?八年級下冊數(shù)學(xué)《第十九章 一次函數(shù)》
19.2 正比例函數(shù)
題型一 正比例函數(shù)的概念
【例題1】（2022秋?金塔縣期中）下列函數(shù)中y是x的正比例函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝x﹣3 B．y=3x C．y＝3﹣x D．y=x3
【變式1-1】（2022春?汶上縣期末）下列式子中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y=4x
【變式1-2】（2022春?長安區(qū)校級期中）已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝2x2，其中屬于正比例函數(shù)的有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-3】（2022秋?無為市月考）若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣4）x+b是正比例函數(shù)，則a，b應(yīng)滿足的條件是（　?。?br /> A．a(chǎn)≠4且b≠0 B．a(chǎn)≠﹣4且b＝0 C．a(chǎn)＝4 且b＝0 D．a(chǎn)≠4且b＝0
【變式1-4】（2021秋?靜安區(qū)校級期末）下列問題中，兩個變量成正比例的是（　?。?br /> A．圓的面積和它的半徑
B．長方形的面積一定時，它的長和寬
C．正方形的周長與邊長
D．三角形的面積一定時，它的一條邊長與這條邊上的高
【變式1-5】（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則m的值為（　?。?br /> A．2 B．1 C．0或2 D．0
【變式1-6】（2022春?豐南區(qū)期末）若函數(shù)y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函數(shù)，則k的值為（　?。?br /> A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【變式1-7】（2022春?金川區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函數(shù)，則m+n＝　 　．
【變式1-8】（2022春?信都區(qū)期末）若一次函數(shù)y＝b﹣2x是正比例函數(shù)，則b＝　 　，此時的比例系數(shù)是 　 ?。?br /> 【變式1-9】（2022秋?高陵區(qū)期末）若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函數(shù)，求m，n的值．





【變式1-10】（2021秋?臨渭區(qū)期末）已知：函數(shù)y＝（b+2）xb2?3且y是x的是正比例函數(shù)，5a+4的立方根是4，c是11的整數(shù)部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+c的平方根．


題型二 正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

【例題2】（2022?南京模擬）正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過坐標(biāo)系的（　?。?br /> A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限

【變式2-1】（2022春?古冶區(qū)期末）下列關(guān)于正比例函數(shù)y＝3x的說法中，正確的是（　?。?br /> A．當(dāng)x＝3時，y＝1
B．它的圖象是一條過原點的直線
C．y隨x的增大而減小
D．它的圖象經(jīng)過第二、四象限

【變式2-2】（2022秋?太原期中）下列正比例函數(shù)中，y隨x的增大而增大的是（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=?12x D．y＝﹣8x
【變式2-3】（2021?湘西州模擬）下列圖象中，表示正比例函數(shù)圖象的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【變式2-4】在下列各圖象中，表示函數(shù)y＝﹣kx（k＜0）的圖象的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【變式2-5】在直角坐標(biāo)系中，y隨x的增大而減小的正比例函數(shù)y＝kx的圖象是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【變式2-6】（2022秋?豐順縣校級期末）在y＝k1x中，y隨x的增大而減小，k1k2＜0，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，y＝k1x和y＝k2x的圖象大致為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【變式2-7】已知正比例函數(shù)y=57x，下列結(jié)論：①y隨x的增大而增大；②y隨x的減小而減小；③當(dāng)x＞0時，y＞0；④當(dāng)x＞1時，y＞1．其中，正確的有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式2-8】（2022秋?渠縣校級期中）三個正比例函數(shù)的表達式分別為①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為（　?。?br />
A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【變式2-9】已知正比例函數(shù)y＝（m﹣1）x5?m2的圖象在第二、四象限，求m的值．




題型三 畫正比例函數(shù)的圖象
【例題3】畫出正比例函數(shù)y＝2x的圖象．




【變式3-1】請在網(wǎng)格中畫出y＝﹣2x，y=13x的圖象．

【變式3-2】在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)y＝2x，y=?13x，y＝﹣0.6x的圖象．





【變式3-3】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象．
（1）y=32x； （2）y＝﹣3x．





【變式3-4】用你認為最簡單的方法畫出下列函數(shù)的圖象．
（1）y＝5x；（2）y=?52x．




【變式3-5】（1）畫出函數(shù)y＝﹣x的圖象；
（2）判斷點A（?32，32），B（0，0），C（32，?32）是否在函數(shù)y＝﹣x的圖象上．






題型四 利用正比例函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小
【例題4】（2022春?倉山區(qū)校級期中）如果一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　?。?br /> A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【變式4-1】已知，函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過點A（1，y1），點B（﹣2，y2），則（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y(tǒng)2 D．y1、y2無法比較大小
【變式4-2】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直線y＝﹣3x上的兩點，且x1＞x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y(tǒng)2 D．以上都有可能
【變式4-3】已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函數(shù)y＝x的圖象上的兩點，則y1，y2的大小關(guān)系為（　?。?br /> A．y1＝y(tǒng)2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．y1，y2的大小關(guān)系不確定
【變式4-4】（2022秋?玄武區(qū)期末）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣5x圖象上的兩個點，若x1﹣x2＜0，則y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【變式4-5】（2022秋?丹東期末）已知點A（﹣1，m），點B（2，n）在直線y＝8x上，則m　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）．

【變式4-6】（2022?賓陽縣二模）已知點（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直線y＝﹣3x上，則y1，y2，y3的值的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2
【變式4-7】（2022?榆陽區(qū)一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在該函數(shù)的圖象上，那么a和b的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b
【變式4-8】（2021春?沙河口區(qū)期末）已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在該函數(shù)的圖象上，那么a和b的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．a(chǎn)≥b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)＜b

【變式4-9】已知函數(shù)y＝x；y＝﹣2x．y=12x，y＝3x．
（1）在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．
（2）探索發(fā)現(xiàn)：
觀察這些函數(shù)的圖象可以發(fā)現(xiàn)，隨|k|的增大直線與y軸的位置關(guān)系有何變化？
（3）靈活運用
已知正比例函數(shù)y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則k1與k2的大小關(guān)系為　 ?。?br />







題型五 利用正比例函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的問題
【例題5】（2022春?道里區(qū)期末）已知函數(shù)y＝（k﹣3）x，y隨x的增大而減小，則常數(shù)k的取值范圍
是（　?。?br /> A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0

【變式5-1】（2023?惠陽區(qū)開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝mx|m|，它的圖象除原點外都在第二、四象限內(nèi)，則m的值為 　 ．
【變式5-2】（2022秋?任城區(qū)校級期末）在正比例函數(shù)y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y隨x的增大而減小，則m＝　 　．
【變式5-3】（2022秋?句容市期末）在正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x中，y的值隨著x值的增大而減小，則m的取值范圍是　 ．
【變式5-4】（2022春?曲阜市期末）已知正比例函數(shù)y＝（3m﹣1）x|m|（m為常數(shù)），若y隨x的增大而減小，則m＝　 ?。?br /> 【變式5-5】（2021秋?上蔡縣校級月考）若正比例函數(shù)y＝（a﹣2）x的圖象經(jīng)過第一、三象限，化簡(a?1)2的結(jié)果為 　 ．
【變式5-6】（2021秋?楊浦區(qū)期中）如果函數(shù)y＝（m﹣1）xm2?3是正比例函數(shù)，且y的值隨x的值的增大而增大，那么m的值 　 ?。?br /> 【變式5-7】（2021?包河區(qū)校級開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝kx，當(dāng)﹣2≤x≤2時，函數(shù)有最大值3，則k的值為 ?。?br /> 【變式5-8】按照下列條件求k的取值范圍：
（1）正比例函數(shù)y＝（k﹣2）x的圖象經(jīng)過一、三象限；
（2）正比例函數(shù)y＝（1?22k）x中，y隨x的增大而增大；
（3）已知y＝（1﹣m）xm2?1的圖象經(jīng)過一、三象限．


