函數(shù)、方程、不等式問題【知識(shí)縱橫】    函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念。也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，例求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般通過函數(shù)解析式組成的方程組來解決。又如例4復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對(duì)所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來解決。【典型例題】【例1】（四川雅安）如圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)M在反比例函數(shù)上，且與軸交于A，B兩點(diǎn)。（1）若二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，試求的值；（2）在（1）的條件下求AB的長；（3）若二次函數(shù)的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為N，當(dāng)NO+MN取最小值時(shí)，試求二次函數(shù)的解析式。【思路點(diǎn)撥】（1）先求得二次函數(shù)中的，再根據(jù)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上，求出。（3）可用含有的式子表示點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，即求出的值，再求得解析式。       【例2】（江蘇南通）如圖，已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，與雙曲線交于點(diǎn)B(2，1)．過點(diǎn)P(，－1)( ＞1)作軸的平行線分別交雙曲線和于點(diǎn)M、N．(1)求的值和直線的解析式；(2)若點(diǎn)P在直線＝2上，求證：△PMB∽△PNA；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】 (2)先求的值，再利用對(duì)應(yīng)線段成比例證△PMB∽△PNA。 (3)考慮點(diǎn)P的位置，得1＜＜3時(shí)的情況。作延長MP交軸于Q，先求直線MP的方程，再求出各點(diǎn)坐標(biāo)（用表示），然后求出面積表達(dá)式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出值。               【例3】（湖北宜昌）已知拋物線與直線=m+n相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，﹣）和（m﹣，m2﹣m+n），其中 ，，，m，n為實(shí)數(shù)，且，m不為 0．（1）求的值；（2）設(shè)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）和（2，0），求1?2的值；（3）當(dāng)﹣1≤≤1時(shí)，設(shè)拋物線上與軸距離最大的點(diǎn)為P（0，0），求這時(shí)|0丨的最小值．【思路點(diǎn)撥】（2）把點(diǎn)（0，﹣）代入直線得n=﹣，然后把點(diǎn)（m﹣，m2﹣m+n）代入拋物線，整理后可確定的值，把，的值代入拋物線，當(dāng)=0時(shí)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求出1?2的值。（3）求出拋物線的頂點(diǎn)（，），分<－1，－1≤≤0，0＜≤1和1＜四種情況討論，確定|0|的最小值。             【學(xué)力訓(xùn)練】1、（廣州）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn).（1）根據(jù)圖象，分別寫出A、B的坐標(biāo)；（2）求出兩函數(shù)解析式；（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)為何值時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值。         2、（天津市）已知拋物線，（1）若，，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，且時(shí)，對(duì)應(yīng)的；時(shí)，對(duì)應(yīng)的，試判斷當(dāng)時(shí)，拋物線與軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．            3、（吉林長春）已知兩個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)與當(dāng)時(shí)，；且二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線．（1）求的值；（2）求函數(shù)的表達(dá)式；（3）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，問函數(shù)的圖象與的圖象是否有交點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．                           4、（廣西南寧）隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）      （1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？       函數(shù)、方程、不等式問題的參考答案【典型例題】【例1】（四川雅安）解：（1）∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，∴，解得。∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)為M（）。∵頂點(diǎn)M在反比例函數(shù)上，網(wǎng)∴，解得。∴二次函數(shù)的解析式為。（2）∵二次函數(shù)的解析式為，∴令=0，得=0，解得。 ∴AB=。（3）∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且當(dāng)時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。∴NO+MN，即是NO+MN的最小值。此時(shí)，，解得。∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。∴此時(shí)二次函數(shù)的解析式為，即。【例2】（江蘇南通）解：(1)由點(diǎn)B(2，1)在上，有2＝，即＝2。設(shè)直線的解析式為，由點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(2，1)在上，得             ，解之，得。          ∴所求 直線的解析式為 。         (2)點(diǎn)P(p，p－1)在直線＝2上，∴P在直線上，是直線＝2和的交點(diǎn)，見圖（1）。