北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊——專題4.6三角形的認(rèn)識大題專練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題4.6三角形的認(rèn)識大題專練
班級：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事項：
本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一．解答題（共30小題）
1．（2021秋?梁平區(qū)期中）已知三角形的兩邊的長分別是4cm和9cm．
（1）求第三邊的取值范圍；
（2）若第三邊長是偶數(shù)，求第三邊長；
（3）求周長的取值范圍（第三邊長是整數(shù)）．
【分析】（1）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和三角形的兩邊差小于第三邊可得9﹣4＜x＜9+4；
（2）根據(jù)第三邊的取值范圍選出偶數(shù)即可；
（3）利用第三邊的取值范圍再加上三角形的兩邊的長4cm和9cm可得周長范圍．
【解答】解：（1）設(shè)第三邊長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得：
9﹣4＜x＜9+4，
解得：5＜x＜13；

（2）∵第三邊長是偶數(shù)，
∴x＝6，8，10，12；

（3）設(shè)周長為l，由題意得：9+4+6≤l≤12+4+9，
解得：19≤l≤25．
2．（2021秋?東光縣期中）已知在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC的長為奇數(shù)，求AC的長．
【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得3﹣2＜AC＜3+2，再根據(jù)AC為奇數(shù)確定AC的值．
【解答】解：由題意得：3﹣2＜AC＜3+2，
即：1＜AC＜5，
∵AC為奇數(shù)，
∴AC＝3．
3．（2019春?東湖區(qū)校級期末）已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC為奇數(shù)．
（1）求△ABC的周長；
（2）判斷△ABC的形狀．
【分析】（1）首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得5﹣2＜AC＜5+2，再根據(jù)AC為奇數(shù)確定AC的值，進(jìn)而可得周長；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形．
【解答】解：（1）由題意得：5﹣2＜AC＜5+2，
即：3＜AC＜7，
∵AC為奇數(shù)，
∴AC＝5，
∴△ABC的周長為5+5+2＝12；

（2）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
4．（2020秋?玉林月考）已知：a、b、c分別為△ABC的三邊，化簡|a﹣b+c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|．
【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得a+c＞b，a+b＞c，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號，然后利用整式的加減運(yùn)算進(jìn)行計算即可得解．
【解答】解：∵a、b、c分別為△ABC的三邊，
∴a+c＞b，a+b＞c，
∴|a﹣b+c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|，
＝a﹣b+c+a+c﹣b+a+b﹣c，
＝3a﹣b+c．
5．（2020秋?金安區(qū)校級期中）已知△ABC的三邊長分別為3、5、a，化簡|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．
【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出a的取值范圍，進(jìn)而利用絕對值的性質(zhì)化簡得出答案．
【解答】解：∵△ABC的三邊長分別為3、5、a，
∴5﹣3＜a＜3+5，
解得：2＜a＜8，
故|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|
＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）
＝a+1﹣8+a﹣2a+4
＝﹣3．
6．（2020秋?玉山縣期末）已知，△ABC的三邊長為4，9，x．
（1）求△ABC的周長的取值范圍；
（2）當(dāng)△ABC的周長為偶數(shù)時，求x．
【分析】（1）直接根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)周長為偶數(shù)，結(jié)合（1）確定周長的值，從而確定x的值．
【解答】解：（1）∵三角形的三邊長分別為4，9，x，
∴9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13，
∴9+4+5＜△ABC的周長＜9+4+13，
即：18＜△ABC的周長＜26；
（2）∵△ABC的周長是偶數(shù)，由（1）結(jié)果得△ABC的周長可以是20，22或24，
∴x的值為7，9或11．
7．（2021秋?新洲區(qū)期中）已知a、b、c為三角形的三邊長，化簡：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|．
【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，a﹣c+b＞0，然后去絕對值，化簡即可求得．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三邊的長，
∴a+c＞b，a+b＞c，a+c＞b，
∴a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，a﹣c+b＞0，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|
＝a﹣b+c﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a﹣c+b）
＝a﹣b+c+b﹣c﹣a﹣a+c﹣b
＝c﹣a﹣b．
8．（2021秋?隆回縣期中）已知a，b，c是△ABC的三邊，a＝4，b＝6，若三角形的周長是小于18的偶數(shù)．
（1）求c邊的長；
（2）判斷△ABC的形狀．
【分析】（1）利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出c的取值范圍，進(jìn)而得出答案；
（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三邊，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周長是小于18的偶數(shù)，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；

