? 2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 必刷題【蘇科版】
專題9.17四邊形與最值問(wèn)題培優(yōu)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）
班級(jí)：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、單選題
1．（2022春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為(???)

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】連接BN，BD，BM，BM交AC于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三邊關(guān)系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可；
【詳解】解：如圖，連接BN，BD，BM，BM交AC于點(diǎn)E，

ABCD是正方形，則AC、BD互相垂直平分，
∴ND=NB，
當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)E不重合時(shí)，△NBM中NB+NM＞BM，
當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)E重合時(shí)，NB+NM=BM，
∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值為BM，
ABCD是正方形，則BC=CD=8，∠BCD=90°，
∴CM=CD-DM=8-2=6，
∴BM=BC2+CM2=10，
∴DN+MN的最小值為10，
故選： C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
2．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，則PE+PC的最小值為（?????）

A．23 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化PE，PC的值，從而找出其最小值求解．
【詳解】如圖，連接AE，

因?yàn)辄c(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
所以PE+PC=PE+AP，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，BE=2，
∴AE=22+32=13，
∴PE+PC的最小值是13．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．根據(jù)已知得出兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解題關(guān)鍵．
3．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP = CQ，連接CP，QD，則PC + QD的最小值為（　?。?br />
A．8 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【分析】連接BP，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB=4，連接PE、CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，連接BP，

在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP∥BQ，
∴四邊形DPBQ是平行四邊形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
則PC+QD=PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，
在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB=4，連接PE，CE，
則BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分線，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
連接CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE=BE2+BC2=10，
∴PC+PB的最小值為10，
即PC+QD的最小值為10，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)南師附中新城初中?？计谥校┤鐖D，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，且∠ABC=600，E、F是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，連接AE、AF，則 AE＋AF 的最小值為（????）

A．23 B．6 C．32 D．13
【答案】D
【分析】如圖作AH∥BD，使得AH=EF=2，連接CH交BD于F，此時(shí)AE+AF的值最小，
【詳解】解：如圖作AH∥BD，使得AH=EF=2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小．

∵AH=EF，AH∥EF，
∴四邊形EFHA是平行四邊形，
∴EA=FH，
∵BD所在的直線是菱形的對(duì)稱軸,點(diǎn)A、C是對(duì)稱點(diǎn)，（或根據(jù)SAS證明△ABF≌△CBF）
∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠ABC=60°，
∴AC=AB=3，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH=90°，
在Rt△CAH中，CH= AC2+AH2=32+22＝13，
∴AE+AF的最小值為 13，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，菱形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
5．（2020春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠DAB=60°，E為BC的中點(diǎn)，在對(duì)角線AC上存在一點(diǎn)P，使△PBE的周長(zhǎng)最小，則△PBE的周長(zhǎng)的最小值為 (　???)

A．23 B．4 C．23+2 D．4+23
【答案】C
【分析】如下圖，△BEP的周長(zhǎng)=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE為最小值即可，過(guò)點(diǎn)E作AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FB，則FB就是BP+PE的最小值．
【詳解】如下圖，過(guò)點(diǎn)E作AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)E，過(guò)點(diǎn)B作FE的垂線，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)
∴BE=2
∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°
∵點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)
∴根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)F在DC的中點(diǎn)上
則CF=CE=2
∴△CFE是等邊三角形，∴∠FEC=60°，EF=2
∴∠BEG=60°
∴在Rt△BEG中，EG=1，BG=3
∴FG=1+2=3
∴在Rt△BFG中，BF=32+(3)2=23
根據(jù)分析可知，BF=PB+PE
∴△PBE的周長(zhǎng)=23+2
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和利用對(duì)稱性求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用對(duì)稱性，將BP+PE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為FB的長(zhǎng)．
6．（2020春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF＋DE的最小值為（）

A．12 B．20 C．48 D．80
【答案】D
【分析】連接AE，利用△ABE≌△BCF轉(zhuǎn)化線段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，則通過(guò)作A點(diǎn)關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)H，連接DH交BC于E點(diǎn)，利用勾股定理求出DH長(zhǎng)即可．
【詳解】解：解：連接AE，如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．

所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2，
連接BH，則A、B、H三點(diǎn)共線，
連接DH，DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn)．
根據(jù)對(duì)稱性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝45
∴BF＋DE最小值為45
故選：????D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、最短距離問(wèn)題，一般求兩條線段最短距離問(wèn)題，都轉(zhuǎn)化為一條線段．
7．（2020春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，E為BD上任意點(diǎn)，P為AE中點(diǎn)，則PO＋PB的最小值為 （???）

A．3 B．1+3 C．7 D．3
【答案】C
【分析】設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN為△ABD的中位線，點(diǎn)P在MN上，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)O'，連接BO'，則BO'即為PO＋PB的最小值，易證△ABO為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BO于H，求出AH=OO'，然后利用勾股定理求出BO即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN為△ABD的中位線，

∵P為AE中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P在MN上，
作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)O'，連接BO'，
∴OP=O'P，
∴PO＋PB=BP+O'P=BO'，
∵四邊形ABCD是矩形，∠AOD=120°，
∴OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB為等邊三角形，
∴AB=BO=4，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BO于H，
∴AH=22-12=3，
∵M(jìn)N∥BD，點(diǎn)H關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)為O'，
∴AH=OO'=3，且OO'⊥BD，
∴BO'=BO2+OO'2=22+(3)2=7，
即PO＋PB的最小值為7，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線，得出BO'為PO＋PB的最小值是解題關(guān)鍵．
8．（2020春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市第一女子中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，點(diǎn)P為?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC邊上，則PA+PD+PQ的最小值為(????????)

