如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）
解：作夾角的角平分線OC，
截取OD=2.5cm ,D即為所求.
1. 操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE ⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：
2. 觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________
實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的 任意一點(diǎn)
猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
已知：如圖， ∠AOC= ∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等
性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
∵OP 是∠AOB的平分線，
推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).
PD⊥OA,PE⊥OB，
判一判：（1）∵ 如下左圖，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
BD CD
(2)∵ 如上右圖， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = , ( )
已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.
證明： ∵AD是∠BAC的角平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用
如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.
變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4, AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_______.
溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用
變式：如圖，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.
（3）求?PDB的周長.
由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，
1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：
2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：
利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解
　角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
思考：交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？
已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.
∴點(diǎn)P在∠AOB 角的平分線上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.
OP=OP（公共邊），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴點(diǎn)P 在∠AOB的平分線上.
如圖，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)D， BE＝CF.求證：AD平分∠BAC. 導(dǎo)引：要證AD平分∠BAC，已知條件中有兩個(gè)垂直，即有點(diǎn)到角的兩 邊的距離，再證這兩個(gè)距離相等即可證明結(jié)論，證這兩條垂線段相 等，可通過證明△BDE和△CDF全等來完成． 證明：∵BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE＝DF. 又∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E， ∴AD平分∠BAC.
如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.
活動(dòng)1 分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)
活動(dòng)2 分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等
已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，（1）求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).
∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
（2）連接AP，求證：AP平分∠BAC.
∵PD=PE=PF.（已證）∴PD=PF（等量代換）∴AP平分∠BAC.（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）
結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.
如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.
溫馨提示：不存在垂線段———構(gòu)造應(yīng)用
如圖，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.
如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是 .
1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 50°，則 ∠EBF= 度，BE= .
3.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：過點(diǎn)D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分線， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3.
方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．
4.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.
5.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與 ∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.
解：過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵ AD∥BC，∴ MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，∴ PM= PE.同理， PN= PE.∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD與BC之間的距離為6.
6.如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．
過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.
∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC.
又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.　　　
7.如圖, 直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路, 現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站, 要求它到三條公路的距離相等, 可選擇的地址有幾處? 畫出它的位置.
一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等
角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上
三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點(diǎn)

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