?【2022講通練透】二輪
第二十二講 相似三角形
必備知識點 2
考點一 平行線分線段成比例定理 3
考點二 相似三角形的性質(zhì)與判定 7
考點三 相似三角形的應用 16
考點四 圖形的位似 18















知識導航


必備知識點
一、比例的相關(guān)概念及性質(zhì)
1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．
2．比例中項：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項．
3．比例的性質(zhì)
性質(zhì)
內(nèi)容
性質(zhì)1
=?ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性質(zhì)2
如果=，那么．
性質(zhì)3
如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．
4.黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使，那么點C叫做線段AC的黃金分割點，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比叫做黃金比．
二、相似三角形的判定及性質(zhì)
1．定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比叫做相似比．
2．性質(zhì)：1）相似三角形的對應角相等；2）相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；
3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
3．判定：1）有兩角對應相等，兩三角形相似；2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；3）三邊對應成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；
2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；
3）條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；
4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；
5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應成比例．
三、相似多邊形
1．定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做它們的相似比．
2．性質(zhì)：1）相似多邊形的對應邊成比例；2）相似多邊形的對應角相等；3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
四、位似圖形
1．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性質(zhì)：1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．
4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點的對應點；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點．.




考點一 平行線分線段成比例定理

1．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)．已知AB＝1，DE＝1.2，BC＝2，則EF的長為（　?。?br />
A．2.4 B．3.6 C．4 D．0.6
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝1，DE＝1.2，BC＝2，
∴＝，
解得：EF＝2.4，
故選：A．
2．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF，連接CE、BF交于點P，若＝，則的值為（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如圖，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
設ED＝4x，BE＝y(tǒng)，則FC＝3x，AF＝y(tǒng)，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故選：A．

3．如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，點E是AD的中點，連接BE并延長交AC于點F，則AF：FC＝（　?。?br />
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如圖，

∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵點D為BC的中點，DH∥CF，
∴DH為△BCF的中位線，
∴CF＝2DH＝2AF，
∴AF：FC＝1：2，
故選：A．
4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是對角線AC的中點，直線BE交AD于點F，則AF：FD＝（　?。?br />
A．2：1 B．1：2 C．2：3 D．3：2
【解答】解：延長BF交CD的延長線與點G，連接AG，如圖，
∵AB∥CD，E是對角線AC的中點，
∴四邊形ABCG是平行四邊形，
∴GC＝AB，
又AB＝3CD，
∴GD＝2CD，
∴＝＝，
故選：D．

5．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，則△DMN的面積是（　?。?br />
A．8 B．12 C． D．15
【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
∴AD＝AB＝2，AE＝BF＝，
∴DE＝AF＝＝5，
在△ADE和△BAF中
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
而∠BAF+∠DAM＝90°，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴AM?DE＝AE?AD，即AM×5＝×2，
∴AM＝2，
∴DM＝＝4，
∵AD∥CB，
∴AN：NF＝AD：BF＝2：1，
∴AN＝AF＝，
∴S△DMN＝S△AND﹣S△AMD＝×4×﹣×4×2＝8．
故選：A．

考點二 相似三角形的性質(zhì)與判定

6．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，過D的直線交AC于E，交AB的延長線于F，AB＝mAF，AC＝nAE．求：
（1）m+n的值；
（2）的取值范圍．

【解答】解：（1）過點B作BG∥AC交EF于G，

∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中點，
∴DC＝BD，
∵∠CDE＝∠BDG，
∴△DCE≌△DBG（ASA），
∴EC＝BG，
∵＝m，即＝m，
∴1﹣m＝，
∵＝n，即＝n，
∴n﹣1＝＝，
∵BG∥AC，
∴△FBG∽△FAE，
∴，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2．
（2）∵＝＝﹣1，
∵點F在AB的延長線上，
∴AF＞AB，
∴0＜m＜1，1＜m+1＜2，＜得，
＜﹣1＜2，
∴＜＜2．
7．如圖，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F(xiàn)是AB中點，連EF交AD于點G．
（1）求證：AD2＝AB?AE；
（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．

