常見方法有3種。
= 1 \* GB3 ①如圖3，在腰AC上任取一點D，作DE∥AB，則構(gòu)造出等腰三角形CDE
= 2 \* GB3 ②如圖4，在腰BC延長線上取一點D，作DE∥AB，交AC延長線于點E，則構(gòu)造出等腰三角形CDE
= 3 \* GB3 ③如圖5，過點C作底邊AB的平行線，當CD=CE時，則構(gòu)造出等腰三角形CDE。
例1.如圖，在△ABC中，CA=CB，D在AC的延長線上，E在BC上，且CD=CE，求證：DE⊥AB。
例2.如圖，BD為△ABC的角平分線，點E在CD上，AD=DE，EF∥BC，求證：AB=EF。
二、二倍角
下列圖形中，已知∠B=2∠C
圖1 圖2 圖3
（1）作二倍角的平分線
方法：如圖1，作∠B的平分線BD，則∠ABD=∠DBC=∠C，則構(gòu)造出等腰三角形BCD
例1.如圖，△ABC中，∠BCA=2∠A，BC=，求∠A的度數(shù)。
（2）延長二倍角的一邊
方法：2種方法
= 1 \* GB3 ①如圖2，延長BC，使BD=AB。則∠D=∠DAB=，則∠D=∠C。因此構(gòu)造出等腰三角形BDA和等腰三角形ADC
= 2 \* GB3 ②如圖3，延長AB，使BD=BC，則∠D=∠DCB=。因此構(gòu)造出等腰三角形BDC。
例1.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且∠ABC=2∠C，求證：AB+BD=AC
三、中點
（1）中線倍長
方法：已知中點，求證兩條線段相等，但這兩條線段難以結(jié)合到一起，可以考慮用中線倍長法，將某一條線段轉(zhuǎn)化到構(gòu)造的全等三角形中去。
例1.若∠BAD=∠CAF，D為BC的中點，求證AB=AC
（2）向中線作垂線
方法：已知中線的另一種輔助線方法，與中線倍長法的作用類似，將某條線段轉(zhuǎn)化到構(gòu)造的全等三角形中去。
例1.如圖，在△ABC中，AD為中線，E為AB上一點，AD，CE交于點F，且AE=EF。求證：AB=CF（2種方法）
四、截長補短
方法：如上述“截長補短”法（截長、補短、旋轉(zhuǎn)），可構(gòu)造等腰三角形來來實現(xiàn)邊、角之間的轉(zhuǎn)換。
例1.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且∠ABC=2∠C，求證：AC+AD=BC
例2.如圖，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求證：BC=CD+AB。
方法7 等邊三角形的輔助線
第一類：構(gòu)造30°的直角三角形
方法：有時，題干要求求解三角形中某些邊的長度之間的關(guān)系，這是要想到利用30°直角三角形的特點：30°角對應的邊是斜邊的一半。一般情況下，圖形中不會直接出現(xiàn)30°的直角三角形，需要我們通過輔助線構(gòu)造。常見的構(gòu)造方法如下3種：
（1）連接兩點構(gòu)造30°的直角三角形
例1.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線交BC于D，交AC于E，DE=2，求BC的長。
例2.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC的中點，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的長。
（2）延長兩邊構(gòu)造30°的直角三角形
例1.如圖，四邊形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的長。
（3）作垂線構(gòu)造30°的直角三角形
例1.如圖，，△ABC中，BD是AC邊上的中線，BD⊥BC于點B，∠ABD=30°，求證：AB=2BC。
例2.如圖，點P是△ABC的邊BC上一點，PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的度數(shù)。
第二類：作平行線構(gòu)造等邊三角形
方法：取等邊三角形ABC中AB上任一點D，作DE∥BC，交AC于點E，則構(gòu)造出等邊三角形ADE。
例1.如圖，等邊△ABC中，D是AC的中點，延長BC至E，使CE=AD，連接DB，DE，求證：DB=DE。
例2.如圖，等邊△ABC中，D是AB上一點，延長BC至E，使CE=AD，DE交AC于F，求證：DF=EF。
例3. 如圖，D是等邊△ABC的AC邊的中點，F(xiàn)在AB上，E在BC的延長線上，∠FDE=120°。
（1）求證：DF=DE；（2）求證：CE+BF=BC
第三類：共頂點的等邊三角形
模型：如圖，△ABC與△ACE都是等邊三角形。
結(jié)論： = 1 \* GB3 ①BE=CD； = 2 \* GB3 ②∠BFC=120°； = 3 \* GB3 ③AF平分交DFE； = 4 \* GB3 ④AF+BF=DF。

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