【變式5-9】已知正比例函數(shù)y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的圖象經(jīng)過第一、三象限．
（1）求m的值；
（2）當(dāng)?34≤x＜2時，求y的最小值．






【變式5-10】已知函數(shù)y=(k+12)xk2?3（k為常數(shù)）．
（1）當(dāng)k為何值時，該函數(shù)是正比例函數(shù)？
（2）當(dāng)k為何值時，正比例函數(shù)y隨x的增大而增大？
（3）當(dāng)k為何值時，正比例函數(shù)y隨x的增大而減?。?br />







題型六 求正比例函數(shù)解析式
【例題6】（2022秋?南海區(qū)校級月考）已知一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣2，3），則這個正比例函數(shù)的表達式是（　?。?br /> A．y＝x+5 B．y=?32x C．y=?23x D．y＝﹣2x+3
【變式6-1】（2022?廣州）點（3，﹣5）在正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象上，則k的值為（　　）
A．﹣15 B．15 C．?35 D．?53
【變式6-2】（2022春?望城區(qū)期末）已知y關(guān)于x成正比例，且當(dāng)x＝2時，y＝﹣6，則當(dāng)x＝1時，y的值為（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12

【變式6-3】（2022春?聊城期末）若正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）經(jīng)過點(?1，12)，則k＝　?12?。?br />
【變式6-4】（2021?碑林區(qū)校級模擬）若一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（m，6），B（5，n）兩點，則m，n一定滿足的關(guān)系式為（　?。?br /> A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D．mn=65

【變式6-5】（2021?上海）已知函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1），請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式 　 　．


【變式6-6】（2021春?晉江市期末）已知y是x的正比例函數(shù)，且當(dāng)x＝2時，y＝﹣6．
（1）求這個正比例函數(shù)的表達式；
（2）若點（a，y1），（a+2，y2）在該函數(shù)圖象上，試比較y1，y2的大小．





【變式6-7】已知正比例函數(shù)的自變量x減少2時，對應(yīng)的函數(shù)值y增加4，求該正比例函數(shù)的解析式．





【變式6-8】如果正比例函數(shù)y＝（m﹣2）xm2﹣8的圖象經(jīng)過二、四象限．求此函數(shù)解析式．




【變式6-9】已知點（a，1），（a+2，a）在一個正比例函數(shù)的圖象上．
（1）求a的值；
（2）寫出這個正比例函數(shù)的表達式．






【變式6-10】已知y與x成正比例，且當(dāng)x＝﹣1時，y＝2．
（1）求出y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）畫出該函數(shù)的圖象；
（3）求當(dāng)y＝﹣8時x的值；
（4）如果x的取值范圍是﹣2＜x＜3，求y的取值范圍．



題型七 正比例函數(shù)在實際中的應(yīng)用
【例題7】某商店零售一種商品，其質(zhì)量x（kg）與售價y（元）之間的關(guān)系如下表：
x/kg
1
2
3
4
5
6
7
8
y/元
2.4
4.8
7.2
9.6
12
14.4
16.8
19.2
（根據(jù)銷售經(jīng)驗，顧客在此處零買商品均未超過8kg）
（1）由上表推出售價y（元）隨質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象；
（2）顧客購買這種商品5.5kg應(yīng)付多少元？



【變式7-1】在水管放水的過程中，放水的時間x（分）與流出的水量y（立方米）是兩個變量．已知水管每分鐘流出的水量是0.2立方米，放水的過程共持續(xù)10分鐘，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（　?。?br /> A． B．
C． D．

【變式7-2】一輛汽車由A地勻速駛往相距300千米的B地，汽車的速度是100千米/小時，那么汽車距離A地的路程S（千米）與行駛時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（　?。?br /> A． B．
C． D．


【變式7-3】蠟燭點燃后縮短長度y（cm）與燃燒時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx（k≠0），已知長為21cm的蠟燭燃燒6分鐘后，蠟燭變短3.6cm，求：
（1）y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）自變量x的取值范圍；
（3）此蠟燭幾分鐘燃燒完．


【變式7-4】小明家最近購買了一套住房，準(zhǔn)備在裝修時用木質(zhì)地板鋪設(shè)臥室，用瓷磚鋪設(shè)客廳，經(jīng)市場調(diào)查得知，買這兩種材料和用這兩種材料鋪設(shè)地面的工錢都不一樣．小明根據(jù)地面的面積，對鋪設(shè)臥室和客廳的費用（購買材料費和工錢）分別做了預(yù)算，并用x（平方米）表示鋪設(shè)地面的面積，用y（元）表示購買和鋪設(shè)的總費用，并制成下圖，請你根據(jù)圖中所提供信息，解答下列問題：
（1）鋪設(shè)臥室每平方米的費用為　 　元，鋪設(shè)客廳每平方米的費用為　 　元；
（2）表示鋪設(shè)臥室的費用y1（元）與面積x（平方米）之間的關(guān)系式為　 ??；表示鋪設(shè)客廳的費用y2（元）與面積x（平方米）之間的關(guān)系式為　 ?。?br /> （3）已知在小明的預(yù)算中，鋪設(shè)瓷磚的工錢比鋪設(shè)木質(zhì)地板的工錢多5元，購買瓷磚的單價是購買木質(zhì)地板的單價的34，那么鋪設(shè)木質(zhì)地板、瓷磚的工錢單價各是多少元？購買木質(zhì)地板、瓷磚的單價各是多少元？





題型八 正比例函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例題8】（2022春?德城區(qū)校級期中）如圖，已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點A，點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸，垂足為H，點A的橫坐標(biāo)為4，且△AOH的面積為8．
（1）求正比例函數(shù)的解析式．
（2）在x軸上能否找到一點P，使△AOP的面積為10？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


【變式8-1】如圖，正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點A，點A在第二象限．過點A作AH⊥x軸，垂足為H．已知點A的橫坐標(biāo)為﹣3，且△AOH的面積為4.5．
（1）求該正比例函數(shù)的解析式．
（2）將正比例函數(shù)y＝kx向下平移，使其恰好經(jīng)過點H，求平移后的函數(shù)解析式．




【變式8-2】已知正比例函數(shù)過點A（2，﹣4），點P在此正比例函數(shù)的圖象上，若坐標(biāo)軸上有一點B（0，4）且三角形ABP的面積為8．
求：（1）過點A的正比例函數(shù)關(guān)系式；
（2）點P的坐標(biāo)．


【變式8-3】已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點A，點A在第四象限，過A作AH⊥x軸，垂足為H，點A的橫坐標(biāo)為3，且△AOH的面積為3．
（1）求正比例函數(shù)y＝kx的解析式．
（2）點P為x軸上一點，△AOP的面積為4，求直線AP的函數(shù)解析式．








【變式8-4】（2022春?崆峒區(qū)期末）如圖，正比例函數(shù)y＝kx經(jīng)過點A（3，a），點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸于H，且△AOH的面積為3．
（1）求正比例函數(shù)的解析式；
（2）若點B（1，0）和點C都在x軸上，當(dāng)△ABC的面積是5時，求點C的坐標(biāo)；
（3）若點M為y軸上一動點，N為平面內(nèi)任意一點，是否存在點N，使得以點A，O，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．



八年級下冊數(shù)學(xué)《第十九章 一次函數(shù)》
19.2 正比例函數(shù)答案

題型一 正比例函數(shù)的概念
【例題1】（2022秋?金塔縣期中）下列函數(shù)中y是x的正比例函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝x﹣3 B．y=3x C．y＝3﹣x D．y=x3
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義即可判斷．
【解答】解：A、y＝x﹣3中，y是x的一次函數(shù)，不符合題意；
B、y=3x中，y是x的反比例函數(shù)，不符合題意；
C、y＝3﹣x中，y是x的一次函數(shù)，不符合題意；
D、y=x3中，y是x的正比例函數(shù)，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022春?汶上縣期末）下列式子中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y=4x
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如y＝kx（k是常數(shù)且k≠0），即可解答．
【解答】解：A、y＝x，是正比例函數(shù)，故A符合題意；
B、y＝x+1，是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)，故B不符合題意；
C、y＝x2，是二次函數(shù)，故C不符合題意；
D、y=4x，是反比例函數(shù)，故D不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