（2）當(dāng)c＝4或6時，△ABC的形狀都是等腰三角形．
9．（2022秋?忻府區(qū)月考）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，則AB+BC+AC＞2AD．請說明理由．

【分析】分別在兩個三角形中利用三角形的三邊關(guān)系得到不等式，然后相加即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵在△ABD中，AB+BD＞AD，△ACD中AC+CD＞AD，
∴AB+BD+AC+CD＞AD+AD，
即：AB+BC+AC＞2AD．
10．（2021秋?鐵東區(qū)校級月考）如圖，AD為△ABC中BC邊上的中線（AB＞AC）
（1）求證：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；
（2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范圍．

【分析】（1）延長AD至E，使AD＝DE，連接BE，然后再證明△ACD≌△EBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BE，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，利用等量代換可得AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；
（2）把AB＝8cm，AC＝5cm代入（1）的結(jié)論里，再解不等式即可．
【解答】（1）證明：如圖延長AD至E，使AD＝DE，連接BE．
在△ACD和△EBD中：，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE（全等三角形的對應(yīng)邊相等），
在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，
即AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；

（2）解：∵AB＝8cm，AC＝5cm，
∴8﹣5＜2AD＜8+5，
∴＜AD＜．

11．如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP，并延長交BC于D．求證：
（1）AB+AC＞AD+BC；
（2）AB+AC＞AP+BP+CP．

【分析】（1）根據(jù)大邊對大角和等量關(guān)系可得∠ABC＜∠ADB，再根據(jù)大角對大邊可得AB＞AD，再根據(jù)等量關(guān)系即可求解；
（2）過點(diǎn)P作BC的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，得到△AEF，由（1）中結(jié)論可得：AE+AF＞AP+EP+PF①，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出BE+EP＞PB②，PF+FC＞PC③，然后將①②③三個式子相加即可得到AB+AC＞AP+BP+CP．
【解答】證明：（1）∵AB＞AC，
∴∠ABC＜∠ACB，
∵∠ACB＜∠ADB，
∴∠ABC＜∠ADB，
∴AB＞AD，
∵AC＞BC，
∴AB+AC＞AD+BC；
（2）如圖，過點(diǎn)P作BC的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，
得到△AEF，由（1）中結(jié)論可得：AE+AF＞AP+EP+PF①，
在△BEP中，BE+EP＞PB②，
在△PCF中，PF+FC＞PC③，
①+②+③得：AB+AC＞AP+BP+CP．

12．如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，且AC、BD相交于點(diǎn)O．求證：
（1）AB+CD＜AC+BD；
（2）AC+BD＞（AB+BC+CD+AD）．

【分析】（1）直接利用三角形三邊關(guān)系得出AO+BO＞AB，CO+DO＞DC，進(jìn)而得出答案；
（2）利用（1）中所求即可得出2（AC+BD）＞AB+BC+CD+AD，進(jìn)而得出答案．
【解答】證明：（1）∵在△ABO和△COD中，
AO+BO＞AB，CO+DO＞DC，
∴AO+CO+BO+DO＞AB+DC，
即AB+CD＜AC+BD；

（2）由（1）得：AB+CD＜AC+BD，
同理可得：AD+BC＜AC+BD，
則2（AC+BD）＞AB+BC+CD+AD，
故AC+BD＞（AB+BC+CD+AD）．
13．（2022秋?烏魯木齊縣月考）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a＝4，b＝6，設(shè)△ABC的周長是x．
（1）求c與x的取值范圍；
（2）若x是小于18的偶數(shù)，試判斷△ABC的形狀．
【分析】（1）利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出c的取值范圍，進(jìn)而得出答案；
（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：（1）因為a＝4，b＝6，
所以2＜c＜10．
故周長x的范圍為12＜x＜20．
（2）因為周長為小于18的偶數(shù)，
所以x＝16或x＝14．
當(dāng)x為16時，c＝6；
當(dāng)x為14時，c＝4．
當(dāng)c＝6時，b＝c，△ABC為等腰三角形；
當(dāng)c＝4時，a＝c，△ABC為等腰三角形．
綜上，△ABC是等腰三角形．
14．（2022秋?包河區(qū)期中）如圖，D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，試判斷2AD與△ABC的周長之間的大小關(guān)系，并加以證明．