A．3+7+19 B．6+23 C．53 D．10
【答案】C
【分析】如下圖，將△APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△AFE處，通過(guò)邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)換，可將PA+PD+PQ轉(zhuǎn)化為PF+EF+PQ的形式，再利根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出最小值．
【詳解】如下圖，將△APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△AFE處，連接FP，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，交BC于點(diǎn)G，AD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)K

∵△AFE是△APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到
∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD
∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF
∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG
∵四邊形ABCD是平行四邊形，BC=6
∴AE=AD=BC=6，AD∥BC
∴在Rt△AHE中，AH=3，EH=33
∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC
∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG
∵∠ABC=60°，AB=4
∴在Rt△ABK中，BK=2，AK=23
∴HG=23
∴EG=33+23=53
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)△APD，將PA+PD+PQ轉(zhuǎn)化為PF+EF+PQ的形式．
9．（2022春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=6，ΔBDC面積為21，AB的垂直平分線MN分別交AB,AC于點(diǎn)M,N，若點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是線段MN和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PQ的最小值為（??????）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】連接AQ，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB，再根據(jù)PB+PQ=AP+PQ≥AQ計(jì)算即可；
【詳解】連接AQ，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，

∵BC=6，ΔBDC面積為21，
∴12·BC·DH=21，
∴DH=7，
∵M(jìn)N垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，
∴當(dāng)AQ的值最小時(shí)，PB+PQ的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AQ⊥BC時(shí)，AQ的值最小，
∵AD∥BC，
∴AQ=DH=7，
∴PB+PQ的值最小值為7；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形綜合，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
10．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知四個(gè)點(diǎn)A-8,0、B0,6、C4a,3a、D能組成平行四邊形，則CD的最小值為（????）
A．5 B．10 C．485 D．245
【答案】C
【分析】分兩種情況討論，當(dāng)CD是平行四邊形的一條邊，可得AB=CD，當(dāng)CD為對(duì)角線，可求AB，OC的解析式，可得當(dāng)CH⊥AB時(shí)，CH有最小值，即CD有最小值．
【詳解】解：①若CD是平行四邊形的一條邊，
則AB=CD=62+82=10；
②若CD是平行四邊形的一條對(duì)角線，
如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)A（-8，0）、B（0，6），
∴直線AB的解析式為：y=34x+6，
∵C（4a，3a），
∴過(guò)點(diǎn)C的直線為：y=34x，
∵點(diǎn)A（-8，0）、B（0，6），
∴AO=6，BO=8，
∴AB=AO2+BO2=10，
∵S△ABO=12AO·BO=12AB·OE，
∴OE=6×810=245，
∵四邊形ACBD是平行四邊形，
∴CH=DH=12CD，
∴當(dāng)CH⊥AB時(shí)，CH有最小值，即CD有最小值，
∴當(dāng)CH=OE=245時(shí)，CD有最小值為485＜10，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出OE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠AOB＝30°，OB＝4，點(diǎn)P為射線OA上任意一點(diǎn)，連接PB．以PO、PB為鄰邊作平行四邊形POQB，連接PQ，則線段PQ的最小值為_(kāi)____．

【答案】2
【分析】當(dāng)PQ⊥OA時(shí)，PQ最短，利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵四邊形PBQO是平行四邊形，

∴PH=HQ，OH=HB，
當(dāng)PQ⊥OA時(shí)，PQ最短，
∵∠AOB=30°，OB=4，
∴OH=2，
∴PH=1,
∴PQ=2PH=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定和性質(zhì)解答．
12．（2022春·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=CF=1，若點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EP+PF的最小值是______．

【答案】10
【分析】過(guò)E作AC的垂線交AD于點(diǎn)E′，連接E′F交AC于點(diǎn)P，過(guò)F作AD的垂線交AD于點(diǎn)G，則E′F即為所求，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求出E′F的長(zhǎng)．
【詳解】解：過(guò)E作AC的垂線交AD于點(diǎn)E′，連接E′F交AC于點(diǎn)P，過(guò)F作AD的垂線交AD于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC是正方形ABCD的一條對(duì)稱軸，
∴點(diǎn)E、E′關(guān)于AC對(duì)稱，
∴PE=PE′，
∴PE +PF的最小值是E′F的長(zhǎng)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵EE′⊥AC，
∴△AEE′是等腰三角形，
∴AE=AE′=3，
∵GF⊥AD，
∴GD=CF=1，
∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，
在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，
∴E′F=E'G2+GF2=62+82=10．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查的是最短路線問(wèn)題及正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
13．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，點(diǎn)E在AD上且DE＝4.點(diǎn)G在AE上且GE＝8，點(diǎn)P為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為EP的中點(diǎn)，則GF＋EF的最小值為_(kāi)___．