【變式1-2】（2022春?長安區(qū)校級期中）已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝2x2，其中屬于正比例函數(shù)的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如y＝kx（k為常數(shù)且k≠0），逐一判斷即可解答．
【解答】解：已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝2x2，
其中屬于正比例函數(shù)的有：②，只有1個，
故選：A．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022秋?無為市月考）若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣4）x+b是正比例函數(shù)，則a，b應(yīng)滿足的條件是（　?。?br /> A．a(chǎn)≠4且b≠0 B．a(chǎn)≠﹣4且b＝0 C．a(chǎn)＝4 且b＝0 D．a(chǎn)≠4且b＝0
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式及b＝0，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣4）x+b是正比例函數(shù)，
∴a?4≠0b=0，
解得：a≠4且b＝0．
故選：D．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，牢記正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-4】（2021秋?靜安區(qū)校級期末）下列問題中，兩個變量成正比例的是（　?。?br /> A．圓的面積和它的半徑
B．長方形的面積一定時，它的長和寬
C．正方形的周長與邊長
D．三角形的面積一定時，它的一條邊長與這條邊上的高
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義解決此題．
【解答】解：A．設(shè)圓的半徑為r，面積為S，則S＝πr2，那么S與r不是正比例關(guān)系，故A不符合題意．
B．設(shè)長方形的面積為a，長為x，寬為y，則a＝xy，那么x與y成反比例函數(shù)關(guān)系，故B不符合題意．
C．設(shè)正方形的邊長為x，周長為C，那么C＝4r，那么C與r成正比例關(guān)系，故C符合題意．
D．設(shè)三角形的面積為S，它的一條邊長與這條邊上的高分別為x與y，則S=12xy，那么x與y是反比例關(guān)系，故D不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查正比例函數(shù)關(guān)系，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．
【變式1-5】（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則m的值為（　?。?br /> A．2 B．1 C．0或2 D．0
【分析】根據(jù)x的次數(shù)為1，系數(shù)不等于0，計算即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：|m?1|=1m?2≠0，
∴m＝0，
故選：D．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，解題時注意x的系數(shù)不等于0這個條件．
【變式1-6】（2022春?豐南區(qū)期末）若函數(shù)y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函數(shù)，則k的值為（　?。?br /> A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的定義列出關(guān)于k的方程組，求出k的值即可．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函數(shù)，
∴k+1≠0k2?1=0，
解得k＝1．
故選：C．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的定義，即形如y＝kx（k≠0）的函數(shù)叫正比例函數(shù)．
【變式1-7】（2022春?金川區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函數(shù)，則m+n＝　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如y＝kx（k為常數(shù)且k≠0），可得|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，n﹣4＝0，然后進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：
|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，n﹣4＝0，
∴m＝±2且m≠2，n＝4，
∴m＝﹣2，n＝4，
∴m+n＝﹣2+4＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-8】（2022春?信都區(qū)期末）若一次函數(shù)y＝b﹣2x是正比例函數(shù)，則b＝　 　，此時的比例系數(shù)是 　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，形如y＝kx（k為常數(shù)且k≠0），即可解答．
【解答】解：若一次函數(shù)y＝b﹣2x是正比例函數(shù)，則b＝0，此時的比例系數(shù)是﹣2，
故答案為：0，﹣2．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-9】（2022秋?高陵區(qū)期末）若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函數(shù)，求m，n的值．
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義得到m+1≠0且|m+2|＝1，﹣2n+8＝0，然后解方程求出m與n的值．
【解答】解：∵y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函數(shù)，
∴m+1≠0且|m+2|＝1，﹣2n+8＝0，
解得m＝﹣3，n＝4，
所以m的值為﹣3，n的值為4．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．
【變式1-10】（2021秋?臨渭區(qū)期末）已知：函數(shù)y＝（b+2）xb2?3且y是x的是正比例函數(shù)，5a+4的立方根是4，c是11的整數(shù)部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)的定義、立方根、估算無理數(shù)的大小確定a、b、c的值；
（2）把（1）中a，b，c的值代入計算求得2a﹣b+c，進而即可求得2a﹣b+c的平方根．
【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝（b+2）xb2?3且y是x的是正比例函數(shù)，
∴b+2≠0b2?3=1，
∴b＝2，
∵5a+4的立方根是4，
∴5a+4＝43，
∴a＝12，
∵c是11的整數(shù)部分，
∴c＝3；
（2）2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，則2a﹣b+c的平方根為±5．
【點評】本題考查正比例函數(shù)、立方根、估算無理數(shù)的大小，掌握正比例函數(shù)的定義、立方根的意義是正確解答的前提，確定a、b、c的值是正確解答的關(guān)鍵．

題型二 正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

【例題2】（2022?南京模擬）正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過坐標(biāo)系的（　?。?br /> A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可求直線所經(jīng)過的象限．
【解答】解：根據(jù)k＝﹣3＜0，
所以正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過第二、四象限．
故選：D．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：它是經(jīng)過原點的一條直線．當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。?br />
【變式2-1】（2022春?古冶區(qū)期末）下列關(guān)于正比例函數(shù)y＝3x的說法中，正確的是（　?。?br /> A．當(dāng)x＝3時，y＝1
B．它的圖象是一條過原點的直線
C．y隨x的增大而減小
D．它的圖象經(jīng)過第二、四象限
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可．
【解答】解：A、當(dāng)x＝3時，y＝9，故本選項錯誤；
B、∵直線y＝3x是正比例函數(shù)，∴它的圖象是一條過原點的直線，故本選項正確；
C、∵k＝3＞0，∴y隨x的增大而增大，故本選項錯誤；
D、∵直線y＝3x是正比例函數(shù)，k＝3＞0，∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過一三象限，故本選項錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022秋?太原期中）下列正比例函數(shù)中，y隨x的增大而增大的是（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=?12x D．y＝﹣8x
【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)中，y隨x的增大而增大判斷出k的符號，再對各選項進行分析即可．
【解答】解：∵正比例函數(shù)中，y隨x的值增大而增大，
∴k＞0，
A、k＝2＞0，故本選項符合題意；
B、k＝﹣2＜0，故本選項不符合題意；
C、k=?12＜0，故本選項不符合題意；
D、k＝﹣8＜0，故本選項不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大是解答此題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2021?湘西州模擬）下列圖象中，表示正比例函數(shù)圖象的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的直線解答即可．
【解答】解：A、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；
B、是正比例函數(shù)圖象，故此選項正確；
C、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；
D、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；
故選：B．
【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)．
【變式2-4】在下列各圖象中，表示函數(shù)y＝﹣kx（k＜0）的圖象的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】由于正比例函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，由此即可確定選擇項．
【解答】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴函數(shù)y＝﹣kx（k＜0）的值隨自變量x的增大而增大，且函數(shù)為正比例函數(shù)，
故選：C．
【點評】此題比較簡單，主要考查了正比例函數(shù)的圖象特點：是一條經(jīng)過原點的直線．
【變式2-5】在直角坐標(biāo)系中，y隨x的增大而減小的正比例函數(shù)y＝kx的圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷k＜0，然后根據(jù)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過原點和第二、四象限進行判斷．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx，y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
∴直線y＝kx經(jīng)過原點和第二、四象限．
故選：C．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)圖象：正比例函數(shù)y＝kx的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，當(dāng)k＞0，直線經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)k＜0，直線經(jīng)過第二、四象限．
【變式2-6】（2022秋?豐順縣校級期末）在y＝k1x中，y隨x的增大而減小，k1k2＜0，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，y＝k1x和y＝k2x的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出k1的符號，即可根據(jù)k1k2＜0判斷k2的符號，再根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：∵在y＝k1x中，y隨x的增大而減小，
∴k1＜0，
∴函數(shù)y＝k1x圖象在二、四象限，
∵k1k2＜0，
∴k2＞0，
∴函數(shù)y＝k2x的圖象在一、三象限，
故選：B．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式2-7】已知正比例函數(shù)y=57x，下列結(jié)論：①y隨x的增大而增大；②y隨x的減小而減?。虎郛?dāng)x＞0時，y＞0；④當(dāng)x＞1時，y＞1．其中，正確的有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】正比例函數(shù)y＝kx，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小，進而判斷①②是否正確；再運用上述正比例函數(shù)的單調(diào)性即可得到當(dāng)x＞0時與當(dāng)x＞1時，y的取值范圍，進而再判斷③④是否正確．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y=57x中57＞0，
∴y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小，故①正確，②正確；
③當(dāng)x＞0時，y＞0，正確；
④當(dāng)x＞1時，y＞57，錯誤，
∴正確的是①②③，
故選：C．
【點評】本題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式2-8】（2022秋?渠縣校級期中）三個正比例函數(shù)的表達式分別為①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）