【解答】（1）證明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴＝，
∴AD2＝AC?AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB?AE．
解法二：可以直接證明△DAE∽△BAD，得出結(jié)論．
（2）解：如圖，連接DF．

∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DF＝AB＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴＝＝＝，
∴＝．
8．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．
（1）如圖1，當∠ABC＝45°時，求證：AD＝DE；
（2）如圖2，當∠ABC＝30°時，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由．

【解答】（1）證明：如圖1，過點D作DF⊥BC，交AB于點F，
則∠BDE+∠FDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，
∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，
∴∠BFD＝45°，BD＝DF，
∴∠AFD＝135°，
∴∠EBD＝∠AFD，
在△BDE和△FDA中
，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD＝DE；

（2）解：DE＝AD，
理由：如圖2，過點D作DG⊥BC，交AB于點G，
則∠BDE+∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠C＝60°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，
∴∠BGD＝60°，
∴∠AGD＝120°，
∴∠EBD＝∠AGD，
∴△BDE∽△GDA，
∴＝，
在Rt△BDG中，＝tan30°＝，
∴DE＝AD．


9．已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，點E、F分別在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖1，若AB＝BC＝AC，則AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系是什么；
（2）如圖2，若AB＝BC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想，并加以證明；
（3）如圖3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想不用證明．

【解答】解：（1）AE＝EF；
證明：如圖1，過點E作EH∥AB交AC于點H．
則∠BAC+∠AHE＝180°，∠BAC＝∠CHE，
∵AB＝BC＝AC，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CHE＝∠ACB＝∠B＝60°，
∴EH＝EC．
∵AD∥BC，
∴∠FCE＝180°﹣∠D＝120°，
又∵∠AHE＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠AHE＝∠FCE，
∵∠AOE＝∠COF，∠AEF＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠EFC，
在△AEH和△FEC中，
∵，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE＝EF；


（2）猜想：（1）中的結(jié)論是沒有發(fā)生變化．
證明：如圖2，過點E作EH∥AB交AC于點H，則∠BAC+∠AHE＝180°，∠BAC＝∠CHE，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB
∴∠CHE＝∠ACB，
∴EH＝EC
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCB＝180°．
∵∠BAC＝∠D，
∴∠AHE＝∠DCB＝∠ECF
∵∠AOE＝∠COF，∠AEF＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE＝EF；

（3）猜想：（1）中的結(jié)論發(fā)生變化．
證明：如圖3，過點E作EH∥AB交AC于點H．
由（2）可得∠EAC＝∠EFC，
∵AD∥BC，∠BAC＝∠D，
∴∠AHE＝∠DCB＝∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF＝EH：EC，
∵EH∥AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC＝AB：BC＝k，
∴AE：EF＝k，
∴AE＝kEF．

10．如圖，M是正方形ABCD邊AD上動點、以BM為對角線作正方形BGMN．
（1）當點M與A重合時，直接寫出△BNC與△BMD之間的面積關(guān)系．
（2）當點M不與A重合時，猜想△BNC與△BMD之間的面積關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）當點M在運動時，是否有一點使S正方形BGMN＝4S△BNC成立？若成立，請求出∠ABM的大??；若不成立，請說明理由．

【解答】解：（1）＝；

（2）猜想＝；
證明：∵BM，BD都是正方形的角平分線，
∴∠MBN＝∠DBC＝45°，
∴∠MBD+∠DBN＝45°，∠DBN+NBC＝45°，
∴∠MBD＝∠DBN，
∵＝，＝，
∴＝，
∴△BNC∽△BMD，
∴＝（）2＝；