【答案】10
【分析】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'E，交BC于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)GF + EF的值最小，根據(jù)已知條件可得AP = 2GF，進(jìn)而可得GF+ EF= 12A'E，在Rt△AA' E中，由勾股定理可求A' E的長(zhǎng)，即可得出答案．
【詳解】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'E，交，BC于點(diǎn)P，連接AP，

∵ AD= 20，DE= 4，
∴ AE= 16，
∵GE=8，
∴G是AE的中點(diǎn)，
∵F是EP的中點(diǎn)，
∴ AP= 2GF，
∴GF+ EF=12 AP+12EP
=12（AP+EP)=12(A'P+EP)=12A'E，
此時(shí)，GF+EF取得最小值，
∵AB=6，
∴AA`=12，
在Rt?AA`E中，A'E=A'A2+AE2=122+162=20 ，
∴GF+EF的最小值為10．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離、三角形的中位線定理、勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法及三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，CD是直線x＝1上長(zhǎng)度固定為1的一條動(dòng)線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值為 _________________．

【答案】17+1+32
【分析】在y軸上取點(diǎn)E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到AB，作點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)A'，得到A'、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD+DE最小值為A'E的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出A'E，即可得解；
【詳解】解：如圖，在y軸上取點(diǎn)E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，

∵B（0，4），A（﹣1，0），
∴OB＝4，OA＝1，
∴OE＝3，AB＝12+42=17，
作點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)A'，
∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD+DE最小值為A'E的長(zhǎng)，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝32+32=32，
∴C四邊形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝17+1+32．
故答案為：17+1+32．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題、勾股定理、位置與坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析作圖計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
15．（2021春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=13S矩形ABCD，則△PAB周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．

【答案】6+213
【分析】先由S△PAB=13S矩形ABCD，得出動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，BE，則AB+BE就是△PAB周長(zhǎng)的最小值．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．
∵S△PAB=13S矩形ABCD，
∴12AB?h＝13AB?AD，
∴h＝23AD＝2，
∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，
如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，BE，則AB+BE就是△PAB周長(zhǎng)的最小值．

在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2＋2＝4，
∴BE＝62+42=213，即PA＋PB的最小值為213．
∴△PAB周長(zhǎng)的最小值=6+213．
故答案為：6+213．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．
16．（2021春·江蘇蘇州·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊作等邊△EFG，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)，連接CG，則CG的最小值為_(kāi)_______．

【答案】4
【分析】以EC為邊作等邊三角形ECH，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，可證四邊形MHNB是矩形，可證MH=BN，由“SAS”可證△FEH≌△GEC，可得FH=GC，當(dāng)FH⊥AB時(shí)，F(xiàn)H有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，以EC為邊作等邊三角形ECH，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，

又∵∠ABC=90°，
∴四邊形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=4，
∵△EHC是等邊三角形，HN⊥EC，
∴EC=EH=4，EN=NC=2，∠HEC=60°，
∴BN=4=MH，
∵△FGE是等邊三角形，
∴FE=GE，∠FEG=60°=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
FE=GE∠FEH=∠GECHE=EC，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH=GC，
∴當(dāng)FH⊥AB時(shí)，F(xiàn)H有最小值，即GC有最小值，
∴點(diǎn)F與點(diǎn)M重合時(shí)，F(xiàn)H=HM=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
17．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊AD上一點(diǎn)，AE=2cm，DE=6cm，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，則AP+PE的最小值是______cm．

【答案】10
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，點(diǎn)A與點(diǎn)C是對(duì)稱點(diǎn)，連接CE，則CE是AP+PE的最小值，運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)C是對(duì)稱點(diǎn)，連接CE，則CE長(zhǎng)是AP+PE的最小值，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=8，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=AD=8，∠CDE=90°，
∴CE=CD2+DE2=82+62=10，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求線段和最小值，勾股定理，熟練確定線段和的最小值線段，并靈活用勾股定理求值是解題的關(guān)鍵．
18．（2021春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF,CF，則DF+CF的最小值是_____．