A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根據(jù)所在象限判斷出a、b、c的符號，再根據(jù)直線越陡，則|k|越大可得答案．
【解答】解：∵y＝ax，y＝bx，y＝cx的圖象都在第一三象限，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∵直線越陡，則|k|越大，
∴b＞a＞c，
故選：C．
【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，y＝kx中，當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。瑫r注意直線越陡，則|k|越大．

【變式2-9】已知正比例函數(shù)y＝（m﹣1）x5?m2的圖象在第二、四象限，求m的值．
【分析】當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限可得其比例系數(shù)為負數(shù)，據(jù)此求解．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（m﹣1）x5?m2，函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，
∴m﹣1＜0，5﹣m2＝1，
解得：m＝﹣2．
【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：它是經(jīng)過原點的一條直線．當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。?br />



題型三 畫正比例函數(shù)的圖象
【例題3】畫出正比例函數(shù)y＝2x的圖象．
【分析】根據(jù)直線的解析式知其圖象過原點，再令x＝1求出y的值，描出各點，根據(jù)兩點確定一條直線畫出函數(shù)圖象．
【解答】解：如圖所示：
．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵找出該直線上任意兩點的坐標(biāo)．
【變式3-1】請在網(wǎng)格中畫出y＝﹣2x，y=13x的圖象．

【分析】利用描點法畫出圖象即可解決問題．
【解答】解：如圖所示，直線y＝﹣2x與直線y=13x即為所求．

【點評】此題主要考查了畫正比例函數(shù)圖象，關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的點的坐標(biāo)求法．
【變式3-2】在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)y＝2x，y=?13x，y＝﹣0.6x的圖象．
【分析】分別在每個函數(shù)圖象上找出兩點，畫出圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的特點進行解答即可．
【解答】解：
x
0
1
y＝2x
0
2
y=?13x
0
?13
y＝﹣0.6x
0
﹣0.6

【點評】本題考查了畫函數(shù)的圖象，考查的是用描點法畫函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是描出各點，畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象找出規(guī)律．
【變式3-3】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象．
（1）y=32x； （2）y＝﹣3x．
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可得出它們所經(jīng)過的兩點：原點和（1，k），畫圖象即可．
【解答】解：采用兩點法，并且取各點的坐標(biāo)值為整數(shù)最簡單．
（1）該函數(shù)是正比例函數(shù)，函數(shù)圖象是過原點的一條直線．
當(dāng)x＝0時，y＝0；當(dāng)x＝2時，y＝3，則該直線經(jīng)過點（0，0），（2，3）．
其圖象如圖所示．
（2）該函數(shù)是正比例函數(shù)，函數(shù)圖象是過原點的一條直線．
當(dāng)x＝0時，y＝0；當(dāng)x＝1時，y＝﹣3，則該直線經(jīng)過點（0，0），（1，﹣3）．
其圖象如圖所示．

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象一定過（0，0），（1，k）．
【變式3-4】用你認為最簡單的方法畫出下列函數(shù)的圖象．
（1）y＝5x；（2）y=?52x．
【分析】經(jīng)過（0，0）和（1，k）作出正比例函數(shù)y＝kx的圖象即可．
【解答】解：（1）y＝5x的圖象經(jīng)過（0，0）和（1，5），
圖象為：

（2）正比例函數(shù)y=?52x的圖象經(jīng)過（0，0）和（1，?52），其圖象為：

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象的知識，了解正比例函數(shù)的圖象所經(jīng)過的點是解答本題的關(guān)鍵．
【變式3-5】（1）畫出函數(shù)y＝﹣x的圖象；
（2）判斷點A（?32，32），B（0，0），C（32，?32）是否在函數(shù)y＝﹣x的圖象上．
【分析】（1）畫出函數(shù)圖象即可；
（2）把各點坐標(biāo)代入解析式判斷即可．
【解答】解：（1）圖象如圖：

（2）把x=?32代入y＝﹣x=32，所以A在圖象上；
把x＝0代入y＝﹣x＝0，所以B在圖象上；
把x=32代入y＝﹣x=?32，所以C在圖象上．
【點評】此題考查正比例函數(shù)問題，關(guān)鍵是把各點坐標(biāo)代入解析式判斷．

題型四 利用正比例函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小
【例題4】（2022春?倉山區(qū)校級期中）如果一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【分析】利用正比例函數(shù)的性質(zhì)，可得出點A，B分別在一、三象限，結(jié)合點A，B的坐標(biāo)，可得出m＞0，n＜0．
【解答】解：∵一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點A（3，m）、B（n，﹣2），
∴點A，B分別在一、三象限，
∴m＞0，n＜0．
故選：B．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)k＞0時，正比例函數(shù)y＝kx的圖象在第一、三象限；當(dāng)k＜0時，正比例函數(shù)y＝kx的圖象在第二、四象限”是解題的關(guān)鍵．

【變式4-1】已知，函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過點A（1，y1），點B（﹣2，y2），則（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y(tǒng)2 D．y1、y2無法比較大小
【分析】分別把點A（1，y1），點B（﹣2，y2）代入函數(shù)y＝3x，求出點y1，y2的值，再比較其大小即可．
【解答】解：∵函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過點A（1，y1），點B（﹣2，y2），
∴y1＝3，y2＝﹣6．
∵3＞﹣6，
∴y1＞y2．
故選：A．
【點評】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-2】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直線y＝﹣3x上的兩點，且x1＞x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y(tǒng)2 D．以上都有可能
【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小，結(jié)合x1＞x2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y隨x的增大而減小．
又∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故選：B．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函數(shù)y＝x的圖象上的兩點，則y1，y2的大小關(guān)系為（　?。?br /> A．y1＝y(tǒng)2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．y1，y2的大小關(guān)系不確定
【分析】由1＞0結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出該正比例函數(shù)為增函數(shù)，再結(jié)合1＜2即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵1＞0，
∴正比例函數(shù)y隨x增大而增大，
∵1＜2，
∴y1＜y2．
故選：C．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出y＝x為增函數(shù)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)一次項系數(shù)確定一次函數(shù)的增減性是關(guān)鍵．
【變式4-4】（2022秋?玄武區(qū)期末）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣5x圖象上的兩個點，若x1﹣x2＜0，則y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小，再結(jié)合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣5＜0，
∴y隨x的增大而減小，
又∵點A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣5x+1圖象上的兩個點，且x1﹣x2＜0，
∴y1＞y2．
故答案為：＞．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．
【變式4-5】（2022秋?丹東期末）已知點A（﹣1，m），點B（2，n）在直線y＝8x上，則m　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】由8＞0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而增大，結(jié)合﹣1＜2，可得出m＜n．
【解答】解：∵5＞0，
∴y隨x的增大而增大，
又∵點A（﹣1，m），點B（2，n）在直線y＝8x上，且﹣1＜2，
∴m＜n．
故答案為：＜．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．