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到AB+BD＞AD，AC+CD＞AD，根據(jù)三角形的周長公式證明結(jié)論．
【解答】解：△ABC的周長＞2AD．
證明如下：在△ABD中，AB+BD＞AD，在△ACD中，AC+CD＞AD，
∴AB+BD+AC+CD＞2AD，即AB+AC+BC＞2AD，
∵△ABC的周長＝AB+AC+BC，
∴△ABC的周長＞2AD．
15．（2020秋?公安縣期中）已知三角形的三條邊長為6、10和x．
（1）若6是最短邊長，求x的取值范圍；
（2）若x為整數(shù)，求三角形周長的最大值．
【分析】（1）由三角形三邊關(guān)系解答；
（2）利用（1）中求得的x的取值范圍，確定整數(shù)x的值；然后由三角形的周長公式解答．
【解答】解：（1）由題意得：10﹣6＜x＜10+6，即4＜x＜16．
∵6是最短邊長，
∴x≥6．
∴x的取值范圍是6≤x＜16；

（2）由（1）可知，4＜x＜16，
∵x為整數(shù)，
∴x的最大值為15．
∴三角形周長的最大值為6+10+15＝31．
16．（2021春?甘孜州期末）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝7，若第三邊BC的長為偶數(shù)，求△ABC的周長．
【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，進(jìn)而解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝7，
∴第三邊BC的取值范圍是：4＜BC＜10，
∴符合條件的偶數(shù)是6或8，
∴當(dāng)BC＝6時，△ABC的周長為：3+6+7＝16；
當(dāng)BC＝8時，△ABC的周長為：3+7+8＝18．
∴△ABC的周長為16或18．
17．（2020秋?安慶期中）已知：如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．
求證：
（1）BD+CD＜AB+AC；
（2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC．

【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及不等式的性質(zhì)即可解決問題；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及不等式的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】證明：（1）延長BD交AC于E，
在△ABE中，有AB+AE＞BE，
在△EDC中，有ED+EC＞CD，
∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD，
∵AE+EC＝AC，BE＝BD+DE，
∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD，
∴AB+AC＞BD+CD；
（2）由（1）同理可得：
AB+BC＞AD+CD，
BC+AC＞BD+AD，
AB+AC＞BD+CD，
∴2（AB+BC+AC）＞2（AD+BD+CD），
∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD．
18．（2022春?臺江區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D．
（1）求∠BDC的度數(shù)；
（2）試比較DA+DB+DC與（AB+BC+AC）的大小，寫出推理過程．

【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分線的定義求出∠CBD+∠BCD＝55°，然后由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；
（2）由三角形的三邊關(guān)系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，則2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°；
（2）DA+DB+DC＞（AB+BC+AC），理由如下：
在△ABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：DA+DB＞AB①，
同理：DB+DC＞BC②，DA+DC＞AC③，
①+②+③得：2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，
∴DA+DB+DC＞（AB+BC+AC）．
19．（2020秋?開福區(qū)校級月考）△ABC中D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD．
（1）如圖（1），AD是中線，則AB+AC　＞　2AD（填＞，＜或＝）；
（2）如圖（2），AD是角平分線，求證AB﹣AC＞BD﹣CD．

【分析】（1）延長AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE、CE，根據(jù)AD＝DE，BD＝DC得到平行四邊形，△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD；
（2）在AB上截取AE＝AC，連接DE，證得△ADE≌△ADC（SAS），得出ED＝CD，在△BDE中，BE＞BD﹣ED，即AB﹣AC＞BD﹣CD．
【解答】（1）解：如圖1，延長AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE、CE，

∵BD＝DC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC＝BE，
△ABE中，AB+BE＞AE，
即AB+AC＞2AD，
故答案為＞；
（2）證明：如圖2，在AB上截取AE＝AC，連接DE，