【答案】45
【分析】如圖所示，根據(jù)題意構(gòu)造出△AED和△GFE全等，分析出點(diǎn)F的軌跡，然后根據(jù)D、F、C三點(diǎn)共線時(shí)求出最小值即可．
【詳解】解：連接BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∵∠ADE+∠AED=90°，∠GEF+∠AED=90°，
∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，
{∠A=∠EGF∠ADE=∠FEGDE=EF
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，AD=GE，
又∵AD=AB，
∴GE=AB，
∴AE=BG，
∴FG=BG，
又∵FG⊥BG，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴∠GBF=45°，
∴BF是∠CBC′的角平分線，
即F點(diǎn)在∠CBC′的角平分線上運(yùn)動(dòng)，
過(guò)點(diǎn)C作BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，則BC=BC'=4,
∴C點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，△CBC'是等腰直角三角形，
∴當(dāng)D、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF＝DC'最小，
∴在△DAC'中，AD＝4，AC'=AB+BC'=AB+BC=8，
∴DC'=AD2+AC'2=42+82=45，
∴DF+CF的最小值為45，
故答案為：45．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑，能夠?qū)⒕€段的和通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．
19．（2021春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝23，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是_____．

【答案】23
【分析】分別作DC,DE的中點(diǎn)H,I連接HI，P點(diǎn)在HI上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PB⊥HI時(shí)，PB有最小值，證明△PHB ≌ △CHB即可求得BP的最小值．
【詳解】分別作DC,DE的中點(diǎn)H,I連接HI
∵ P為DF中點(diǎn)
當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，P點(diǎn)與H點(diǎn)重合，
當(dāng)F點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，P點(diǎn)與I點(diǎn)重合，
∴ P點(diǎn)在HI上運(yùn)動(dòng)
當(dāng)PB⊥HI時(shí)，PB有最小值

∵四邊形ABCD是矩形,AB＝4，AD＝23
∴∠A=∠ABC=∠BCD=90°
CD=AB=4,BC=AD=23
∵H為DC的中點(diǎn)，I為DE的中點(diǎn)
∴ HC=12DC=2,HI//EC
∵ E為AB的中點(diǎn)
∴AE=BE=12AB=2
∴DE=AD2+AE2=4
EC=EB2+BC2=4
∴∠ADE=30°,∠ECB=30°
∴∠DEA=∠CEB=60°
∴∠DEC=60°
∵DE=EC
∴△DEC是等邊三角形
∴∠ECD=60°
∵ HI//EC
∴∠DHI=60°
∵HC=2,BC=23 ,∠BCD=90°
∴HB=HC2+BC2=4
∴∠HBC=30°
∴∠BHC=60°
∴∠IHB=180°-∠DHI-∠BHC=60°
∴∠PHB=∠CHB
∵ PB⊥HI
∴∠BPH=90°
在△PHB與△CHB中
∠BCH=∠BPH∠PHB=∠CHBHB=HB
∴ △PHB ≌ △CHB（AAS）
∴BP=BC=23
故答案為23
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形并證明△PHB ≌ △CHB是解題的關(guān)鍵．
20．（2021春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為邊BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），AE、BD交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且垂直于AE的一條直線MN分別交AB、CD于點(diǎn)M、N．連接AN，將△APN沿著AN翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處．AD的中點(diǎn)為F，則P′F的最小值為 ____．

【答案】24
【分析】判斷△ADG是等腰三角形，點(diǎn)P'在等腰直角三角形ADG的邊GD上，當(dāng)FP'⊥GD時(shí)，P'F的值最小，求解即可．
【詳解】解：如圖，若點(diǎn)E點(diǎn)B重合，則點(diǎn)P與B點(diǎn)重合，MN與BC重合，△ABC沿AC折疊，則點(diǎn)P'與點(diǎn)D重合，
若點(diǎn)E點(diǎn)C重合，則點(diǎn)P為正方形對(duì)角線交點(diǎn)，△ADP為等腰直角三角形，沿AD折疊，點(diǎn)P'落在點(diǎn)G處，則△ADG是等腰直角三角形，
則點(diǎn)P'在DG上運(yùn)動(dòng)，

∵AD=2，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，
∴DF=12AD=12
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)FP'⊥GD時(shí)，P'F的值最小，
此時(shí)ΔFP'D是等腰直角三角形，
∴FP'=FD22=24；
故答案為：24
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用“垂線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．
三、解答題
21．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)A點(diǎn)作AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

