2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊 必刷題【蘇科版】專題9.8菱形的判定專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）班級：___________________   姓名：_________________   得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置． 一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（2022春·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）以下條件中能判定平行四邊形為菱形的是（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的判定定理即可進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四邊相等的四邊形是菱形．2．（2022春·云南楚雄·九年級統(tǒng)考期中）下列關(guān)于菱形的說法中正確的是（     ）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．菱形的對角線互相垂直且平分C．菱形的對角線相等且互相平分 D．對角線互相平分的四邊形是菱形【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及判定，逐項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故A錯誤；B、C.菱形的對角線互相垂直且平分，故B正確，C錯誤；D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故D錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記菱形的對角線垂直且互相平分，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．3．（2022·江蘇無錫·?？级＃┫铝忻}中：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（4）對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形，正確的命題個數(shù)為（      ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行形四邊形、矩形、菱形、正方形的判定分別得出各選項是否正確即可．【詳解】解：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定得出，表述正確，符合題意； （2）對角線相等的平行四邊形是矩形；根據(jù)矩形的判定得出，表述正確，符合題意； （3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)菱形的判定得出，表述正確，符合題意； （4）對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形；原表述錯誤，不符合題意． 故選：C．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的定理．4．（2022春·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，，分別是菱形四邊的中點，連接，，且，交于點，則圖中共有菱形（    ）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】由菱形的判定和選擇，圖中菱形有：四邊形，四邊形，四邊形均為菱形，四邊形，四邊形，共5個【詳解】∵四邊形是菱形，∴，∵，，，分別是菱形中四邊的中點，∴，∴四邊形為菱形，同理：四邊形，四邊形，四邊形均為菱形，∴圖中共有5個菱形，即：四邊形，四邊形，四邊形均為菱形，四邊形，四邊形，故選B．【點睛】本題考查了菱形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握四邊相等的四邊形是菱形．5．（2022春·廣東梅州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，，則下列說法中不正確的是（    ）A．四邊形是平行四邊形B．如果，那么四邊形是矩形C．如果分，那么四邊形是菱形D．如果且，那么四邊形是菱形【答案】D【分析】兩組對邊分別平行的平行四邊形是平行四邊形；有一個角是的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四個角是直角且四個邊都相等的四邊形是正方形，據(jù)此逐個判斷即可．【詳解】A：∵，∴四邊形是平行四邊形，故A選項正確；B：∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形，故B選項正確；C：∵分，∴，又∵，∴,∴，∴,又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，故C選項正確；D：如果且，則四邊形是菱形，故D選項錯誤；故選：D【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理和正方形的判定定理等知識點，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，為中點，過點的直線分別與，交于點，，連結(jié)，交于點，連結(jié)，．若，，則下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③垂直平分線段；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（   ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)，則，根據(jù)點是的中點，證明，判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，，根據(jù)，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)，，得；根據(jù)，得，等量代換，得，垂直平分線段，，即可判斷；利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理，可判斷；根據(jù)直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半，則，根據(jù)，得，，，等量代換，即可判斷．