【知識(shí)與技能】
探索角平分線的性質(zhì)定理.
【過程與方法】
通過探索角平分線定理的過程，體會(huì)這個(gè)定理的作用，增強(qiáng)幾何空間意識(shí).
【情感與態(tài)度】
培養(yǎng)良好的邏輯思維能力，感悟邏輯推理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值.
【教學(xué)重點(diǎn)】
重點(diǎn)是掌握角平分線的性質(zhì)定理.
【教學(xué)難點(diǎn)】
難點(diǎn)是運(yùn)用角平分線定理簡化證明線段相等的問題.
一、導(dǎo)入新知
課堂活動(dòng)：教師在黑板上演示怎樣做一個(gè)已知角的平分線，要求學(xué)生與教師同步操作，在完成課本圖的圖形后，提出思考問題.
問題思索：
1.為什么所做的OP，就是∠AOB的平分線呢？
2.如圖，OP是∠AOB的平分線，P是OP上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PC⊥OA，PD⊥OB，C，D是垂足，根據(jù)你學(xué)過的知識(shí)，從圖中你們得到哪些結(jié)論？寫出這個(gè)問題的已知、求證，并給出證明.
學(xué)生活動(dòng)：討論、分析，寫出已知、求證，并證明如下.
已知：如圖所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足為D，PC⊥OA，垂足為C.
求證：PD=PC
【證明】∵OP平分∠AOB.（已知）
∴∠AOP=∠BOP（角平分線定義）
又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)
∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定義）
在△PCO和△PDO中,
∵
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC=PD.
【歸納結(jié)論】上面的證明，主要是讓大家能通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评斫鉀Q面前感知得到的結(jié)論.
師生共識(shí)：角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
【教學(xué)說明】讓學(xué)生從感性上的認(rèn)識(shí)上升到嚴(yán)格的理性上來.
二、情境合一，優(yōu)化思維
1.情境思考
如圖所示，要在T區(qū)建一個(gè)超市，使它到公路、鐵路的距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)超市應(yīng)建在什么地方呢？（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1:2 000）.
引導(dǎo)學(xué)生分析、解決問題，這里要特別強(qiáng)調(diào)：
寫已知、求證這兩個(gè)環(huán)節(jié)要正確，否則證明將沒有意義.
已知：如圖所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足為點(diǎn)D，E，PD=PE.
求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.
【證明】經(jīng)過點(diǎn)P作射線OP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP=OP，
PD=PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP是∠AOC的平分線.
∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.
【教學(xué)說明】請部分學(xué)生上講臺(tái)“板演”，然后引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論.
2.師生共識(shí).
由剛才的例子可以得到一個(gè)結(jié)論：角平分線的逆命題仍然是正確的.
【歸納結(jié)論】在一個(gè)角內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.
三、運(yùn)用新知，深化理解
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，BD=CD，DE，DF分別垂直于AB，AC，E，F(xiàn)是垂足，求證：EB=FC.

第1題圖 第2題圖
2.求作一點(diǎn)C，使它到∠AOB兩邊的距離相等，即CM=CN
【參考答案】1.證明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF(角平分線上點(diǎn)到兩邊距離相等)
且∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED與Rt△CFD中
∵
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)
2.略
四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)
教師引導(dǎo)下，學(xué)生自主總結(jié)，主要問題有：
1.什么叫角平分線？
2.你還能得到哪些結(jié)論？
1.課本第145頁練習(xí)第2題.
2.完成練習(xí)冊中相應(yīng)的作業(yè).
本節(jié)設(shè)計(jì)了“導(dǎo)入新知——情境合一，優(yōu)化思維——運(yùn)用新知——師生互動(dòng)，課堂小結(jié)”四個(gè)環(huán)節(jié)，使學(xué)生探索角平分線的性質(zhì)定理，經(jīng)歷探索角平分線定理的過程，體會(huì)這個(gè)定理的作用，發(fā)展幾何空間意識(shí)，培養(yǎng)良好的邏輯思維能力，感悟邏輯推理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值.

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15.4 角的平分線

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