【變式4-6】（2022?賓陽縣二模）已知點（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直線y＝﹣3x上，則y1，y2，y3的值的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根據(jù)直線y＝﹣3x判斷出函數(shù)圖象的增減性，再根據(jù)各點橫坐標(biāo)的大小進行判斷即可．
【解答】解：∵直線y＝﹣3x，k＝﹣3＜0，
∴y隨x的增大而減小，
又∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y1＞y2＞y3．
故選：A．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的增減性，即正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）中，當(dāng)k＞0，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，y隨x的增大而減?。?br />
【變式4-7】（2022?榆陽區(qū)一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在該函數(shù)的圖象上，那么a和b的大小關(guān)系是（　　）
A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b
【分析】利用正比例函數(shù)的定義，可求出m的值，進而可得出m﹣1＝﹣2＜0，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小，結(jié)合1＞﹣1，即可得出a＜b．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，
∴m?1≠0m2?1=0，
解得：m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，
∴y隨x的增大而減?。?br /> 又∵A（1，a）和B（﹣1，b）在函數(shù)y＝（m﹣1）x+m2﹣1的圖象上，且1＞﹣1，
∴a＜b．
故選：A．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的定義，牢記“當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小”．

【變式4-8】（2021春?沙河口區(qū)期末）已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在該函數(shù)的圖象上，那么a和b的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．a(chǎn)≥b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)＜b
【分析】由正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第二、四象限可知k＜0，則y隨x的增大而減小，進而可得a＜b．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第二、四象限，
∴k＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∵﹣1＜1，
∴a＜b，
故選：D．
【點評】本題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定k的取值范圍．
【變式4-9】已知函數(shù)y＝x；y＝﹣2x．y=12x，y＝3x．
（1）在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．
（2）探索發(fā)現(xiàn)：
觀察這些函數(shù)的圖象可以發(fā)現(xiàn)，隨|k|的增大直線與y軸的位置關(guān)系有何變化？
（3）靈活運用
已知正比例函數(shù)y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則k1與k2的大小關(guān)系為　 　．

【分析】（1）由兩條直線的解析式可知其圖象均過原點，再分別令x＝1求出y的值，描出各點，根據(jù)兩點確定一條直線畫出函數(shù)圖象；
（2）比較分析可得答案．
（3）由（2）分析的規(guī)律即可判斷．
【解答】解：（1）如圖：

（2）觀察這些函數(shù)的圖象可以發(fā)現(xiàn)，隨|k|的增大直線與y軸的夾角越小．
（3）由（2）規(guī)律可知，k1＞k2，
故答案為k1＞k2．
題型五 利用正比例函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的問題
【例題5】（2022春?道里區(qū)期末）已知函數(shù)y＝（k﹣3）x，y隨x的增大而減小，則常數(shù)k的取值范圍
是（　?。?br /> A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0
【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（k﹣3）x，y隨x的增大而減小，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故選：B．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023?惠陽區(qū)開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝mx|m|，它的圖象除原點外都在第二、四象限內(nèi)，則m的值為 　 ．
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，得到m＜0，|m|＝1，然后求解即可．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝mx|m|，它的圖象除原點外都在第二、四象限內(nèi)，
∴m＜0，|m|＝1，
解得m＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點評】此題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
【變式5-2】（2022秋?任城區(qū)校級期末）在正比例函數(shù)y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y隨x的增大而減小，則m＝　 ?。?br /> 【分析】x的次數(shù)為1且x的系數(shù)為負．
【解答】解：∵|m|﹣1＝1，
∴m＝±2，
又∵y隨x的增大而減小，
∴m+1＜0，
∴m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點評】本題考查一次函數(shù)的概念與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．
【變式5-3】（2022秋?句容市期末）在正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x中，y的值隨著x值的增大而減小，則m的取值范圍是　 ．
【分析】先根據(jù)在正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x中，y的值隨著x值的增大而減小得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
【解答】解：∵在正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x中，y的值隨著x值的增大而減小，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故答案為：m＜2．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．
【變式5-4】（2022春?曲阜市期末）已知正比例函數(shù)y＝（3m﹣1）x|m|（m為常數(shù)），若y隨x的增大而減小，則m＝　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得|m|＝1，求出m的值，再根據(jù)正比例函數(shù)的增減性，可得3m﹣1＜0，求出m的取值范圍，從而確定m的值．
【解答】解：正比例函數(shù)y＝（3m﹣1）x|m|（m為常數(shù)），
∴|m|＝1，
∴m＝±1，
∵y隨x的增大而減小，
∴3m﹣1＜0，
∴m＜13，
∴m＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-5】（2021秋?上蔡縣校級月考）若正比例函數(shù)y＝（a﹣2）x的圖象經(jīng)過第一、三象限，化簡(a?1)2的結(jié)果為 　 ．
【分析】由正比例函數(shù)的圖象位置判斷a的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（a﹣2）x的圖象經(jīng)過第一、三象限，
∴a﹣2＞0，
∴a﹣1＞0，
∴(a?1)2=|a﹣1|＝a﹣1．
故答案為：a﹣1．
【點評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5-6】（2021秋?楊浦區(qū)期中）如果函數(shù)y＝（m﹣1）xm2?3是正比例函數(shù)，且y的值隨x的值的增大而增大，那么m的值 　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)題意得不等式，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（m﹣1）xm2?3是正比例函數(shù)，且y的值隨x的值的增大而增大，
∴m2﹣3＝1且m﹣1＞0，
∴m＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）中，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小是解答此題的關(guān)鍵．
【變式5-7】（2021?包河區(qū)校級開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝kx，當(dāng)﹣2≤x≤2時，函數(shù)有最大值3，則k的值為 ?。?br /> 【分析】根據(jù)函數(shù)的增減性，再由x的取值范圍得出x＝﹣2時，y＝3或x＝2時，y＝3，分別代入代入函數(shù)解析式得出k的值即可．
【解答】解：當(dāng)k＞0時，函數(shù)y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝2時，y＝3，
∴2k＝3，解得k=32；
當(dāng)k＜0時，函數(shù)y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝﹣2時，y＝3，
∴﹣2k＝3，解得k=?32．
∴k的值為32或?32，
故答案為32或?32．
【點評】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．
【變式5-8】按照下列條件求k的取值范圍：
（1）正比例函數(shù)y＝（k﹣2）x的圖象經(jīng)過一、三象限；
（2）正比例函數(shù)y＝（1?22k）x中，y隨x的增大而增大；
（3）已知y＝（1﹣m）xm2?1的圖象經(jīng)過一、三象限．
【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與系數(shù)的關(guān)系作答；
（2）先根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可；
（3）根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，得k﹣1＞0，解不等式即可求得k的取值范圍；
【解答】解：（1）由正比例函數(shù)y＝（k﹣2）x的圖象經(jīng)過第一、三象限，
可得：k﹣2＞0，則k＞2；
（2）∵正比例函數(shù)y＝（1?22k）x中，y隨x的增大而增大，
∴1?22k＞0，解得k＜2．
（3）由正比例函數(shù)y＝（1﹣m）xm2?1的圖象經(jīng)過一、三象限，
可得：m2﹣1＝1，且1﹣m＞0，
則m=?2．
【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，即正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）中，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大．
【變式5-9】已知正比例函數(shù)y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的圖象經(jīng)過第一、三象限．
（1）求m的值；
（2）當(dāng)?34≤x＜2時，求y的最小值．
【分析】（1）根據(jù)k＞0時，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，列式計算即可得解；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：由正比例函數(shù)y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的圖象經(jīng)過第一、三象限，
可得：3m﹣2＞0，3﹣|m|＝1，
解得m＝2；
（2）由（1）知，m＝2，
∴正比例函數(shù)的解析式為y＝4x，
當(dāng)x=?34時，y＝﹣3，當(dāng)x＝2時，y＝8，
∴當(dāng)?34≤x＜2時，y的最小值是﹣3．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，對于正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減小．
【變式5-10】已知函數(shù)y=(k+12)xk2?3（k為常數(shù)）．
（1）當(dāng)k為何值時，該函數(shù)是正比例函數(shù)？
（2）當(dāng)k為何值時，正比例函數(shù)y隨x的增大而增大？
（3）當(dāng)k為何值時，正比例函數(shù)y隨x的增大而減?。?br /> 【分析】（1）由正比例函數(shù)的定義得到方程組解得即可；
（2）由正比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）由正比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）依題意有k2?3=1k+12≠0，解得：k＝±2，
∴當(dāng)k＝±2時，該函數(shù)是正比例函數(shù)；
（2）由（1）得，當(dāng)k＝2時，正比例函數(shù)y隨x的增大而增大；
（3）由（1）得，當(dāng)k＝﹣2時，正比例函數(shù)y隨x的增大而減少．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的定義，熟記函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