【詳解】在矩形中，，∴，∵點是的中點∴∵∴∴，故正確；在矩形中，，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分線段，∴，∴平行四邊形是菱形．故正確；∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴垂直平分線段．故正確；∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴．故不正確．綜上所述，正確的有．故選：C．【點睛】本題考查矩形，菱形，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形和全等三角形等知識，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)．7．（2022春·廣東茂名·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，O為的中點，過點O的直線分別交于F，交于E，點G是的中點，且，，則下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）四邊形為菱形；（4）．其中正確的個數(shù)為（   ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)條件，是直角斜邊上的中線，且，然后利用三角函數(shù)求得、以及、之間的關(guān)系即可作出判斷．【詳解】解：，是的中點，，，在中，，，設(shè)，，．，，，，故①正確；，故②錯誤；，，，，，又，，四邊形是菱形，故③正確；，，，故④正確；綜上所述正確的有3個．故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的判定，正確理解圖形中，從而確定、以及、之間的關(guān)系是關(guān)鍵．8．（2022春·四川成都·九年級四川省成都市七中育才學(xué)校校考期中）如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，且，，下列說法錯誤的是（   ）A．若，四邊形是菱形B．若，四邊形是矩形C．若且，四邊形是正方形D．若，四邊形是正方形【答案】D【分析】由平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，四邊形是平行四邊形，A、若，則平行四邊形是菱形，故選項A不符合題意；B、若，則平行四邊形是矩形，故選項C不符合題意；C、若且，則平行四邊形是正方形，故選項C不符合題意；D、若，則平行四邊形是矩形，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，熟練掌握各四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，對角線相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你加一個條件________，使是菱形．【答案】（答案不唯一）．【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當(dāng)AB=BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB時，四邊形ABCD為菱形．故答案為：AB=BC（答案不唯一）．【點睛】本題考查了菱形的判定，熟記菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個作為條件，補充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號）．【答案】①【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：①時，平行四邊形是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；②時，平行四邊形是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；③由平行四邊形的性質(zhì)可知，，則不能作為構(gòu)成菱形的條件；故答案為：①．【點睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，兩張等寬的矩形紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形中，，，則四邊形的面積為___________．【答案】24【分析】過點A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，由紙張的寬度相等得到AE=AF，再根據(jù)平行四邊形等面積法證明AB=AD，進(jìn)而證明四邊形ABCD是菱形，再根據(jù)菱形的面積求解即可．【詳解】解：過點A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，連接AC，BD交于點O，如圖所示：∵兩條紙條寬度相同，∴AE=AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵S?ABCD=BC?AF=CD?AE，又∵AE=AF，∴BC=CD，∴四邊形ABCD是菱形，∴BO=DO=3，AC⊥BD，∴，∴菱形ABCD的面積為：，故答案為：24．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)以及勾股定理等知識，證得四邊形ABCD為菱形是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點是的中點，點、分別在線段及其延長線上，且，給出下列條件：①；②；③：從中選擇一個條件使四邊形是菱形，你認(rèn)為這個條件是_______（只填寫序號）．【答案】②【分析】根據(jù)點是的中點，點、分別在線段及其延長線上，且，即可證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定即可作出判斷．【詳解】解：∵點是的中點，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，①時，四邊形是矩形，不一定是菱形；②時，∵點是的中點，∴，∴是的垂直平分線，∴，∴平行四邊形是菱形；③四邊形是平行四邊形，則一定成立，故不一定是菱形．故答案為：②．【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，垂直平分線的性質(zhì)．菱形的判定常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．