(1)求證：DE∥BF；
(2)當(dāng)△ABD滿足什么條件時(shí)，四邊形DEBF是菱形（不需要證明）
(3)請(qǐng)利用備用圖分析，在（2）的條件下，若BE=2，∠DEB=120°，點(diǎn)M為BF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PF+PM的最小值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，四邊形DEBF是菱形，證明見(jiàn)解析
(3)3
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DF=BE，AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AGBD是矩形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ED=EB，證明結(jié)論；
（3）連接EM交BD于P，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)證明此時(shí)PF+PM的值最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE∥BF；
（2）當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，四邊形DEBF是菱形．
理由：∵∠ADB=90°，又E為邊AB的中點(diǎn)，
∴ED=EB，又四邊形DEBF是平行四邊形，
∴四邊形DEBF是菱形；
（3）連接EF，連接EM交BD于P，
∵四邊形DEBF是菱形，
∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于BD軸對(duì)稱，此時(shí)PF+PM的值最小，
∵四邊形DEBF是菱形，∠DEB=120°，
∴∠EBF=60°，
∴△BEF是等邊三角形，又BE=2，
∴EM=3，即PF+PM的最小值為3．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱變換的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理、正確作出輔助性是解題的關(guān)鍵．
22．（2021春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┮阎鐖D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A26,0,C0,12，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)C向B運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t何值時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形；
（2）在直線CB上是否存在一點(diǎn)Q，使得O、D、Q、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在線段PB上有一點(diǎn)M，且PM=13，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)_______秒時(shí)，四邊形OAMP的周長(zhǎng)最小，并在圖3中畫(huà)圖標(biāo)出點(diǎn)M的位置．
【答案】（1）132；（2）存在，t=52，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）；（3）134
【分析】（1）先求出OA，進(jìn)而求出OD=5，再由運(yùn)動(dòng)知BP=10-2t，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)建立方程26-2t=13即可得出結(jié)論；
（2）分三種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出四邊形OAMP周長(zhǎng)最小，得出AM+DM最小，即可確定出點(diǎn)M的位置，再用三角形的中位線得出BM，進(jìn)而求出PC，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵四邊形OABC為矩形，A（26，0），C（0，12），
∴BC=OA=26，AB=OC=12，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD=12OA=13，
由運(yùn)動(dòng)知，PC=2t，
∴BP=BC-PC=26-2t，
∵四邊形PODB是平行四邊形，
∴PB=OD=13，
∴26-2t=13，
∴t=132；
（2）①當(dāng)Q點(diǎn)在P的右邊時(shí)，如圖1，

∵四邊形ODQP為菱形，
∴OD=OP=PQ=13，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=5，
∴2t=5；
∴t=52，
∴CQ=CP+PQ=5+13=18，
∴Q（18，12）；
②當(dāng)Q點(diǎn)在P的左邊且在BC線段上時(shí)，如圖2，

同①的方法得出 t=9，CQ=5，
∴Q（5，12），
③當(dāng)Q點(diǎn)在P的左邊且在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，

同①的方法得出，t=4，CQ=5，
∴Q（-5，12），
綜上：t=52，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）；
（3）如圖4，由（1）知，OD=13，

∵PM=13，
∴OD=PM，
∵BC∥OA，
∴四邊形OPMD是平行四邊形，
∴OP=DM，
∵四邊形OAMP的周長(zhǎng)為OA+AM+PM+OP
=26+AM+13+DM=39+AM+DM，
∴AM+DM最小時(shí)，四邊形OAMP的周長(zhǎng)最小，
∴作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交PB于M，
∴AB=EB，
∵BC∥OA，
∴BM=12AD=132，
∴PC=BC-BM-PM=26-132-13=132，
∴t=132÷2=134．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，最值的確定，三角形中位線定理，解（1）的關(guān)鍵是求出OD的值，解（2）的關(guān)鍵時(shí)分類討論的思想，解（3）的關(guān)鍵是找出點(diǎn)M的位置，是一道中等難度的中考?？碱}．
23．（2021春·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形OABC中，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4)，點(diǎn)D在線段OA上，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊作等腰直角三角形BDE，BE交y軸于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)AD=1時(shí)，則點(diǎn)E坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）連接DF，當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ODF的周長(zhǎng)是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出其周長(zhǎng)；
（3）連接CE，當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CE的最小值．
【答案】（1）(-1,1)；（2）不變，8；（3）22
【分析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H．證明ΔEDH?ΔDBA(AAS)，推出DH=AB，EH=AD=1，可得結(jié)論．
（2）結(jié)論：ΔODF的周長(zhǎng)不變．想辦法證明DF=CF+AD即可．
（3）由（1）可知，OE=OH=1，推出∠EOH=∠COE=45°，推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線OE，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥OE于T，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)T重合時(shí)，EC的值最?。?br /> 【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H．
∵四邊形OABC是正方形，B(4,4)，
∴OA=AB=4，∠BAD=90°，
∵ΔBDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB，∠EDB=∠EHD=∠BAD=90°，
∴∠EDH+∠BDA=90°，∠BDA+∠ABD=90°，
∴∠EDH=∠ABD，
∴ΔEDH?ΔDBA(AAS)，
∴DH=AB，EH=AD=1，
∵OA=AB，
∴DH=OA，
∴OH=DA=1，
∴E(-1,1)．
故答案為：(-1,1)．
（2）結(jié)論：ΔODF的周長(zhǎng)不變．
理由：將ΔBCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔBAJ．
∴∠CBF=∠ABJ，
∴∠CBA=∠FBJ=90°，
∵∠EBD=45°，
∴∠DBF=∠DBJ=45°，
∵DB=DB，BF=BJ，
∴ΔDBF?ΔDBJ(SAS)，
∴DF=DJ，
∵DJ=DA+AJ，CF=AJ，
∴DF=CF+AD，
∴ΔODF的周長(zhǎng)=OF+DF+OD=OF+CF+OD+AD=OC+OA=8．
（3）由（1）可知，HE=OH，
∴∠EOH=∠COE=45°，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線OE，
過(guò)點(diǎn)C作CT⊥OE于T，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)T重合時(shí)，EC的值最小，
最小值CT=22OC=22，
∴EC的最小值為22．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
24．（2019春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)E、F在矩形的邊上，連接EF，將紙片沿EF折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P.
（1）如圖1，若點(diǎn)P在邊AB上，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，則∠DEF=______°，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，則∠DEF=_____°；

