初中數(shù)學北師大版九年級下冊第三章圓1 圓精品一課一練-試卷下載-教習網(wǎng)

知識精講
知識點01 圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角
1．圓的定義
(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.
(2)圓是到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.
注意：
①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
②圓是一條封閉曲線.
2．圓的性質(zhì)
(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.
在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.
(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.
(3)垂徑定理及推論：
①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夾的弧相等.
注意：
在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）
3．與圓有關(guān)的角
(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.
圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).
(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
圓周角的性質(zhì)：
①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.
②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.
③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.
④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.
⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角.
注意：
(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
知識點02 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1．判定一個點P是否在⊙O上
設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有
點P在⊙O 外；
點P在⊙O 上；
點P在⊙O 內(nèi).
注意：
點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.
2．判定幾個點在同一個圓上的方法
當時，在⊙O 上.
3．直線和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O 半徑為R，點O到直線的距離為.
(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.
(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.
(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.
4．切線的判定、性質(zhì)
(1)切線的判定：
①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.
(2)切線的性質(zhì)：
①圓的切線垂直于過切點的半徑.
②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.
③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.
(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.
(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
知識點03 三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形
1．三角形的內(nèi)心、外心
(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.
注意：
(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形
(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角.
(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.
知識點04 圓中有關(guān)計算
1．圓中有關(guān)計算
圓的面積公式：，周長.
圓心角為、半徑為R的弧長.
圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.
弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.
注意：
(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，
即；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.
能力拓展
考法01 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
【典例1】如圖，在中，點B、O、C和點A、O、D分別在同一條直線上，則圖中有（）條弦．
A．2B．3C．4D．5
【典例2】如圖，在中，，，則（）
A．B．C．D．
【即學即練】如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
考法02 弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理
【典例3】如圖，在中，如果＝2 ，則下列關(guān)于弦AB與弦AC之間關(guān)系正確的是（）
A．AB＝ACB．AB＝ 2ACC．AB ＞2ACD．AB ＜ 2AC
【即學即練】如圖，在 ⊙O中，，D、E分別是半徑OA，OB的中點，連接OC，AC，BC，CD，CE，則下列結(jié)論不一定成立的是（）
A．AC＝BCB．CD＝CEC．∠ACD＝∠BCED．CD⊥OA
【典例4】如圖，是的直徑，于E，，，則為（）
A．17B．30C．34D．36
【即學即練】如圖，是的弦，半徑為，，則弦的長為（）
A．B．C．D．
考法03 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
【典例5】已知的半徑為，點P到圓心O的距離為，則點P和的位置關(guān)系為（）
A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓上C．點P在圓外D．不能確定
【即學即練】在直角坐標平面內(nèi)，如果點在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么a的取值范圍是（）
A． B． C．D．．
【典例6】已知的面積為，若點O到直線的距離為，則直線與的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．無法確定
【即學即練】如圖，兩個同心圓的半徑分別為3，5，直線l與大交于點A，B，若，則直線l與小的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．無法確定
考法04 圓中有關(guān)的計算
【典例7】如圖，是的外接圓，，則的度數(shù)為（）
A．45°B．55°C．70°D．75°
【即學即練】如圖，在中，半徑垂直弦于點D．若，則的大小為（）
A．B．C．D．
【典例8】若圓的半徑為9，則的圓心角所對的弧長為（）
A．3B．6C．D．
【即學即練】半徑為1的圓中，扇形的圓心角為，則扇形的面積為（）
A．B．C．D．
考法05 圓與其他知識的綜合運用
【典例9】如圖，與正方形的兩邊，相切，且與相切于點．若的半徑為4，且，則的長度為（）
A．5B．C．D．6
【即學即練】已知過正方形頂點，，且與相切，若正方形邊長為，則圓的半徑為（）