理解和掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，，分別是邊、、、的中點．若四邊形為菱形，則對角線、應(yīng)滿足條件______．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)定理分析即可求解．【詳解】因為四邊形EFGH為菱形，所以，∵E，F，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)、中位線性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點，當(dāng)四邊形ABCD滿足_______時（填寫一個條件），PQ⊥MN．【答案】AB=CD【分析】根三角形中位線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)即可解答；【詳解】解：∵P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點，∴PN是△ACD的中位線，PN=CD， MQ是△BCD的中位線，MQ=CD， ∴MQ=PN=CD， 同理可得：NQ=PM=AB，當(dāng)AB=CD時，MQ=PN=NQ=PM，四邊形MQNP是菱形，∵菱形對角線垂直平分，∴PQ⊥MN，故答案為：AB=CD；【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2019秋·江蘇無錫·八年級無錫市江南中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若從三個條件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，選擇一個作為已知條件，則能使四邊形為菱形的是__（填序號）．【答案】②【分析】根據(jù)②作條件，先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再利用鄰邊相等，得到四邊形ADCE是菱形.【詳解】解：當(dāng)BA=BC時，四邊形ADCE是菱形．理由：∵AE∥CD，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴四邊形ADCE是菱形．【點睛】本題考查的知識點是菱形的證明，解題關(guān)鍵是熟記菱形的性質(zhì).16．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，對角線，交于點，，，，分別是，，的中點．下列結(jié)論正確的是__________．（填序號）①；②；③平分；④平分；⑤四邊形是菱形．【答案】①②③【分析】由中點的性質(zhì)可得出，且，結(jié)合平行即可證得②結(jié)論成立，由 得出，即而得出，由中線的性質(zhì)可知GP∥BE，且，，通過證得出得出①成立，再證得出④成立，此題得解．【詳解】解：令和的交點為點，如圖、分別是、的中點，，且，四邊形為平行四邊形，∴AB∥CD，且，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），點為的中點，，在和中，，，即②成立，，，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），，點為平行四邊形對角線交點，，為中點，，∴∠BEA=，∵，∴∠APG=∠BEA=，，∵為中點，∴，即①正確；∵GE=EF，，∴平分即③正確；另外，無法判斷平分和四邊形是菱形成立，故④⑤錯誤；綜上所述，正確的有①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是利用中位線，尋找等量關(guān)系，借助于證明全等三角形找到邊角相等．三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2019·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，CF⊥AB于點F，且AE＝CF，求證：?ABCD是菱形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)AAS證明△ABE≌△CBF，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出BC＝BA，進(jìn)而利用菱形的判定證明即可．【詳解】證明：∵AE⊥BC于點E，CF⊥AB于點F，∴∠CFB＝∠AEB＝90°，在△ABE與△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BC＝BA∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴?ABCD是菱形．【點睛】此題考查菱形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明△ABE≌△CBF，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出BC＝BA．18．（2019·江蘇蘇州·校聯(lián)考中考模擬）已知平行四邊形ABCD中，如圖，對角線AC和BD相交于點O，AC=10，BD=8．（1）若AC⊥BD，試求四邊形ABCD的面積；（2）若AC與BD的夾角∠AOD=60°，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)S菱形ABCD＝40；(2)S四ABCD=20【分析】（1）先證平行四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的面積公式即可求解；（2）過點A分別作AE⊥BD，垂足為E，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AE的長，從而求得△OAD的面積，四邊形ABCD的面積是三角形OAD的面積的4倍，據(jù)此即可求解．【詳解】解：(1)∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴S菱形ABCD＝AC×BD＝40；(2)過點A分別作AE⊥BD，垂足為E，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO＝AC＝5，BO＝DO＝BD＝4， 在Rt△AOE中，sin∠AOE＝，∴AE＝AO?sin∠AOE＝AO×sin60°＝， ∴S四ABCD＝OD?AE×4＝×4××4＝20．故答案為(1)S菱形ABCD＝40；(2)S四ABCD=20 .【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，正確理解四邊形ABCD的面積是△OAD的面積的4倍是解題的關(guān)鍵．