（2）如圖2，若點(diǎn)P在邊AB上，且點(diǎn)E、F分別在AD、DC邊上，則線段AP的取值范圍是_______；

（3）如圖3，若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在AD上，線段BA、FP交于點(diǎn)M，且AM=DE，求線段AE的長(zhǎng)度.

【答案】（1）90°，45°；（2）1?x?3：（3）67
【分析】（1）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖4，畫(huà)出圖形可得結(jié)論；
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖5，則EF平分∠DAB；
（2）由題意可知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，AP達(dá)到最長(zhǎng)，可知四邊形EPFD為正方形，可算出AP的長(zhǎng)度；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，AP長(zhǎng)度達(dá)到最小，利用勾股定理可算出AP的長(zhǎng)度
（3）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．
【詳解】解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖4，

∴EF 是AD的中垂線，
∴∠DEF＝90°，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖5，

此時(shí)∠DEF＝∠DAB＝45°，
故答案為90°，45°；??
(2)由題意可知：
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，AP達(dá)到最長(zhǎng)，如圖5所示，

可知四邊形EPFD為正方形，
∴ AP=3
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，AP長(zhǎng)度達(dá)到最小如下圖所示

由圖可知：ΔDEC?ΔPEF,
∴DC=PF=5
∵BC=3
∴BP=4
∴AP=AB-BP=5-4=1
∴1≤AP≤3
（3）如圖6，連接EM，

∵DE＝EP＝AM，
∴ΔEAM≌ΔMPE，
設(shè)AE＝x，則AM＝DE＝3﹣x，則BM＝x+2 ，
∵M(jìn)P＝EA＝x，CP＝CD＝5，
∴MC＝5﹣x，
∴（x+2）2+32＝（5﹣x）2，
解得：x＝67；
故 AE=67
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵，本題難度適中，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．
25．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ABC=60°，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點(diǎn)F，C，AE，EF的中點(diǎn)分別為M，N．

(1)求證：AF=EF；
(2)求MN+NG的最小值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)12
【分析】（1）連接CF，根據(jù)FG垂直平分CE和菱形的對(duì)稱性即可得到CF=EF，CF=AF，從而求證結(jié)論；
（2）利用M和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，即可得到MN+NG=12(AF+CF)，當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O重合時(shí)，AF+CF最小，此時(shí)MN+NG最小，結(jié)合已知推斷△ABC為等邊三角形，即可求解．
（1）
證明：連接CF，

∵FG垂直平分CE，
∴CF=EF，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴A和C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，
∴CF=AF，
∴AF=EF；
（2）
解：連接AC，

∵M(jìn)和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，
∴MN=12AF,NG=12CF，即
MN+NG=12(AF+CF)
當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O重合時(shí)，AF+CF最小，
即此時(shí)MN+NG最小，
∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為1，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，AC=AB=1，
即MN+NG的最小值為12．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)的知識(shí)，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．
26．（2022春·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），OF⊥OE交CD于F．

(1)求證：△OBE≌△OCF；
(2)求證：2OE2=BE2+DF2；
(3)如圖2，若正方形ABCD邊長(zhǎng)為22，G為EF中點(diǎn)，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CG長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)1

【分析】（1）先判斷出OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，再判斷出∠BOE=∠COF，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出CE=DF，再利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出OE⊥BC時(shí)，CG長(zhǎng)的值最小，即可求出答案．
（1）
證明：∵正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°=∠BOC，
∴∠BOE=∠COF，
在△OBE和△OCF中，
∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF，
∴△OBE≌△OCFSAS．
（2）
由（1）知：△OBE≌△OCF，
∴OE=OF，BE=CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴BC-BE=CD-CF，
∴CE=DF，
在Rt△ECF中，CF2+CE2=EF2，
∴BE2+DF2=EF2，
在Rt△EOF中，OE=OF，
∴EF2=OE2+OF2=2OE2，
∴2OE2=BE2+DF2．
（3）
解：在Rt△ECF中，G為EF中點(diǎn)，
∴CG=12EF，
由（2）知：EF=OE2+OF2=2OE2=2OE，
∴CG=22OE，
要CG長(zhǎng)的值最小，則OE長(zhǎng)的值最小，
∵點(diǎn)E在BC上，正方形ABCD邊長(zhǎng)為22，OB=OC，∠BOC=90°，
∴當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE長(zhǎng)的值最小，
此時(shí)OE是Rt△BOC的BC邊上的中線，
∴OE=12BC=12×22=2，
∴CG長(zhǎng)的最小值為22OE=22×2=1．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜臺(tái)題，主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，垂線段最短．確定線段OE的長(zhǎng)取得最小值時(shí)所在的位置是解題的關(guān)鍵．
27．（2022春·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師九年級(jí)上刪數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容．
如圖，??在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，根據(jù)畫(huà)出的圖形，可以猜想：
DE∥BC，且DE=12BC
對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明．