題型六 求正比例函數(shù)解析式
【例題6】（2022秋?南海區(qū)校級月考）已知一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣2，3），則這個正比例函數(shù)的表達式是（　　）
A．y＝x+5 B．y=?32x C．y=?23x D．y＝﹣2x+3
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法即可得到函數(shù)解析式．
【解答】解：設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx，將（﹣2，3）代入函數(shù)解析式，得
﹣2k＝3．
解得k=?32，
函數(shù)解析式為y=?32x，
故選：B．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．

【變式6-1】（2022?廣州）點（3，﹣5）在正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象上，則k的值為（　?。?br /> A．﹣15 B．15 C．?35 D．?53
【分析】直接把已知點代入，進而求出k的值．
【解答】解：∵點（3，﹣5）在正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象上，
∴﹣5＝3k，
解得：k=?53，
故選：D．
【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，正確得出k的值是解題關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022春?望城區(qū)期末）已知y關(guān)于x成正比例，且當(dāng)x＝2時，y＝﹣6，則當(dāng)x＝1時，y的值為（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
【分析】先利用待定系數(shù)法求出y＝﹣3x，然后計算x＝1對應(yīng)的函數(shù)值．
【解答】解：設(shè)y＝kx，
∵當(dāng)x＝2時，y＝﹣6，
∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x，
∴當(dāng)x＝1時，y＝﹣3×1＝﹣3．
故選：B．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），然后把一個已知點的坐標(biāo)代入求出k即可．
【變式6-3】（2022春?聊城期末）若正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）經(jīng)過點(?1，12)，則k＝　?12?。?br /> 【分析】本題中只需把點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求得k值，從而解決問題．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）經(jīng)過點（﹣1，12），
∴12=?k即k=?12，
∴該正比例函數(shù)的解析式為y=?12x．
故答案為：?12．
【點評】考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，此類題目可直接將點的坐標(biāo)代入解析式，然后利用方程解決問題．
【變式6-4】（2021?碑林區(qū)校級模擬）若一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（m，6），B（5，n）兩點，則m，n一定滿足的關(guān)系式為（　　）
A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D．mn=65
【分析】設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，再根據(jù)正比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)可得6＝km，n＝5k，再利用含m、n的式子表示k，進而可得答案．
【解答】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，
∵圖象經(jīng)過A（m，6），B（5，n）兩點，
∴6＝km，n＝5k，
∴k=6m，k=n5，
∴6m=n5，
∴mn＝30，
故選：C．
【點評】此題主要考查了用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，解決問題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)必須滿足函數(shù)解析式．
【變式6-5】（2021?上海）已知函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1），請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式 　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)圖象是點的坐標(biāo)特征即可求解．
【解答】解：∵函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，
∴k＜0．
若函數(shù)y＝kx經(jīng)過（﹣1，1），則1＝﹣k，即k＝﹣1，
故函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1）時，k＜0且k≠﹣1，
∴函數(shù)解析式為y＝﹣2x，
故答案為y＝﹣2x．
【點評】考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式6-6】（2021春?晉江市期末）已知y是x的正比例函數(shù)，且當(dāng)x＝2時，y＝﹣6．
（1）求這個正比例函數(shù)的表達式；
（2）若點（a，y1），（a+2，y2）在該函數(shù)圖象上，試比較y1，y2的大?。?br /> 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．
【解答】解：（1）設(shè)y＝kx，
把x＝2，y＝6代入得2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
所以這個正比例函數(shù)的表達式為y＝﹣3x；
（2）因為k＝﹣3＜0，
所以y隨x的增大而減小，
又因為a+2＞a，
所以y1＞y2．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式：先設(shè)出一次函數(shù)的解析式為y＝kx（k≠0），再把一組對應(yīng)值代入得到k得到正比例函數(shù)解析式．也考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)．
【變式6-7】已知正比例函數(shù)的自變量x減少2時，對應(yīng)的函數(shù)值y增加4，求該正比例函數(shù)的解析式．
【分析】設(shè)該正比例函數(shù)解析式為y＝kx①，由題意得到：y+4＝k（x﹣2）②，聯(lián)立方程組，解方程組即可．
【解答】解：設(shè)該正比例函數(shù)解析式為y＝kx①，
由題意得到：y+4＝k（x﹣2）②，
聯(lián)立①②，解得k＝﹣2．
所以，該正比例函數(shù)的解析式是y＝﹣2x．
【點評】考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意，列出方程組是解題的難點．
【變式6-8】如果正比例函數(shù)y＝（m﹣2）xm2﹣8的圖象經(jīng)過二、四象限．求此函數(shù)解析式．
【分析】利用正比例函數(shù)的定義和正比例函數(shù)的性質(zhì)得到m2﹣8＝1且m﹣2＜0，然后求出滿足兩個條件的m的值即可．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（m﹣2）xm2﹣8的圖象經(jīng)過二、四象限，
∴m2﹣8＝1且m﹣2＜0，
∴m＝﹣3，
∴此函數(shù)解析式為y＝﹣5x．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)：正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），正比例函數(shù)圖象過原點，當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；k＜0，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減?。?br />
【變式6-9】已知點（a，1），（a+2，a）在一個正比例函數(shù)的圖象上．
（1）求a的值；
（2）寫出這個正比例函數(shù)的表達式．
【分析】設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，把已知兩點的坐標(biāo)代入可得到關(guān)于k、m的方程組，可求得m、k的值，則可求得正比例函數(shù)解析式．
【解答】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，
把已知點的坐標(biāo)代入可得ka=1k(a+2)=a，
解得k=12a=2或k=?1a=?1，
∴a的值為﹣1或12；
（2）正比例函數(shù)解析式為y＝﹣x或y=12x．
【點評】本題主要考查正比例函數(shù)解析式的求法，掌握待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟是解題的關(guān)鍵．

【變式6-10】已知y與x成正比例，且當(dāng)x＝﹣1時，y＝2．
（1）求出y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）畫出該函數(shù)的圖象；
（3）求當(dāng)y＝﹣8時x的值；
（4）如果x的取值范圍是﹣2＜x＜3，求y的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)正比例的定義設(shè)y＝kx（k≠0），然后把已知數(shù)據(jù)代入進行計算求出k值，即可得解；
（2）利用兩點法作出函數(shù)圖象即可；
(3)把y＝﹣8代入解析式即可求得x的值；
（4）求得x＝﹣2和x＝3時所對應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得y的取值范圍．
【解答】解：（1）設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y＝kx，
把x＝﹣1,y＝2,得2＝﹣k,
解得k＝﹣2，
所以y與x之間的函數(shù)解析式為y＝﹣2x；
（2）畫圖象如圖，