在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
在△BDE中，BE＞BD﹣ED，
即AB﹣AC＞BD﹣CD．
20．（2020春?雙陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ABD的周長比△ADC的周長多2，且AB與AC的和為10．
（1）求AB、AC的長．
（2）求BC邊的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)三角形中線的定義，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周長之差也就是AB與AC的差，然后聯(lián)立關(guān)于AB、AC的二元一次方程組，利用加減消元法求解即可．
（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系解答即可．
【解答】解：（1）∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周長﹣△ADC的周長＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝10②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝8，
解得AC＝4，
∴AB和AC的長分別為：AB＝6，AC＝4；
（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴2＜BC＜10．
21．（2022秋?瑤海區(qū)期中）如圖，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成70和50兩部分，求AC和AB的長．

【分析】先根據(jù)AC＝2BC和三角形的中線列出方程求解，分類討論①AC+CD＝70，②AC+CD＝50，注意答案是否滿足條件，即是否滿足題目給出的條件、是否滿足三角形三邊的關(guān)系．
【解答】解：設(shè)BD＝CD＝x，則AC＝2BC＝4x，
∵BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成70和50兩部分，AB＞BC，
①當(dāng)AC+CD＝70，AB+BD＝50時，
4x+x＝70，
解得：x＝14，
∴AC＝4x＝4×14＝56，
BD＝CD＝14，
∴AB＝50﹣BD＝50﹣14＝36，
∴AB＝36＞BC＝28，滿足條件
∵BC+AB＝36+28＝64＞AC＝56，滿足三邊關(guān)系，
∴AC＝56，AB＝36；
②當(dāng)AC+CD＝50，AB+BD＝70時，
4x+x＝50，
解得：x＝10，
∴AC＝4x＝4×10＝40，
∴BD＝CD＝10，
AB＝70﹣BD＝70﹣10＝60，
∵AC＝40＜AB＝60，不滿足AB＞BC這一條件，∴舍去，
∴AC＝56，AB＝36．
22．（2020春?五華區(qū)校級期末）已知△ABC的周長為33cm，AD是BC邊上的中線，．
（1）如圖，當(dāng)AC＝10cm時，求BD的長．
（2）若AC＝12cm，能否求出DC的長？為什么？

【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)三角形周長和邊的關(guān)系解答即可．
【解答】解：（1）∵，AC＝10cm，
∴AB＝15cm．
又∵△ABC的周長是33cm，
∴BC＝8cm．
∵AD是BC邊上的中線，
∴．
（2）不能，理由如下：
∵，AC＝12cm，
∴AB＝18cm．
又∵△ABC的周長是33cm，
∴BC＝3cm．
∵AC+BC＝15＜AB＝18，
∴不能構(gòu)成三角形ABC，則不能求出DC的長．
23．（2018秋?望江縣期末）在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC的周長為偶數(shù)，則△ABC的周長為多少？
【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可以得到x的取值范圍；
（2）先根據(jù)已知兩邊求得第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊為偶數(shù)求得第三邊的長，最后計算三角形的周長．
【解答】解：（1）由題意知，9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11；

（2）∵7＜x＜11，
∴x的值是8或9或10，
∴△ABC的周長為：9+2+8＝19（舍去）．
或9+2+9＝20或9+2+10＝21（舍去）
即該三角形的周長是20．
24．（2022秋?黑龍江期中）已知a、b、c是三角形的三邊長，
①化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求這個三角形的各邊．
【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，再化去絕對值即可；
（2）通過解三元一次方程組，即可得出三角形的各邊．
【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三邊長，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b＝a+b+c；
（2）∵a+b＝11①，b+c＝9②，a+c＝10③，
∴由①﹣②，得
a﹣c＝2，④
由③+④，得2a＝12，
∴a＝6，
∴b＝11﹣6＝5，
∴c＝10﹣6＝4．
25．（2019秋?全椒縣期末）如圖，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．