19．（2018·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，E，F，G，H分別是AD，BC，BD，AC的中點．（1）證明：EG＝EH；（2）證明：四邊形EHFG是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）利用EG是△ABD的中位線，EH是△ADC的中位線，則有EG＝AB，EH＝CD，又AB＝CD，可證EG＝EH，即可解題.（2）首先運用三角形中位線定理可得到EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，FE∥DC，從而再根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行得到GF∥EH，GE∥FH，可得到GFHE是平行四邊形，再運用三角形中位線定理證明鄰邊相等，從而證明它是菱形．【詳解】解：證明：（1）∵四邊形ABCD中，點F、E、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，∴EG是△ABD的中位線，EH是△ADC的中位線，∴EG＝AB，EH＝CD，∵AB＝CD，∴EG＝EH；（2）∵四邊形ABCD中，點F、E、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，∴EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，FE∥DC，∴GF∥EH，GE∥FH（平行于同一條直線的兩直線平行）；∴四邊形GFHE是平行四邊形，∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，∴EG是△ABD的中位線，GF是△BCD的中位線，∴GE＝AB，GF＝CD，∵AB＝CD，∴GE＝GF，∴四邊形EHFG是菱形．【點睛】此題主要考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，利用三角形中位線定理解答是關(guān)鍵．20．（2021秋·江蘇南通·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作交DE的延長線于F點，連接AD、CF．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當(dāng)滿足什么條件時，四邊形圖ADCF是菱形？為什么？【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形，理由見解析．【分析】（1）首先利用平行四邊形的判定方法得出四邊形ABDF是平行四邊形，進(jìn)而得出AF=DC，利用一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出答案；（2）利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定方法得出即可．【詳解】（1）證明：∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF=BD，則AF=DC，∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形；（2）解：當(dāng)△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形，理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°又∵點D是邊BC的中點， ∴AD=DC，∴平行四邊形ADCF是菱形． 【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D1，在中，，，是斜邊上的中線，點E為射線上一點，將沿折疊，點B的對應(yīng)點為點F．(1)若，垂足為G，點F與點D在直線的異側(cè)，連接．如圖2，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，則的長度為____________．【答案】(1)四邊形為菱形，理由見解析；(2)． 【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理證明即可；（2）證明，作交于點H，設(shè)，則，求出，進(jìn)一步可求出．【詳解】（1）解：四邊形為菱形，理由如下：∵，，∴，∵是斜邊上的中線，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．（2）解：∵，，∴，∵是斜邊上的中線，∴，∵，∴，作交于點H，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案為：【點睛】本題考查菱形的判定定理，所對的直角邊等于斜邊的一半，斜邊上的中線等于斜邊的一半，正切值，勾股定理，折疊的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上相關(guān)知識點，并能夠綜合運用．22．（2020秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點D從點C出發(fā)沿CA方向以的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是秒（）．過點作于點F，連接DE，EF．(1)求證：；(2)四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值，如果不能，說明理由；(3)當(dāng)為何值時，為直角三角形？請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)t=10；(3)當(dāng)t=或12時，△DEF為直角三角形，理由見解析． 【分析】（1）由題意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DF=DC=2tcm， 即可得到AE=DF；（2）由AE=AD，得四邊形AEFD為菱形，得2t=60-4t，進(jìn)而求得t的值；（3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出算式，計算即可．【詳解】（1）證明：由題意可知CD=4tcm，AE=2tcm，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，∴DF=DC=2t cm．∵AE=2t cm，DF=2t cm，∴AE=DF．（2）解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴．∵AE=DF，，∴四邊形AEFD為平行四邊形，∴要使平行四邊形AEFD為菱形，則需AE=AD，即2t=60-4t，解得t=10，∴當(dāng)t=10時，四邊形AEFD為菱形，故答案為：10．（3）當(dāng)∠EDF=90°時，如圖①，∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴，∴四邊形DFBE為矩形．∴ ∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，解得，t=，當(dāng)∠DEF=90°時，如圖②，∵，∴DE⊥AC，∴．∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），解得，t=12，綜上所述，當(dāng)t=或12時，△DEF為直角三角形．【點睛】本題考查了直角三角形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點E是邊AC的中點，的平分線AD交BC于點D，作，連接DE并延長交AF于點F，連接FC．(1)求證：；(2)當(dāng)AB與AC滿足什么關(guān)系時，四邊形ADCF是菱形？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)時，四邊形ADCF是菱形，見解析 【分析】（1）由全等三角形的判定定理AAS證得△AEF≌△CED；（2）根據(jù)（1）中的全等三角形的性質(zhì)推出四邊形ADCF是平行四邊形，再證明△AED≌△ABD，推出DF⊥AC，即可證得結(jié)論．（1）證明：∵AFCD，∴∠AFE＝∠CDE，∵點E是邊AC的中點，∴AE＝CE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED（AAS）；（2）解：當(dāng)時，四邊形ADCF是菱形．理由如下：由（1）知，△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∵AFCD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠EAD＝∠BAD．∵，∴AE＝AB，在△AED和△ABD中，，∴△AED≌△ABD（SAS），∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC．∴四邊形ADCF是菱形【點睛】本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形是解決問題的關(guān)鍵．24．（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，得到△BFE．(1)點F恰好在AD上；①如圖1，若∠EBC＝15°，則∠DFE＝　　；②如圖2，過點F作FOCD交BE于點O，求證：四邊形FOCE為菱形．(2)如圖3，E從C到D的運動過程中．①∠ABF的角平分線交AD于點N，若BC=2AB，AB=2AN時，請寫出DE與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AB＝4，BC＝7，∠ABF的角平分線交EF的延長線于點M，E從C到D的過程中，直接寫出M運動的路徑長　　．【答案】(1)①∠DEF=60°；②見解析(2)①DE= EC，理由見解析；② 【分析】（1）①由翻折知∠FBC=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AFB=∠FBC=30°，從而得出答案；②理由平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可知OF=EF，從而得出OF=CE，證明四邊形FOCE是平行四邊形，再根據(jù)CE=EF，即可證明結(jié)論；（2）①延長DG，使DG=CD，過點G作GH⊥BA，交BA的延長線于H，延長BN交HG于M，則四邊形BCGH是正方形，設(shè)AN=x，則AB=2x，BC=4x，HM=2x，設(shè)DE=y，則CE=EF=2x-y，在Rt△MEG中，由勾股定理得，（2x）2+（2x+y）2=（4x-y）2，從而得出x與y的關(guān)系，進(jìn)而解決問題；②過點M作HGAD，交CD延長線于G，BA延長線于H，作MK⊥AD于K，可證明四邊形BCGH為正方形，則MK=3，當(dāng)點E與D重合時，DG=3，設(shè)HM=m，則GM=7-m，MD=4+m，在Rt△MDG中，由勾股定理得，（4+m）2=32+（7-m）2，解方程即可．【詳解】（1）解：（1）①∵將△BCE沿BE翻折，得到△BFE，∴∠EBC=∠FBE=15°，∠BFE=∠BCE=90°，∴∠FBC=30°，∵ADBC，∴∠AFB=∠FBC=30°，∴∠DFE=180°-∠AFB-∠BFE=60°，故答案為：60°；②∵將△BCE沿BE翻折，得到△BFE，∴CE=FE，∠CEB=∠FEB，∵FOCE，∴∠FOE=∠CEO，∴∠FOE=∠FEO，∴OF=EF，∴OF=CE，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∵CE=EF，∴四邊形OCEF是菱形；（2）①CE=2DE，理由如下：延長DG，使DG=CD，過點G作GH⊥BA，交BA的延長線于H，延長BN交HG于M，則四邊形BCGH是正方形，∵BC=2AB，AB=2AN，∴設(shè)AN=x，則AB=2x，BC=4x，HM=2x，∵BH=BC=BF，BM=BM，∴Rt△HBM≌Rt△FBM（HL），∴HM=MF=2x，設(shè)DE=y，則CE=EF=2x-y，在Rt△MEG中，由勾股定理得，（2x）2+（2x+y）2=（4x-y）2，解得y=x，∴DE=x，CE=x，∴CE=2DE；②過點M作HGAD，交CD延長線于G，BA延長線于H，作MK⊥AD于K，則四邊形BCGH為矩形，∵BM平分∠HBF，∴∠HBM=∠FBM，∵∠BHM=∠BFM，BM=BM，∴△HBM≌△FBM（AAS），∴HB=BF，∵BC=BF，∴BH=BC，∴四邊形BCGH為正方形，∴MK=3，當(dāng)點E與D重合時，DG=3，設(shè)HM=m，則GM=7-m，MD=4+m，在Rt△MDG中，由勾股定理得，（4+m）2=32+（7-m）2，解得m=，∴GM=7-=，∴當(dāng)點E從C到D的過程中，點M的運動路徑是線段MG，長度為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了是四邊形綜合，矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，運用勾股定理列方程并熟練掌握基本幾何模型是解題的關(guān)鍵．

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