（3）連接DN，
當S正方形BGMN＝4S△BNC，
∵＝；
∴可得S△BMN＝S△BMD，
∴BM∥DN，
∴∠MBD＝∠BDN，
∵△BNC∽△BMD，
∴∠BCN＝∠MDB＝45°，
∵NC＝NC，BC＝DC，
即
∴△BNC≌△DNC，（SAS）
∴BN＝DN，
∴∠NBD＝∠BDN，
∴∠MBD＝∠BDN＝∠NBD＝22.5°，
∠ABM＝22.5°．







考點三 相似三角形的應用

11．如圖，昌昌同學和同伴秋游時，發(fā)現(xiàn)在某地小山坡的點E處有一棵小樹，他們想利用皮尺、傾角器和平面鏡測量小樹到山腳下的距離（即DE的長度），昌昌站在點B處，讓同伴移動平面鏡至點C處，此時昌昌在平面鏡內(nèi)可以看到點E．且測得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝150°．已知昌昌的眼睛到地面的距離AB＝1.5米，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求DE的長度．（結(jié)果保留根號）

【解答】解：過E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝150°，
∴∠EDF＝30°，
設EF為x米，DF＝x米，DE＝2x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，
即＝，
解得：x＝，
∴DE＝（28+28）米，
答：DE的長度為（28+28）米．

12．某校初三年級在一次研學活動中，數(shù)學研學小組為了估計澧水河某段水域的寬度，在河的對岸選定一個目標點A，在近岸分別取點B、D、E、C，使點A、B、D在一條直線上，且AD⊥DE，點A、C、E也在一條直線上，且DE∥BC．經(jīng)測量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的寬度AB為多少米？

【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
∴AB＝30．
答：河的寬度AB為30米．
13．為了測量水平地面上一棟建筑物AB的高度，學校數(shù)學興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如圖所示的測量方案：先在水平地面上放置一面平面鏡，并在鏡面上做標記點C，后退至點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡面上的標記點C重合，法線是FC，小軍的眼睛與地面距離DE是1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求建筑物AB的高度．

【解答】解：根據(jù)題意，易得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
則△ABC∽△EDC，
所以＝，即＝，
解得：AB＝33，
答：建筑物AB的高度為33m．



考點四 圖形的位似

14．如圖，線段AB的兩個端點坐標分別為A（2，2），B（4，2）．以原點O為位似中心，將線段AB縮小后得到線段DE，若DE＝1，則端點D的坐標為 ?。?，1）?。?br />
【解答】解：∵A（2，2），B（4，2），
∴AB＝2，
∵DE＝1，
∴＝，
∵以原點O為位似中心，將線段AB縮小后得到線段DE，
∴線段AB與線段DE的相似比為2：1，
∵點A的坐標為（2，2），
∴點D的坐標為（1，1），
故答案為：（1，1）．
15．在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A的坐標為（6，4），以原點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的，得到△A′B'C′，則點A的對應點A′的坐標為 ?。?，2）或（﹣3，﹣2）　．
【解答】解：∵以原點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的，得到△A′B'C′，點A的坐標為（6，4），
∴點A的對應點A′的坐標為（6×，4×）或（6×（﹣），4×（﹣）），即（3，2）或（﹣3，﹣2），
故答案為：（3，2）或（﹣3，﹣2）．
16．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且點B（5，1），B1（10，2），若△ABC的面積為m，則△A′B′C′的面積為 　4m?。?br />
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，點B（5，1），B1（10，2），
∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1：2，
∴△ABC與△A′B′C′的面積比為1：4，
∵△ABC的面積為m，
∴△A′B′C′的面積為4m，
故答案為：4m．
17．如圖，四邊形EFGH與四邊形ABCD關(guān)于點O位似，且OE＝2AE，則四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為 　4：9?。?br />
【解答】解：∵OE＝2AE，
∴OE：OA＝2：3，
∵四邊形EFGH與四邊形ABCD關(guān)于點O位似，
∴HE∥AD，
∴△OHE∽△ODA，
∴HE：AD＝OE：OA＝2：3，
∴四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為4：9，
故答案為：4：9．


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