【定理證明】

(1)請(qǐng)根據(jù)材料內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫(xiě)出證明過(guò)程．
【定理應(yīng)用】
(2)如圖②，四邊形ABCD中，M、N、P分別為AD、BC、BD的中點(diǎn)，邊BA、CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，∠E=45°，則∠MPN的度數(shù)是__________．
(3)如圖③，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，點(diǎn)E在邊AB上，且AE=3BE．將線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，得到線段AF，M是線段CF的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段BM長(zhǎng)的最大值和最小值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)135°
(3)BM長(zhǎng)的最大值為4，最小值為1

【分析】（1）延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，連接CF，根據(jù)題意證明ΔAED?ΔCEF，然后證明四邊形DBCF為平行四邊形，即可得出DE∥BC，DE=12BC；
（2）首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠BDC=∠EBD+∠E，然后由三角形中位線的性質(zhì)得到∠EBD=∠MPD，∠DPN+∠BDC=180°，可得到∠MPD=∠BDC-45°，由∠MPN=∠MPD+∠DPN即可求出∠MPN的度數(shù)．
（3）延長(zhǎng)CB至H，使BH=CB，連接FH，AH，可得BM=12FH，可得當(dāng)FH最小或最大時(shí)，MB最小或最大，由題意可得當(dāng)點(diǎn)F在線段AH上時(shí)，F(xiàn)H最小，當(dāng)點(diǎn)F在線段HA的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)H最大，根據(jù)勾股定理求出AH的長(zhǎng)度，然后即可求出線段BM長(zhǎng)的最大值和最小值．
【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，連接CF，

∴DE=12DF，
∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，
∴AD=BD,AE=CE，
在ΔAED和ΔCEF中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE，
∴ΔAED?ΔCEF，
∴AD=CF，∠A=∠ACF，
∴AB∥CF，
∵AD=DB，
∴BD=CF，
又∵BD∥CF，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥BC，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC；
（2）∵M(jìn)、N、P分別為AD、BC、BD的中點(diǎn)，
∴MP是△DAB的中位線，PN是△BCD的中位線，
∴MP∥AB，PN∥CD，
∴∠EBD=∠MPD，∠DPN+∠BDC=180°，
又∵∠BDC=∠EBD+∠E，
∴∠MPD=∠BDC-∠E=∠BDC-45°，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠BDC-45°+∠DPN=180°-45°=135°；
（3）解：延長(zhǎng)CB至H，使BH=CB=3，連接，AH，
∴B是線段CH的中點(diǎn)FH

∵M(jìn)是線段CF的中點(diǎn)，
∴BM=12FH，
在Rt△ABH中，AH=AB2+BH2=5，
當(dāng)點(diǎn)F在線段HA的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)H最大，此時(shí)FH最大值為5+3=8，
當(dāng)點(diǎn)F在線段AH上時(shí)，F(xiàn)H最小，此時(shí)FH最小值為5-3=2，
∴BM長(zhǎng)的最大值為4，最小值為1．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，線段最值問(wèn)題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理．
28．（2022春·重慶·八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在?ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，連接CE．

(1)如圖1，點(diǎn)G在BD上，且DG=DC，連接CG，過(guò)G作GH⊥CE于點(diǎn)H，連接DH并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，若HG=BM，求證：BM+2DH=DB；
(2)如圖2，∠ABC=120°，AB=5，點(diǎn)N在BC邊上，BC=4CN，若CE是∠DCB的角平分線，線段PQ（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）在線段CE上運(yùn)動(dòng)，PQ=152，連接BP、NQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出BP+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)35+152