∴根據(jù)條件得各點(diǎn)坐標(biāo)為N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，           BP＝ ∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。∴△PMB∽△PNA。(3)S△AMN＝。下面分情況討論：①當(dāng)1＜＜3時(shí)，延長MP交軸于Q，見圖（2）。設(shè)直線MP為，則有  ，解得 。則直線MP為。 當(dāng)＝0時(shí)，＝，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0）。        則，由2＝4有，解之，＝3（不合，舍去），＝。②當(dāng)＝3時(shí)，見圖（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合題意。③當(dāng)>3時(shí)，延長PM交軸于Q，見圖（3）。此時(shí)，S△AMP大于情況?當(dāng)＝3時(shí)的三角形面積S△AMN。故不存在實(shí)數(shù)，使得S△AMN＝4S△AMP。                                       綜上，當(dāng)＝時(shí)，S△AMN＝4S△AMP。   【例3】（湖北宜昌）解：（1）∵（0，－）在上，∴ ，∴ ＝－。（2）∵（0，－）在=m+n上，∴ n＝－。∴拋物線與直線另一交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m﹣，m2﹣m－）∵ 點(diǎn)（m﹣，m2﹣m+n）在上，∴ m2－m＝（m－）2＋（m－），∴（－1）（m－）2＝0。若（m－）＝0，則（m－， m2－m＋n）與（0，－）重合，與題意不合。∴ ＝1。∴拋物線，就是。∵ △＝2－4＝2－4×（－）＞0， ∴拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得1?2＝－。（3）拋物線的對(duì)稱軸為，最小值為。設(shè)拋物線在軸上方與軸距離最大的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為H，在軸下方與軸距離最大的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h。①當(dāng)<－1，即＞2時(shí)，在軸上方與軸距離最大的點(diǎn)是（1，o），∴｜H｜＝o＝＋＞。在軸下方與軸距離最大的點(diǎn)是（－1，o），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜－｜＝－＞。 ∴｜H｜＞｜h｜．∴這時(shí)｜o｜的最小值大于。② 當(dāng)－1≤≤0，即0≤≤2時(shí)，在軸上方與軸距離最大的點(diǎn)是（1，o），∴｜H｜＝yo＝＋≥，當(dāng)＝0時(shí)等號(hào)成立。在軸下方與軸距離最大點(diǎn)的是 （，），∴｜h｜＝｜｜＝≥，當(dāng)＝0時(shí)等號(hào)成立。∴這時(shí)｜o｜的最小值等于。③ 當(dāng)0＜≤1，即－2≤＜0時(shí),在軸上方與軸距離最大的點(diǎn)是（－1，yo），∴｜H｜＝yo＝｜1＋（－1）－｜＝｜－｜＝－＞。在軸下方與軸距離最大的點(diǎn)是 （，），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜｜＝＞。∴ 這 時(shí) ｜o｜的 最 小 值 大 于 。④ 當(dāng)1＜，即＜－2時(shí)，在軸上方與軸距離最大的點(diǎn)是（－1，o），∴｜H｜＝－＞。在軸下方與軸距離最大的點(diǎn)是(1，o)，∴｜h｜＝｜＋｜＝－（＋）＞，∴｜H｜＞｜h｜。∴這時(shí)｜o｜的最小值大于。綜上所述，當(dāng)＝0，0＝0時(shí)，這時(shí)｜o｜取最小值，為｜o｜＝。 【學(xué)力訓(xùn)練】1、（廣州）（1）y＝0.5x＋１，y＝（2）－６<x<0或x>4 2、（天津市）（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，拋物線為，方程的兩個(gè)根為，． ∴該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是和．  （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，拋物線為，且與軸有公共點(diǎn)．對(duì)于方程，判別式≥0，有≤． ①當(dāng)時(shí)，由方程，解得．此時(shí)拋物線為與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)， 時(shí)，，時(shí)，．由已知時(shí)，該拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為，應(yīng)有  即解得．綜上，或．    （Ⅲ）對(duì)于二次函數(shù)，由已知時(shí)，；時(shí)，，又，∴．于是．而，∴，即．∴．  ∵關(guān)于的一元二次方程的判別式，   ∴拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸下方．又該拋物線的對(duì)稱軸，由，，，得，∴．又由已知時(shí)，；時(shí)，，觀察圖象，可知在范圍內(nèi)，該拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．3、（吉林長春）（1）由得． 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即， 解得，或（舍去），故的值為． （2）由，得， 所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為， 于是，有，解得， 所以． （3）由，得函數(shù)的圖象為拋物線，其開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；由，得函數(shù)的圖象為拋物線，其開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為； 故在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)的圖象與的圖象沒有交點(diǎn)． 4、（廣西南寧）（1）設(shè)=,由圖①所示，函數(shù)=的圖像過（1，2），所以2=，故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=；因?yàn)樵搾佄锞€的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，所以設(shè)=，由圖12-②所示，函數(shù)=的圖像過（2，2），所以，故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是；（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉萬元（），則投入種植樹木（）萬元，他獲得的利潤是萬元，根據(jù)題意，得=+==當(dāng)時(shí)，的最小值是14；因?yàn)?/span>，所以所以所以所以，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，的最大值是32.    

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