（3）把y＝﹣8代入y＝﹣2x,得﹣2x＝﹣8，
解得x＝4；
（4）當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣2x＝4；
當(dāng)x＝3時，y＝﹣2x＝﹣6，
∵﹣2＜0，
∴y 隨x的增大而減小
∴當(dāng)﹣2＜x＜3時，﹣6＜y＜4．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的作法，根據(jù)正比例的定義設(shè)出函數(shù)表達式是解題的關(guān)鍵．



題型七 正比例函數(shù)在實際中的應(yīng)用
【例題7】某商店零售一種商品，其質(zhì)量x（kg）與售價y（元）之間的關(guān)系如下表：
x/kg
1
2
3
4
5
6
7
8
y/元
2.4
4.8
7.2
9.6
12
14.4
16.8
19.2
（根據(jù)銷售經(jīng)驗，顧客在此處零買商品均未超過8kg）
（1）由上表推出售價y（元）隨質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象；
（2）顧客購買這種商品5.5kg應(yīng)付多少元？
【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)可得售價y（元）隨質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象；
（2）把x＝5.5kg代入（1）中解析式即可．
【解答】解：（1）觀察表格中數(shù)據(jù)可知，質(zhì)量每增加1kg，售價就增加2.4元，
∴這種變化規(guī)律可以表示為y＝2.4x（0≤x≤8）．
這個函數(shù)的圖象如圖所示：

（2）將x＝5.5代入解析式，得y＝2.4×5.5＝13.2，
答：顧客購買這種商品5.5kg應(yīng)付13.2元．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式．

【變式7-1】在水管放水的過程中，放水的時間x（分）與流出的水量y（立方米）是兩個變量．已知水管每分鐘流出的水量是0.2立方米，放水的過程共持續(xù)10分鐘，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)“水管每分鐘流出的水量是0.2立方米，放水的過程共持續(xù)10分鐘”列出函數(shù)關(guān)系式，然后確定函數(shù)的圖象即可．
【解答】解：∵水管每分鐘流出的水量是0.2立方米，
∴流出的水量y和放水的時間x的函數(shù)關(guān)系為：y＝0.2x，
∵放水的過程共持續(xù)10分鐘，
∴自變量的取值范圍為（0≤x≤10），
故選：D．
【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)實際問題列出函數(shù)關(guān)系式．
【變式7-2】一輛汽車由A地勻速駛往相距300千米的B地，汽車的速度是100千米/小時，那么汽車距離A地的路程S（千米）與行駛時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（　　）
A． B．
C． D．
【分析】注意分析s隨t的變化而變化的趨勢，而不一定要通過求解析式來解決．
【解答】解：汽車從A地出發(fā)，距離A地的路程S（千米）與行駛時間t（小時）應(yīng)成正比例函數(shù)關(guān)系，并且S隨t的增大而增大，自變量t的取值范圍是t≥0．
故選：B．
【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象問題．

【變式7-3】蠟燭點燃后縮短長度y（cm）與燃燒時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx（k≠0），已知長為21cm的蠟燭燃燒6分鐘后，蠟燭變短3.6cm，求：
（1）y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）自變量x的取值范圍；
（3）此蠟燭幾分鐘燃燒完．
【分析】（1）根據(jù)燃燒的蠟燭＝每分鐘燃燒的長度×?xí)r間，建立函數(shù)關(guān)系式用待定系數(shù)法求解；
（2）當(dāng)y＝21時代入（1）的解析式就可以求出x的值從而可以求出結(jié)論；
（3）令y＝21即可求得燃燒完使用的時間．
【解答】解：（1）設(shè)y＝kx（k≠0），由題意，得
3.6＝6k，
解得k＝0.6，
則用x表示函數(shù)y的解析式為y＝0.6x；
（2）當(dāng)y＝0時，x＝0，
當(dāng)y＝21時，x＝35
則自變量的取值范圍是：0≤x≤35；
（3）當(dāng)y＝21時，0.6x＝21，x＝35，
所以點燃35分鐘后可燃燒光．
【點評】此題考查了根據(jù)題意中的等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式；能夠根據(jù)函數(shù)解析式求得對應(yīng)的x的值，特別注意自變量的取值范圍．
【變式7-4】小明家最近購買了一套住房，準(zhǔn)備在裝修時用木質(zhì)地板鋪設(shè)臥室，用瓷磚鋪設(shè)客廳，經(jīng)市場調(diào)查得知，買這兩種材料和用這兩種材料鋪設(shè)地面的工錢都不一樣．小明根據(jù)地面的面積，對鋪設(shè)臥室和客廳的費用（購買材料費和工錢）分別做了預(yù)算，并用x（平方米）表示鋪設(shè)地面的面積，用y（元）表示購買和鋪設(shè)的總費用，并制成下圖，請你根據(jù)圖中所提供信息，解答下列問題：
（1）鋪設(shè)臥室每平方米的費用為　 　元，鋪設(shè)客廳每平方米的費用為　 　元；
（2）表示鋪設(shè)臥室的費用y1（元）與面積x（平方米）之間的關(guān)系式為　 ?。槐硎句佋O(shè)客廳的費用y2（元）與面積x（平方米）之間的關(guān)系式為　 　．
（3）已知在小明的預(yù)算中，鋪設(shè)瓷磚的工錢比鋪設(shè)木質(zhì)地板的工錢多5元，購買瓷磚的單價是購買木質(zhì)地板的單價的34，那么鋪設(shè)木質(zhì)地板、瓷磚的工錢單價各是多少元？購買木質(zhì)地板、瓷磚的單價各是多少元？

【分析】（1）可根據(jù)（25，2750）求出鋪設(shè)客廳每平米的費用，根據(jù)（30，4050）求出鋪設(shè)居室每平米的費用；
（2）根據(jù)（1）中求出的鋪設(shè)居室的每平米的費用，也就是居室的費用y與面積x的正比例函數(shù)的k的值，因此，y＝135x；
（3）可根據(jù)鋪設(shè)客廳每平米的費用＝鋪設(shè)每平米的瓷磚的工錢+每平米瓷磚的價錢，鋪設(shè)居室每平米的費用＝鋪設(shè)每平米的木質(zhì)地板的工錢+每平米木質(zhì)地板的價錢，來列方程組求解．
【解答】解：（1）由題得：4050÷30＝135，2750÷25＝110，
即預(yù)算中鋪設(shè)居室的費用為135元/m2；鋪設(shè)客廳的費用為110元/m2；
故答案是：135；110；
（2）y1＝135x（0≤x≤30）；y2＝110x（0≤x≤25）；
故答案是：y1＝135x（0≤x≤30）；y2＝110x（0≤x≤25）；
（3）設(shè)鋪木質(zhì)地板的工錢為a元/平方米，那么鋪瓷磚的工錢為（a+5）元/平方米，
設(shè)購買1m2木質(zhì)地板費用是b元，那么購買1m2的瓷磚的費用是34b元．根據(jù)題意有：
a+b=135a+5+34b=110，
解得a=15b=120，
因此a+5＝20元/m2，34b＝90元．
答：鋪設(shè)每平方米木質(zhì)地板、瓷磚的工錢分別是15元和20元；購買每平方米的木質(zhì)地板、瓷磚的費用分別是120元和90元．

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象以及二元一次方程組的應(yīng)用．借助函數(shù)圖象表達題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵．