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)D作ND⊥DM，垂足為D，交CE于點(diǎn)N，證明△DHG≌△DNC，得到等腰直角三角形DHN，再證明△DBM≌△CHG即可得證．
(2) 如圖，作BO∥PQ，BO=PQ，則四邊形PQOB是平行四邊形，由于PQ是定值，故BP+PQ+QN的最小值，關(guān)鍵在確定BP+QN=OQ+QN的最小值，運(yùn)用將軍飲馬河模型，構(gòu)造計(jì)算即可．
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D作ND⊥DM，垂足為D，交CE于點(diǎn)N，設(shè)BD、CE的交點(diǎn)為F，
∵∠HDG+∠GDN=90°，∠NDC+∠GDN=90°，
∴∠HDG=∠NDC，
∵∠GHF=∠FDC=90°，∠GFH=∠CFD，
∴∠HGD=∠NCD，
∵DG=DC，
∴△DHG≌△DNC，
∴DH=DN，GH=NC，∠DHN=∠DNH=45°，HN=2DH，
∵DG=DC，
∴∠DGC=∠DCG=45°，
∴∠HCG+∠HCD=45°，∠NDC+∠HCD=45°，
∴∠HCG=∠NDC，
∴∠HCG=∠BDM，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵BD⊥CD，
∴BD⊥AB，
∴∠GHC=∠MBD=90°，
∵BM=HG，
∴△DBM≌△CHG
∴BD=HC，
∵HC=HN+NC=2DH+GH=2DH+BM，
∴BD=2DH+BM．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD=5，
∵BD⊥CD，
∴BD⊥AB，
∴∠GHC=∠MBD=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=30°，∠DCB=60°，
∴BC=2CD=25，
∵CE平分∠DCB，BC=4CN，
∴∠DCE=∠BCE=30°，CN=52，
如圖，作BO∥PQ，BO=PQ，則四邊形PQOB是平行四邊形，
∴BP=OQ，
∴BP+QN=OQ+QN，
過(guò)點(diǎn)N作NM⊥CE，交CD于點(diǎn)M，
則△MNC是等邊三角形，

∴點(diǎn)M是點(diǎn)N關(guān)于直線EC的對(duì)稱點(diǎn)，
連接OM交CE于點(diǎn)Q，
∴BP+QN=OQ+QN的最小值為OM，
過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CN，交CN于點(diǎn)F，
則CF=FN=12CN=54，MF=32CN=154，
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CB，交CB于點(diǎn)H，
∵OB∥CQ，
∴∠OBH=∠BCE=30°，
∵BO=PQ=152，
∴OH=12BO=154，BH=32BO=354，
過(guò)點(diǎn)O作OG⊥MF，交MF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
則四邊形OHFG是矩形，
∴FH=OG=BC-BH-CF=25-354-54=5，F(xiàn)G=OH=154，
∴MG=MF+FG=154+154=152，
在Rt△OMG中，OM=OG2+MG2=(5)2+(152)2=352，
∴BP+PQ+QN的最小值為352+152=35+152．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，將軍飲馬河問(wèn)題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確使用將軍飲馬河模型是解題的關(guān)鍵．
29．（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

(1)如圖①，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外分別作等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD，BE．試猜想CD與BE的數(shù)量關(guān)系是________；
(2)問(wèn)題探究：如圖②，四邊形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的長(zhǎng)．
(3)問(wèn)題解決：如圖③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一個(gè)變化的角，以AB為邊向△ABC外作等邊△ABD，連接CD，求CD的長(zhǎng)度最大值．
【答案】(1)CD=BE
(2)9
(3)5

【分析】（1）結(jié)論：CD=BE．證明△DAC≌△BAE（SAS），可得結(jié)論．
（2）如圖②中，以AB為邊向外作等腰直角△ABT，證明△TAC≌△BAD（SAS），推出CT=BD，利用勾股定理求出CT即可．
（3）存在．如圖③中，以BC為邊向外作等邊△BCF，連接AF．證明△DBC≌△ABF（SAS），推出DC=AF，可得結(jié)論．
(1)
解：CD=BE．
理由：如圖①中，∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE．
故答案為：CD=BE．
(2)
如圖②中，以AB為邊向外作等腰直角△ABT，連接CT．
∵∠BAT=∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠TAC，
在△TAC和△BAD中，
AT=AB∠TAC=∠BADAC=AD
∴△TAC≌△BAD（SAS），
∴CT=BD，
∵∠ABT=∠ABC=45°，
∴∠TBC=90°，
∵AB=2BC=6，
∴BT=62,BC=3，
∴CT=BC2+BT2=32+(62)2=9，
∴BD=TC=9；

(3)
存在．如圖③中，以BC為邊向外作等邊△BCF，連接AF．
∵△ABD，△BCF都是等邊三角形，
∴BA=BA，BC=BF，∠DBA=∠CBF=60°，
∴∠DBC=∠ABF，
在△DBC和△ABF中，
BD=BA∠DBC=∠ABFBC=BF
∴△DBC≌△ABF（SAS），
∴DC=AF，
∵AC=2，CF=BC=3，
∴AF≤AC+CF，
∴AF≤5，
∴當(dāng)A，C，F(xiàn)共線時(shí)，AF的值最大，最大值為5，
∴CD的最大值為5．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
30．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)期末）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2

(1)如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP＝QE；
(2)如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過(guò)程中，若四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQNM的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)4
(3)4

【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=EG最小，然后過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長(zhǎng)度；
（3）要使四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，作點(diǎn)Q關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，由面積和差關(guān)系可求解．
【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）如圖③，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，作點(diǎn)Q關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，連接FP交AD于T，

∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四邊形PQNM的面積=12×PF×PH-12×PF×TM-12×QH×CN=12×8×8-12×8×4-12×6×3=7．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過(guò)構(gòu)造平行四邊形和軸對(duì)稱找到點(diǎn)P和點(diǎn)Q位置是解題的關(guān)鍵．

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