【分析】先根據(jù)AD是BC邊上的中線得出BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，AB＝y(tǒng)，則AC＝4x，根據(jù)題意得出兩個方程，求出x、y的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理判斷即可．
【解答】解：設(shè)BD＝CD＝x，AB＝y(tǒng)，則AC＝2BC＝4x，
∵BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
當(dāng)AB＝28，BC＝24，AC＝48時，符合三角形三邊關(guān)系定理，能組成三角形，
所以AC＝48，AB＝28．
26．（2020秋?江津區(qū)期中）a，b，c分別為△ABC的三邊，且滿足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．
（1）求c的取值范圍；
（2）若△ABC的周長為18，求c的值．
【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊得出3c﹣2＞c，任意兩邊之差小于第三邊得出|2c﹣6|＜c，列不等式組求解即可；
（2）由△ABC的周長為18，a+b＝3c﹣2，4c﹣2＝18，解方程得出答案即可．
【解答】解：（1）∵a，b，c分別為△ABC的三邊，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，
∴，
解得：2＜c＜6；
（2）∵△ABC的周長為18，a+b＝3c﹣2，
∴a+b+c＝4c﹣2＝18，
解得c＝5．
27．（2020秋?蚌埠期中）如圖，△ABC的周長是21cm，AB＝AC，中線BD分△ABC為兩個三角形，且△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，求AB，BC．

【分析】由BD是中線，可得AD＝CD，又由△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，△ABC的周長是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，繼而求得答案．
【解答】解：∵BD是中線，
∴AD＝CD＝AC，
∵△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，
∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，
∵△ABC的周長是21cm，AB＝AC，
∴2AB+BC＝21cm②，
聯(lián)立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．
28．（2022秋?西城區(qū)校級期中）已知△ABC（如圖），按下列要求畫圖：
（1）△ABC的中線AD；
（2）△ABD的角平分線DM；
（3）△ACD的高線CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周長）且AB＝4，則AC＝　7?。?br />
【分析】（1）取BC的中點(diǎn)D，然后連接AD即可；
（2）作∠ADB的平分線交AB于M點(diǎn)；
（3）過C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)；
（4）利用三角形中線的定義得到BD＝CD，然后利用三角形周長的定義得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，從而可計算出AC．
【解答】解：（1）如圖，AD為所作；
（2）如圖，DM為所作；
（3）如圖，CN為所作；

（4）∵AD為△ABC的中線，
∴BD＝CD，
∵C△ADC﹣C△ADB＝3，
∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，
∴AC﹣AB＝3，
∵AB＝4，
∴AC＝AB+3＝4+3＝7．
故答案為：7．
29．（2021秋?柘城縣月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多3cm，AB與AC的長度和為11cm，求AC的長．

【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到CD＝BD，根據(jù)三角形的周長公式、結(jié)合題意計算，得到答案．
【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，
∴D為BC的中點(diǎn)，
∴CD＝BD，
∵△ADC的周長比△ABD的周長多3cm，
∴（AC+CD+AD）﹣（AB+CD+AD）＝3cm，
∴AC﹣AB＝3cm，
∵AB+AC＝11cm，
∴AB＝4cm，AC＝7cm，即AC的長度是7cm．
30．如圖，△ABC中，AB＞AC，AD為△ABC的中線．
（1）若AD將△ABC的周長分為差是3cm的兩部分，且AB+AC＝7cm，求AB、AC的長．
（2）若△ABC的周長為30cm，AB＝10cm，AD＝7cm，△ACD周長是20cm，求AC的長．

【分析】（1）已知AB＞AC，且AD將△ABC的周長分為差是3cm的兩部分，即△ABD的周長﹣△ACD的周長＝3cm，再結(jié)合AB+AC＝7cm即可求出AB、AC的長度；
（2）已知△ABC的周長與AB的長度，進(jìn)而即可得到BC+AC的長度，而△ACD的周長與AD的長度已知，據(jù)此即可得到AC+BC的長度，進(jìn)一步計算即可求出AC的值．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD．
∵AB＞AC，且AD將△ABC的周長分為差是3cm的兩部分，
∴AB+AD+BD﹣（AC+CD+AD）＝3cm，
∴AB﹣AC＝3cm．
∵AB+AC＝7cm，
∴AB＝5cm，AC＝2cm．
（2）∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD．
∵△ABC的周長是30cm，AB＝10cm，
∴BC+AC＝20cm．
∵AD＝7cm，△ACD周長是20cm，
∴AC+CD＝13cm，即AC+BC＝13cm，
∴BC＝14cm，
∴AC＝6cm．