題型八 正比例函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例題8】（2022春?德城區(qū)校級期中）如圖，已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點A，點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸，垂足為H，點A的橫坐標(biāo)為4，且△AOH的面積為8．
（1）求正比例函數(shù)的解析式．
（2）在x軸上能否找到一點P，使△AOP的面積為10？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）先利用三角形面積公式求出AH得到A點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；
（2）設(shè)P（t，0），利用三角形面積公式得到12?|t|?3＝10，然后解關(guān)于t的絕對值方程即可．
【解答】解：（1）∵點A的橫坐標(biāo)為4，且△AOH的面積為8，
∴12?4?AH＝8，
解得AH＝4，
∴A（4，﹣4），
把A（4，﹣4）代入y＝kx得4k＝﹣4，
解得k＝﹣1，
∴正比例函數(shù)解析式為y＝﹣x；
（2）存在．
設(shè)P（t，0），
∵△AOP的面積為10，
∴12?|t|?4＝10，
∴t＝5或t＝﹣5，
∴P點坐標(biāo)為（5，0）或（﹣5，0）．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，然后把函數(shù)圖象上一個已知點的坐標(biāo)代入求出k即可得到正比例函數(shù)解析式．也考查了三角形面積公式．
【變式8-1】如圖，正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點A，點A在第二象限．過點A作AH⊥x軸，垂足為H．已知點A的橫坐標(biāo)為﹣3，且△AOH的面積為4.5．
（1）求該正比例函數(shù)的解析式．
（2）將正比例函數(shù)y＝kx向下平移，使其恰好經(jīng)過點H，求平移后的函數(shù)解析式．

【分析】（1）由點A的縱坐標(biāo)、點A所在的象限結(jié)合△AOH的面積為4.5，可求出點A的坐標(biāo)，再根據(jù)點A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，可求出正比例函數(shù)的表達式；
（2）根據(jù)平移的規(guī)律即可求得．
【解答】解：（1）∵點A的橫坐標(biāo)為﹣3，且△AOH的面積為4.5
∴點A的縱坐標(biāo)為3，點A的坐標(biāo)為（﹣3，3），
∵正比例函數(shù)y＝kx經(jīng)過點A，
∴﹣3k＝3解得k＝﹣1
∴正比例函數(shù)的解析式是y＝﹣x；
（2）∵AH＝3，
∴將正比例函數(shù)y＝﹣x向下平移3個單位后經(jīng)過點H，
∴平移后的函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積找出點A的坐標(biāo)．

【變式8-2】已知正比例函數(shù)過點A（2，﹣4），點P在此正比例函數(shù)的圖象上，若坐標(biāo)軸上有一點B（0，4）且三角形ABP的面積為8．
求：（1）過點A的正比例函數(shù)關(guān)系式；
（2）點P的坐標(biāo)．

【分析】（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y＝kx（k≠0），再把A（2，﹣4）代入即可求出k的值；
（2）設(shè)出P點坐標(biāo)，再分x＜0與x＞0兩種情況進行討論．
【解答】解：（1）設(shè)正比例函數(shù)為y＝kx（k≠0），
∵A（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，解得k＝﹣2，
∴正比例函數(shù)的解析式為：y＝﹣2x．
（2）設(shè)P（x，﹣2x）
如圖1所示，當(dāng)x＜0時，S△ABP＝S△PBO+S△ABO＝﹣4x÷2+4×2÷2＝8，
解得x＝﹣2，
∴P（﹣2，4）；
②如圖2所示，
當(dāng)x＞0時 S△ABP＝S△PBO﹣S△ABO＝4x÷2﹣4×2÷2＝8，
解得x＝6．
∴P（6，﹣12）．
綜上所述，P點坐標(biāo)為（﹣2，4），（6，﹣12）．

【點評】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
【變式8-3】已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點A，點A在第四象限，過A作AH⊥x軸，垂足為H，點A的橫坐標(biāo)為3，且△AOH的面積為3．
（1）求正比例函數(shù)y＝kx的解析式．
（2）點P為x軸上一點，△AOP的面積為4，求直線AP的函數(shù)解析式．

【分析】（1）先利用三角形面積公式求出AH得到A點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；
（2）設(shè)P（t，0），利用三角形面積公式得到關(guān)于t的方程，解關(guān)于t的絕對值方程求得P的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得即可．
【解答】解：（1）∵點A的橫坐標(biāo)為3，且△AOH的面積為3，
∴12?3?AH＝3，解得AH＝2，
∴A（3，﹣2），
把A（3，﹣2）代入y＝kx得3k＝﹣2，解得k=?23，
∴正比例函數(shù)解析式為y=?23x；
（2）設(shè)P（t，0），
∵△AOP的面積為4，
∴12?|t|?2＝4，
∴t＝4或t＝﹣4，
∴P點坐標(biāo)為（4，0）或（﹣4，0），
設(shè)直線AP的解析式為y＝mx+n，
把P（4，0），A（3，﹣2）代入得4m+n=03m+n=?2，解得m=2n=?8，
此時，直線AP的解析式為y＝2x﹣8，
把P（﹣4，0），A（3，﹣2）代入得?4m+n=03m+n=?2，解得m=?27n=?87．
此時，直線AP的解析式為y=?27x?87，
綜上，直線AP的函數(shù)解析式為y＝2x﹣8或y=?27x?87．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形面積，求得P點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【變式8-4】（2022春?崆峒區(qū)期末）如圖，正比例函數(shù)y＝kx經(jīng)過點A（3，a），點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸于H，且△AOH的面積為3．
（1）求正比例函數(shù)的解析式；
（2）若點B（1，0）和點C都在x軸上，當(dāng)△ABC的面積是5時，求點C的坐標(biāo)；
（3）若點M為y軸上一動點，N為平面內(nèi)任意一點，是否存在點N，使得以點A，O，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)△AOH的面積為3求出a的值，根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)△ABC的面積是5，求出BC的長，分點C在點B右側(cè)和左側(cè)兩種情況即可得出答案；
（3）分AO為邊和AO為對角線兩種情況分別求點N的坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）∵A（3，a），點A在第四象限，
∴OH＝3，AH＝﹣a，
∵△AOH的面積為3，
∴12×OH×AH＝3，
∴12×3×（﹣a）＝3，
∴a＝﹣2，
∵正比例函數(shù)y＝kx經(jīng)過點A（3，﹣2），
∴﹣2＝3k，
∴k=?23，
∴y=?23x；
（2）∵△ABC的面積是5，
∴12×BC×AH＝5，
∴12×BC×2＝5，
∴BC＝5，
∴點C的坐標(biāo)為（6，0）或（﹣4，0）；
（3）AO=32+22=13，
當(dāng)AO為邊時，
∵四邊形OANM是菱形，
∴AN∥OM，AN＝OM＝AO=13，
∴點N的坐標(biāo)為（3，﹣2+13）或（3，﹣2?13）；

當(dāng)AO為對角線時，
設(shè)M點的坐標(biāo)為（0，m），
∵四邊形OMAN是菱形，
∴OM＝AM，
∴OM2＝AM2，
∴m2＝32+（m+2）2，
解得：m=?134，
∴M（0，?134），
∴OM＝AN=134，
∴N點的坐標(biāo)為（3，54）；
當(dāng)OM為對角線時，
∵四邊形ONMA為菱形，
∴點A和點N關(guān)于y軸對稱，
∴N（﹣3，﹣2）；
綜上所述，點N的坐標(biāo)為（3，﹣2+13）或（3，﹣2?13）或（3，54）或（﹣3，﹣2）．


【點評】本題考查了一次函數(shù)綜合題，考查分類討論的思想，畫出菱形的圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出點N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

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數(shù)學(xué)19.2.2 一次函數(shù)第1課時課時作業(yè)

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人教版八年級下冊19.2.1 正比例函數(shù)綜合訓(xùn)練題

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數(shù)學(xué)19.2.1 正比例函數(shù)第1課時一課一練

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊電子課本

19.2.1 正比例函數(shù)

版本： 人教版

年級： 八年級下冊

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