知識精講
知識點01 垂徑定理
垂直于弦的直徑 這條弦，并且平分弦所對的 .
注意：
①定理中的“直徑”可以是直徑，也可以是半徑，甚至可以是過圓心的直線或線段。
②條件中的“弦”可以是直徑，結(jié)論中“平分弦所對的弧”指的是既平分弦所對的劣弧，也平分弦所對的優(yōu)弧.
知識點02 垂徑定理的逆定理
1. 內(nèi)容
平分弦（不是直徑）的直徑 ，并且平分弦所對的 。
注意：
①被平分的弦“不是直徑”。任意兩條直徑都互相平分。
②結(jié)論中“平分弦所對的弧”指的是既平分弦所對的劣弧，也平分弦所對的優(yōu)弧。
EQ \\ac(○,3)利用垂徑定理的逆定理可以確定圓心的位置：在圓中找出兩條不平行的弦，分別作兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即是交點。
2. 垂徑定理及其逆定理的拓展
在垂徑定理及其推論中： ，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論。
注意：
“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑。
能力拓展
考法01 應(yīng)用垂徑定理進行計算與證明
【典例1】如圖，在中，弦的長為16cm，若圓心O到的距離為6cm，則的半徑為（ ）cm．
A．4B．6C．8D．10
【即學(xué)即練】如圖，已知的半徑為10，弦，則點到的距離是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】如圖，∠A是⊙O的圓周角，∠A=40°，則∠BOC=( )
A．140°B．40°C．80°D．60°
【即學(xué)即練】已知△ABC的邊BC= ，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（ ）
A．60° B．120°C．60°或120° D．90°
考法02 垂徑定理的綜合應(yīng)用
【典例3】唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)，如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦長，輪子的吃水深度為，則該漿輪船的輪子半徑為（ ）
A．B．C．D．
【即學(xué)即練】如圖，有一圓弧形橋拱，已知圓弧所在圓的半徑，橋拱的跨度，則拱高為（ ）
A．B．C．D．
【典例4】如圖1，點M表示我國古代水車的一個盛水筒．如圖2，當水車工作時，盛水筒的運行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓．若被水面截得的弦長為，則在水車工作時，盛水筒在水面以下的最大深度為（ ）
A．B．C．D．
【即學(xué)即練】如圖所示一個圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心下方，若的直徑為，水面寬，則水的最大深度為（ ）
A．B．C．D．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．下列說法中， 正確的是（ ）
A．任意三點確定一個圓B．相等的圓心角所對的弧相等
C．三角形的外心到它的三頂點的距離相等D．平分弦的直徑垂直于弦
2．下列命題中，正確的是（ ）.
A．平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑.
B．平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦.
C．弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心.
D．在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對的弦的直線必經(jīng)過這個圓的圓心.
3．如圖，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分別為AB，AC的中點，則四邊形OEAD是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
4．如圖，是的直徑，弦于點E，，，則的長為（ ）
A．5B．3C．2D．1.5
5．如圖，已知的半徑為10，弦，是上任意一點，則線段的長可能是（ ）
A．5.5B．6.5C．7.5D．8.5
6．如圖，在中，是弦，，半徑為4，．則的長（ ）
A．B．C．D．
7．垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑__________，并且平分弦所對的_______．
8．鏟車輪胎在建筑工地的泥地上留下圓弧形凹坑如圖所示，量得凹坑跨度為，凹坑最大深度為，由此可算得鏟車輪胎半徑為________．
9．如圖，大橋的圓拱的跨度是米，拱高是米，求這個圓拱所在的圓的半徑．
10．圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為的圓，如圖所示，若水面寬，求水的最大深度．
題組B 能力提升練
1．點是內(nèi)一點，過點的最長弦的長為10，最短弦的長為6，則的長為（ ）
A．8B．2C．5D．4
2．的半徑為10cm，弦，且，，則和的距離為（ ）
A．2cmB．14cmC．2cm或14cmD．10cm或20cm
3．為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的半徑為（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm
4．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)著作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，為的直徑，弦于，寸，寸，求直徑的長．”則為( )
A．10寸B．3寸C．20寸D．26寸
5．如圖，為的直徑，點是的中點，過點作于點，延長交于點．若，，則的直徑長為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在平面直角坐標系中，的圓心坐標，半徑為5，函數(shù)的圖象被截得的弦的長為8，則的值為（ ）
A．6B．C．D．
7．如圖，是⊙O的弦，點C在⊙O內(nèi)，，連接，若⊙O的半徑是4，則長的最小值為______．
8．如圖，一個水平放置的透明無蓋的正方體容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，則球的直徑為__________cm（容器厚度忽略不計）．
9．一座橋如圖，橋下水面寬度是20米，高是4米．
(1)如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系．
①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？
(2)如圖，若把橋看做是圓的一部分．
①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？
10．已知：的半徑為5，點在直徑上，過點作的弦，過點作直線的垂線，垂足為點．
(1)如圖1，當時，求線段的長；
(2)當點是線段的中點時，求的長；
(3)如果，求線段的長．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，的直徑與弦交于點E，若B為弧的中點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．弧弧B．C．D．
2．某公園中央地上有一個大理石球，小明想測量球的半徑，于是找了兩塊厚20cm的磚塞在球的兩側(cè)（其中間的截面圖如圖所示），他量了下兩磚之間的距離剛好是80cm，則圖中截面圓的半徑是（ ）
A．80cmB．70cmC．60cmD．50cm
3．如圖，已知的直徑為26，弦，動點P、Q在上，弦，若點M、N分別是弦的中點，則線段的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．京西某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，風(fēng)格更加簡約．如圖，摩天輪直徑88米，最高點距離地面100米，勻速運行一圈的時間是18分鐘．由于受到周邊建筑物的影響，乘客與地面的距離超過34米時，可視為最佳觀賞位置，在運行的一圈里最佳觀賞時長為（ ）分鐘．
A．6B．8C．10D．12
5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最小值為（ ）
A．3.5B．2.5C．2D．1.2
6．一張圓形紙片，小芳進行了如下連續(xù)操作：將圓形紙片左右對折、折痕為AB，將圓形紙片上下折疊使A、B兩點重合，折痕CD與AB相交于M，將圓形紙片沿EF折疊使B、M兩點重合，折痕EF與AB相交于N．連結(jié)AE、AF，經(jīng)過以上操作小芳得到了以下結(jié)論：①CDEF；②四邊形MEBF是菱形；③△AEF為等邊三角形④ ．以上結(jié)論正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
7．如圖，為圓O的直徑，弦于點E，，，則直徑的長是____________．
8．已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點是反比例函數(shù)圖像上的一個動點，若以點為圓心，為半徑的圓與直線相交，交點為、，當弦的長等于時，點的坐標為______．
9．“五一”節(jié)期間，小明和同學(xué)一起到游樂場游玩．如圖為某游樂場大型摩天輪的示意圖，其半徑是20m，它勻速旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘，最底部點B離地面1m．小明乘坐的車廂經(jīng)過點B時開始計時．
(1)計時4分鐘后小明離地面的高度是多少？
(2)在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有多長時間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中？
10．如圖，在平面直角坐標系中的上，有弦，取的中點P，將點P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到點Q，稱點Q為弦的“中點對應(yīng)點”．設(shè)是以為圓心，半徑為2的圓．
(1)已知弦長度為2，點Q為弦的“中點對應(yīng)點”．
①當軸時，在圖1中畫出點Q，并且直接寫出線段的長度；
②當在圓上運動時，直接寫出線段的取值范圍．
(2)已知點，點N為上的一動點，設(shè)直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，若線段上存在弦的“中點對應(yīng)點”點Q，求出b的取值范圍．
課程標準
1.掌握垂徑定理及其逆定理，能利用垂徑定理及其逆定理進行相關(guān)計算和證明。
2.會運用垂徑定理解決相關(guān)的實際問題。

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