A．B．C．D．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．已知⊙O中最長的弦為8cm，則⊙O的半徑為( )cm．
A．2B．4C．8D．16
2．圓錐的地面半徑為10cm．它的展開圖扇形半徑為30cm，則這個扇形圓心角的度數(shù)是（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
3．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點D，E，F(xiàn)，且AD＝2，BC＝5，則△ABC的周長為（）
A．16B．14C．12D．10
4．已知AB、CD是兩個不同圓的弦，如AB＝CD，那么弧AB與弧CD的關(guān)系是（）
A．弧AB=弧CDB．弧AB＞弧CDC．弧AB＜弧CDD．不能確定
5．如圖，已知A，B，C，D是圓上的點，弧AD＝弧BC，AC，BD交于點E，則下列結(jié)論正確的是( )
A．AB＝ADB．AC＝BDC．BE＝CDD．BE＝AD
6．如圖工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示．則這個小圓孔的寬口AB的長度是（）
A．5mmB．6mmC．8mmD．10mm
7．如圖，是的直徑，弦于點E，若，，則的長為______．
8．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，已知CD＝6，EB＝2，則⊙O的半徑為_____．
9．如圖，直線，垂足為P，測得．
（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A，C兩點分別與直線和相切；
（2）求該圓弧的長．
10．如圖，已知AB是⊙O的直徑，．
（1）求的度數(shù)；
（2）過點D作，垂足為E，DE的延長線交⊙O于點F．若，求EF的長．
題組B 能力提升練
1．已知OA=4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（）
A．2B．3C．4D．5
2．如圖，半圓的圓心為0，直徑AB的長為12，C為半圓上一點，∠CAB＝30°，的長是（）
A．12πB．6πC．5πD．4π
3．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10cm，最短弦長為8cm，則OM的長為（）
A．9cmB．6cmC．3cmD．cm
4．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點變化的過程中，線段的最小值是（）
A．1B．C．2D．
5．如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點P為CA上的動點，連BP，過點A作AM⊥BP于M．當點P從點C運動到點A時，線段BM的中點N運動的路徑長為（）
A．πB．πC．πD．2π
6．如圖的矩形ABCD中，E為的中點，有一圓過C、D、E三點，且此圓分別與相交于P、Q兩點．甲、乙兩人想找到此圓的圓心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分線L，作的中垂線，交L于O點，則O即為所求；
（乙）連接，兩線段交于一點O，則O即為所求
對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）
A．兩人皆正確B．兩人皆錯誤
C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確
7．如圖，半圓形紙片AMB的半徑為1 cm，用如圖所示的方法將紙片對折，使對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則折痕CD的長為________ .
8．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為______．
9．如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點A，B，C．
(1)用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)設(shè)是等腰三角形，底邊，腰，求圓片的半徑R．
10．如圖，在中，，是的平分線，的平分線交于點，點在上，以點為圓心，的長為半徑的圓經(jīng)過點，交于點，交于點．
(1)求證：為的切線；
(2)當，時，求線段的長．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖所示，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=70°，則∠AOC的度數(shù)等于( )
A．140°B．130°C．120°D．110°
2．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，則弦AB所對的圓周角是（）
A．40°B．140°或40°C．20°D．20°或160°
3．如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA＝10，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，則△PCD的周長是（）
A．10B．18C．20D．22
4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC平分∠BAD，則下列結(jié)論正確的是（）
A．AB=ADB．BC=CDC．D．∠BCA=∠DCA
5．如圖，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足為E，F(xiàn)為的中點，連接AF、BF、AC，AF交CD于M，過F作FH⊥AC，垂足為G，以下結(jié)論：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的個數(shù)是（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
6．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連AP，取AP中點Q，連CQ，則線段CQ的最大值為( )
A．3B．1+C．1+3D．1+
7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，點P是BC邊上的動點，過點c作直線記的垂線，垂足為Q，當點P從點C運動到點B時，點Q的運動路徑長為_______．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分別以A、B、C為圓心，以AC為半徑畫弧，三條弧與邊AB所圍成的陰影部分的面積是_____．（保留π）
9．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，為上一點，，延長交于點，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
10．如圖，矩形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，⊙O半徑為5，AB＝8，點E、F分別是弦CD、BC上的動點，連結(jié)EF，∠EAF始終保持等于45°．
（1）求AD的長度．
（2）已知DE＝，求BF的長度．
（3）試探究△AEF的面積是否存在最小值，若存在，請求出它的最小值；若不存在，請說明理由．
課程標準
1.理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系；探索并了解點與圓、直線與圓的位置關(guān)系，探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；
2.了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；
3.了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；
4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積；
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點
(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

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